钢拱结构面内地震反应分析的改进模态组合系数法

黄青隆 罗永峰 相 阳 朱钊辰

(同济大学土木工程学院， 上海 200092)

在面外荷载作用下，典型大跨度屋盖拱结构的面外变形或面外刚度常可通过设置侧向支撑进行约束或加强.但在面内荷载作用下，受大跨度影响，结构面内水平变形和竖向变形相互耦联，构件的轴向内力对其弯曲变形产生二次效应(即几何非线性效应[1])，当结构进入塑性变形时，结构的非线性效应愈加显著.因此，在地震作用下，结构平面内地震反应非常复杂.如何合理便捷地计算钢拱结构的平面内地震反应是这类结构抗震设计和抗震性能评估的关键问题之一.

采用时程分析法(RHA)计算拱结构的地震反应直接准确，但计算量大、耗时较多.静力推覆分析[2-3]是另一种常用分析方法.Xiang等[4]从能量角度提出了拓展的模态推覆方法，采用整体刚度参数[5]表征结构刚度变化，适用于评估单阶振型主导的大跨度拱形结构面内地震响应，但当结构响应不由单一振型主导时，该方法可能产生较大误差.

在推覆分析中，组合多阶振型响应方法可分为2种：① 按各阶振型荷载模式依次推覆分析，然后采用传统的SRSS或CQC准则组合得到最终结果[6]；② 将各振型荷载向量按模态组合系数(FMC)准则进行矢量叠加，然后进行推覆分析[7-9].对于钢拱结构，传统的振型组合方法忽略了振型响应的方向正负[9]，导致计算结果与实际变形形状差异较大.同时，单阶模态推覆无法考虑其他振型变形对当前结构刚度的影响.当控制振型较多时，多次模态推覆也将导致较大的工作量.第2种方法的优势在于，可以考虑振型响应的正负方向和各阶振型的影响，操作简便，但由于各振型响应方向和控制振型的不确定性，按该方法构造的组合荷载模式数量较多，从而降低了方法效率.

鉴于此，本文提出了一种改进的模态组合系数法，用于计算大跨度拱结构面内地震反应.定义了非线性刚度比，用以表征几何非线性效应对结构初始频率的影响；设置阈值β用于选取控制振型，并构造基于控制振型的组合荷载模式；采用组合荷载模式进行推覆分析，得到结构地震反应.应用所提方法计算了2个钢拱结构模型的面内地震反应，将结果与非线性时程分析结果进行对比，从而验证了所提方法的有效性.

1 组合荷载模式

1.1 等效静力荷载

地震作用下结构任意时刻的位移向量为

u=q1φ1+…+qiφi

(1)

(2)

式中，u为结构位移向量；qi为第i阶振型坐标；φi为第i阶振型向量；M为质量矩阵.

位移向量u对应的等效静力荷载F为

(3)

式中，ωi为第i阶结构圆频率.

若能预测在地震作用下结构位移峰值时刻的等效静力荷载分布F，则可由静力非线性分析得到结构整体变形.由式(3)可知，已知结构频率和振型向量时，等效静力荷载分布取决于各阶振型坐标.

1.2 模态组合系数

Park等[9]提出的模态组合系数法借助模态组合系数Ri，给出了振型坐标qi的估计方式.结构某反应量r0可表示为各振型反应贡献相加或相减，即

r0=R1r10±R2r20±…±Riri0

(4)

式中，ri0为第i阶振型峰值反应量；Ri为第i阶模态组合系数，0≤Ri≤1，反映了第i阶振型的实际反应量占峰值反应量的百分数.

基于峰值位移时刻的模态组合系数表达式为

(5)

式中，qi为最大位移时刻第i阶振型坐标；Γi为第i阶振型参与系数；Sd,i为第i阶振型频率的位移反应谱谱值.

文献[9]基于某多高层结构大量时程分析的计算结果，得出当第n阶振型主导时，模态组合系数取值为

(6a)

(6b)

(6c)

(6d)

变换主导振型阶数和各阶振型坐标的符号，由式(6)可得多组模态组合系数，代入式(5)可估计各阶振型坐标，进而根据式(3)生成对应组合荷载模式.依次采用各荷载模式对结构进行推覆分析，将结果包络值作为最终结果.

对于控制振型较多的结构，FMC法将导致数量较多的荷载模式，降低求解效率；对于控制振型单一的结构，该组合方式稍显冗余.式(6)中模态组合系数取值的依据为多高层结构数值模拟结果，对于与多高层结构振型特征不同的大跨度拱结构，该取值是否适用有待验证.对于拱结构中参与系数为0的振型，式(5)理论上不成立.因此，应进一步研究拱结构的组合荷载模式数量和模态组合系数取值.

2 振型坐标峰值预测

结构的等效静力荷载取决于振型坐标估计.将式(5)改写为

qi=RiΓiSd,i

(7)

若能确定模态组合系数Ri和振型坐标峰值ΓiSd,i，即可预测振型坐标值.对于拱形结构，受几何非线性效应的影响，振型坐标峰值需进行修正，模态组合系数亦需重新确定.

2.1 非线性刚度比

对于图1(a)所示的单自由度体系，结构初始弹性刚度和线性频率分别为K1,l和ω1,l.不考虑几何非线性效应，当单位力F作用于质点时，质点将产生位移d1,l，此时体系刚度和频率的关系如下：

(8)

(9)

式中，Meq为体系等效质量.

(a) 考虑几何非线性体系

(b) 等效线性体系图1 几何非线性效应对结构频率的影响

实际上，在几何非线性效应影响下，质点将产生附加位移d1,nl.几何非线性削弱结构刚度时，该值为正；反之则为负.计入几何非线性效应的单自由度体系可等效为图1(b)所示的线性体系.单位力作用下，体系的质点位移为d2,l，体系的刚度和频率分别为

(10)

(11)

由式(11)可知，几何非线性效应显著时，其对结构频率的影响不可忽略.定义非线性刚度比为

(12)

式中，K1,l和K2,l分别为结构初始刚度和计入几何非线性效应的结构刚度.

对于钢拱结构，几何非线性效应将削弱结构刚度.因此，非线性刚度比αk的取值范围为[0,1]，反映了几何非线性效应的影响.由式(12)可得

(13)

式(13)表明，可由非线性刚度比和仅考虑初始刚度的线性频率得到考虑几何非线性效应的频率.

对于多自由度体系，可采用单位模态荷载作用下的整体刚度参数keq衡量各阶模态荷载作用下的结构刚度变化.第i阶单位模态荷载向量Funit,i=Mφi产生位移向量Δd时，对应于第i阶模态的整体刚度参数可表示为

(14)

根据式(14)，计算结构考虑几何非线性和不考虑几何非线性2种情况下的整体刚度参数，得到非线性刚度比.将其代入式(13)，即可得到由非线性刚度比修正的结构频率.

由此可知，几何非线性效应将影响结构特性，而一般的结构频率求解方法仅考虑结构初始弹性刚度，不能获得准确的结果.因此，计算该类结构频率时，应考虑几何非线性效应的影响.本文采用非线性刚度比αk修正结构初始线性频率，进而得到考虑几何非线性效应的结构初始频率.

2.2 振型坐标峰值修正

3 改进模态组合系数

3.1 控制振型

结构振型周期Ti的位移反应谱谱值关于振型阶数i的变化规律为

(15)

将各阶振型按质量矩阵正则化后，各阶振型参与系数Γi存在最大/小值，则振型坐标峰值ri0关于振型阶数i的变化规律为

(16)

式中，ri0为第i阶振型坐标峰值.

由式(16)可知，高阶振型和参与系数接近于0的振型的坐标峰值较小，其对结构位移响应贡献较小，故可根据下式选取结构位移响应贡献较大的振型：

(17)

式中，β为阈值.坐标峰值与各阶坐标峰值最大值之比大于等于β的振型，可选为控制振型.阈值β的大小可按不同计算精度要求选取.

3.2 改进模态组合系数的取值

为验证FMC法的取值规则对峰值调整后振型坐标的适用性，本节选取40条地震动输入(峰值加速度Ag调幅为0.3g)对矢跨比为1/5的实腹拱进行时程分析，按式(5)计算各地震动输入下结构位移峰值响应时刻前10阶模态组合系数向量Rk={Rk1,Rki,…,Rk10}T，其中k为地震动序号.对于振型参与系数为0的振型，模态组合系数R取0.

(18a)

(18b)

图2给出了第1,3阶振型主导时各阶模态组合系数的平均值与FMC法计算结果的区别.为充分考虑各振型的贡献，采用β=0.01选取控制振型.

由图2可知，β=0.01时，算例中仅有第1，3，5阶振型保留.由于存在振型参与系数为0的振型，钢拱结构的模态组合系数分布呈现锯齿状.在第n阶振型主导响应时，对于第m阶振型参与系数非零的振型，其模态组合系数规律为：当m=n时，FMC准则取值与该阶模态组合系数平均值接近；当m>n时，FMC准则取值大于该阶模态组合系数平均值；当m

(a) 第1阶振型主导(36条时程)

(b) 第3阶振型主导(4条时程)图2 不同振型主导下的模态组合系数分布

因此，本文将计算钢拱结构地震反应的模态组合系数取值进行调整.当第n阶振型为主导振型时，根据β值选取控制振型.非控制振型的模态组合系数取0.若第m阶振型为控制振型，当m≥n时，模态组合系数按式(6)取值；当m

(19)

式中，T为基本周期；σ2=0.22.参数a的取值规则为：将阶数小于n的控制振型按阶数降序排列，若m处于第1位，a=0.5；若m处于第2位，a=0.4；若m处于第3位及以上，a=0.3.改进后的取值结果见图2.由图可知，与FMC法结果相比，改进的取值结果更贴近于平均值结果.

4 算例分析

4.1 结构模型与地震波

为验证本文方法的有效性，建立了2个实腹钢拱模型(见图3).2个模型均为跨度20 m的圆弧拱，矢跨比分别为1/4和1/5，依次编号为S20R4和S20R5.杆件采用圆钢管，钢管截面参数见表1.节点编号和杆件编号见图3.

(a) 算例模型S20R4

(b) 算例模型S20R5图3 模型结构布置

表1 杆件截面参数 mm

模型采用通用有限元软件ANSYS建模分析，杆件采用梁单元beam189模拟，杆件截面设置16个角栅点.采用质量单元mass21模拟集中质量.结构集中质量由结构承受荷载标准值换算得到，集中质量分布于结构除支座外所有杆件节点处，S20R4和S20R5中每个集中质量分别为0.255和0.306 t.模型支座设置于跨度端部节点(见图3)，每个支座约束节点的x，y向平动自由度，所有节点均约束面外自由度.

模型有限元分析中计入结构的几何非线性和材料非线性效应.钢材密度为7 850 kg/m3，材料性能采用文献[27]中Q235钢材的实验结果，材料的应力-应变关系曲线参见文献[27].

本文选取24条地震波进行分析，其中5条记录于Ⅰ类场地，11条记录于Ⅱ类场地，6条记录于Ⅲ类场地，2条记录于Ⅳ类场地.原始地震波参数见表2.各地震波按阻尼比为0.02绘制伪加速度反应谱，结果见图4.为比较模型弹塑性变形的影响，将地震波峰值加速度Ag调幅为0.3g和0.7g.

表2 地震波信息表

(a) Ⅰ，Ⅱ类场地

(b) Ⅲ，Ⅳ类场地图4 原始地震波伪加速度反应谱

4.2 组合荷载模式构造

4.2.1 模态分析

采用瑞雷阻尼模型，考虑结构阻尼比，将x向振型参与系数最大的前2阶振型阻尼比ξ设置为0.02.模态分析中仅考虑结构初始弹性刚度.2个模型前30阶振型的x向质量参与系数累积值均达到0.90，满足规范要求.表3列出了模型前30阶振型中x向质量参与系数最大的前3阶模态结果.

表3 模态结果

4.2.2 频率修正

根据单位振型荷载进行结构推覆分析，按式(12)计算模型各阶振型非线性刚度比，第1，3阶振型的非线性刚度比和相应修正频率见表4.采用有限元软件ANSYS中的线性摄动分析法求解重力作用下考虑几何非线性效应的结构实际频率，并与修正频率进行对比.由表可知，经非线性刚度比修正的频率与ANSYS结果基本吻合，表明该方法准确有效.

表4 结构频率结果对比 rad

4.2.3 振型坐标峰值调整

采用选取的地震波对算例进行时程分析(Ag=0.3g).通过比较振型坐标峰值调整前后结构位移峰值时刻的模态组合系数是否小于1来判定方法的有效性.模态组合系数按式(5)计算.

选取各模型经频率修正的第1，3阶振型，峰值调整前后的模态组合系数分布见图5.由图可知，对于不同的地震动输入，该调整方法呈现了良好的稳定性，调整后的峰值满足各地震动下的结构振型坐标响应要求.在计算结果中，仅S20R4模型中存在一例模态组合系数R3=1.09的情况，这是因为在该地震波作用下结构部分构件进入弹塑性所致.

(a) S20R4

(b) S20R5图5 模型模态组合系数R1和R3分布对比

4.2.4 组合荷载模式

根据式(17)，采用β=0.1选取控制振型.按式(3)构造基于控制振型的组合荷载模式.经计算，各算例的控制振型均为2个振型，则组合荷载模式为

(20)

4.3 结果对比

采用本文方法、非线性时程分析(RHA)和FMC方法计算各拱结构面内地震反应，其中本文方法和FMC法均采用相同阶数振型的荷载模式计算.

根据时程分析结果，当Ag=0.3g时，各有2条地震波导致S20R4和S20R5结构破坏；当Ag=0.7g时， 8条地震波导致S20R4破坏，4条地震波导致S20R5破坏.本文方法计算结果与此结果相同，但FMC方法预测的结构破坏情况更多.

对于结构未破坏的情况，提取由本文方法和FMC法得到的结构位移最大值、各点位移均值、杆件最大应力和各杆件应力均值，与RHA相应结果进行对比，验证本文方法的有效性.

4.3.1 结构位移

由推覆分析得到的结构x向和y向峰值位移与相应时程分析结果的对比见图6.由图可知，由于考虑了结构的几何非线性效应，本文方法得到的位移峰值结果比FMC法准确.本文方法的x向峰值位移误差大部分处于[-10%,10%]区间内，y向峰值位移误差处于[-20%,10%]区间内.

(a) S20R4(x向)

(b) S20R4(y向)

(c) S20R5(x向)

(d) S20R5(y向)

图6 峰值位移对比

结构峰值位移相对误差统计见表5.由表可知，当Ag=0.3g时，S20R4和S20R5的x向峰值位移平均误差分别为2.7%和-7.2%，y向峰值位移平均误差分别为-6.5%和5.8%.随着Ag的增加，S20R4的平均误差保持稳定，S20R5的平均误差稍有增加，但误差分布范围仍保持稳定，表明本文方法计算结果与RHA峰值位移均值比较接近.而FMC法高估了结构的位移响应，导致结果误差离散性较大.

表5 位移峰值相对误差统计 %

3种方法得到的结构节点位移均值见图7.由图可知，在不同强度的地震作用下，相比FMC法结果，本文方法的各节点位移均值与RHA结果更为接近，FMC法总体上高估了各节点的平均位移水平.

(a) S20R4(Ag=0.3g)

(b) S20R4(Ag=0.7g)

(c) S20R5(Ag=0.3g)

(d) S20R5(Ag=0.7g)

图7 位移结果均值

4.3.2 杆件应力

按第四强度理论计算结构各杆件截面上16个角栅点的应力值，取杆件各截面角栅点中应力最大值作为该杆件的应力值，将所有杆件应力的最大值作为结构的峰值应力.

以时程分析结果为基准，由本文方法和FMC法得到的各地震动输入下模型峰值应力相对误差统计见表6.由表可知，采用本文方法计算时，模型S20R4和S20R5的杆件峰值应力平均误差分别为-5.0%和-4.3%，随Ag增加，平均误差保持稳定.FMC法得到的结果误差离散性较大.

表6 应力峰值误差统计 %

各模型的杆件平均应力分布见图8.由图可知，与FMC法相比，本文方法的平均应力结果与时程分析结果更接近，但两者仍有差异.当Ag=0.3g时，本文方法的支座附近杆件结果与时程分析结果较接近，但低估了跨中杆件平均应力；当Ag=0.7g时，本文方法的跨中杆件结果与时程分析结果较为接近，但高估了支座附近杆件的平均应力.由此可知，按照本文方法可高效选取对结构位移响应贡献大的振型，其产生的内力反映了结构内力中的回复力项；但该方法未考虑可能对惯性力项贡献较大的振型，导致结果出现局部偏差.

(a) S20R4(Ag=0.3g)

(b) S20R4(Ag =0.7g)

(c) S20R5 (Ag =0.3g)

(d) S20R5(Ag =0.7g)

图8 杆件平均应力分布

5 结论

1) 非线性刚度比αk可以表征几何非线性效应对结构初始频率的影响.

2) 采用本文方法计算得到的峰值位移、各点平均位移和结构峰值应力结果与时程分析结果较为一致，未考虑结构几何非线性的FMC法计算结果与RHA结果误差离散性较大.

3) 本文采用阈值β选取控制振型，缩减组合荷载模式的数量，并保持较好的位移预测结果，提高了计算效率.但该方法未考虑可能对惯性力项贡献较大的振型，导致平均应力结果存在局部偏差.

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