从特殊到一般，由具体到抽象

史青

[摘要]针对中职网络专业学生的情况，阐述“点到直线的距离”一课的教学设计，并对每一个教学环节进行解释。

[关键词]职业学校;教学设计;创设情境

[中图分类号]G712                       [文献标志码]  A                       [文章编号]  2096-0603（2018）36-0118-02

“点到直线的距离”选自江苏教育出版社《数学》第二册第八章第5节，教学对象为我校网络专业中职学生，他们已掌握了两点间距离公式、直线方程、两条直线的位置关系等有关知识，具备一定利用代数方法研究几何问题的能力。职业学校学生数学基础薄弱，但动手操作能力强，对数学软件的熟悉度高。基于以上分析，我将教学目标定为：（1）了解点到直线的距离公式的推导过程;（2）能应用点到直线的距离公式解题;（3）培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。其中，公式的应用是重点，公式的推导是难点。本课分为以下五个教学环节。

一、创设情境

引入課本中的例子：在已有公路附近有一大型仓库，现在要修建一条公路与之连接起来，便于运货。那么怎样设计才能使这段公路最短？最短路程是多少？（引例贴近学生生活，调动学生的学习兴趣）

二、新知探索：点到直线的距离公式的推导过程

小组进行讨论，学生提出将公路看做一条直线，将超市看做一个点，将实际问题转化为数学模型，那么超市到公路的距离就转化为了点P到直线的距离。

为帮助学生更好地理解，我设置了问题1，给出具体的点的坐标和具体的直线方程，为后面从特殊情况推广到一般情况作好铺垫。

问题1 假设P点的坐标为P（2，1），直线方程为l∶2x-y+1=0，那么如何求点P到直线的距离？

学生不难发现，点P到直线l的距离就是点P、垂足Q两点之间的距离，点线问题此时就转化成了点点问题。

（将上述分析的过程反过来就是解题的过程）

从特殊到一般，给出点和直线的一般形式，提出问题2。

问题2 如何求点P（x₀，y₀）到直线Ax+By+C=0（A²+B²≠0）的距离？

从特殊到一般，假设P（x₀，y₀），l∶Ax+By+C=0，根据上述的解题过程

学生类比问题1，说出解题思路，由于运算中含有大量字母，不要求学生说出具体解题过程。其中对A=0或B=0这两种特殊情况，我们需要借助图像进行分析，把它放在下面的例1中加以强调。

三、巩固提高：点到直线的距离公式的应用及平行线间的距离公式

本环节的三个例题中，例1是教材中的例题，第（1）小题中所给直线的方程已经是一般式，学生直接代入公式即可。因此在做第（2）小题时，容易忽略将方程化为一般形式的这个前提条件，学生在做错的过程中发现问题，进行自我纠错，强化记忆运用公式的前提条件。第（3）小题考查的是A=0的特殊情况，可以直接得出结论。这里只列举了平行于x轴的直线，平行于y轴的情况可以同时进行补充。

例1 求点P0（-1，2）到下列直线的距离：

（1）2x+y-10=0 （2）y=-2x+10 （3）y-4=0

练习1：求下列点到相应直线的距离：

（1）P（1，2）， l∶3x-2y+4=0 （2）P（3，-3）， l∶x+1=0

例2 （1）已知点A（-2，3）到直线y=ax+1的距离为，求a的值;

（2）已知点A（-2，3）到直线y=-x+a的距离为，求a的值。

在解决了例1的基础上，结合学生熟悉软件和动手操作能力强的专业特点，由浅入深，增加了含有参数的情况，让学生通过操作数学软件进行验证。

例2的两个问题中，直线方程所含参数a都具有明显的几何意义：一个表示直线的斜率，另一个表示直线在轴上的截距，时间允许的话，解出参数a的值后，可以让学生在“Geogebra”软件中进行操作，通过改变拖动直线，参数值和点线距离都发生改变，调整点线距，验证自己的结论，也锻炼了学生用信息环境解决问题的能力。

在处理完点到直线的公式应用后，引入例3解决平行线间的距离公式。

例3 求平行线2x+3y-8=0和2x+3y+5=0的距离。

例3紧扣教材，由于学生刚刚学过点到直线的距离公式，有过一次体验从特殊到一般的过程。于是我让学生进行自主探究，学生分组进行探究，并汇报自己的结论。结合平行线间距离相等这一特点，很自然地想到在其中一条直线上取一个特殊点，用数学中转化的思想方法将两条平行线之间的距离转换为点到线的距离。

练习2：求下列两条平行线间的距离

（1）x+2y-1=0，x+2y-2=0 （2）x+3y-4=0，2x+6y-7=0

练习2是对平行线间距离公式的直接运用，也是熟悉记忆公式的过程，在做第（2）小题时学生会发现两条直线的A、B不同，这里既要复习平行直线的相关内容，也要提示学生，将对两个平行直线的系数A、B进行处理。

此时，本课教学任务已基本完成，通过两次具体到抽象，特殊到一般的过程，学习了点线、线线间的距离公式。这时回到本课开头的引例，用本节课所学的知识解决引例中的仓库到公路之间的距离问题，前后呼应，学以致用，在此基础上进行课堂小结并布置作业。

四、课堂总结

由学生自主归纳、总结本节课所学习的主要内容，教师加以补充说明。

（1）点到直线的距离公式（补充：使用该公式的前提是将直线方程化为一般形式）。

（2）两平行线间的距离公式。

（3）转化的数学思想：点点距？圮点线距？圮线线距

五、课后作业

必做：P86练习1、2，习题1。

选做：P86习题2。

课后作业进行了分层处理，选做题需要结合直线和圆的知识，给学有余力的学生进行思考。

本次课通过两次转化，化未知为已知，让学生掌握了点线距、点点距两个公式。学生在从特殊到一般、具体到抽象的数学思想中，通过动手操作作图软件、小组探讨等方式自主进行探究，构建新知识，不仅培养了他们解决实际问题的能力，也培养了他们自主学习的综合素养。