高中数学集合问题的解题技巧

李佳乐

【摘 要】在高中数学学习中集合属于比较重要的内容，刚开始学习只是了解一些相关概念，但是学习时间长了，会发现有些同学对集合概念的了解还是不够透彻，这样会对自己以后解答集合问题有很大的影响。这里总结了关于高中数学集合概念常见的一些解题方法，供同学们参考。

【关键词】高中数学；集合概念；解题方法

本文从数学集合中定义法、数形结合、列举法、具体化法等方面来解决问题。

一、定义法

在高中集合问题中选择定义法解题，就是根据数据定义来解题，该方法是针对事物客观、本质的特点进行解题，这也需要数学集合题具有明显的数据定义特征，能够直接、明了的突出是根据定义出题的。

例1：已知集合A={x|x2-4x+w=0}，B={x|x2+px+t=0}，其中A∪B={-1，3，5}，A∩B={-1}，求实数w，p，t的值。

解析：∵B∩A={-1}

∴-1∈A

将x=-1带入x2-4x+w=0中，得到w=-5.

∴A={-1，5}，又A∪B={-1，2，3}

∴B={-1，3}.

∴（-1）+3=-p，（-1）×3=t，

∴p=-2，t=-3，w=-5。

變式：已知集合A={x|x2+dx+a=0}，B={x|x2+nx+6=0}，其中A∩B={2}，A∪B=B，求实数n，d，a的值。

解：∵A∪B=B，

∴A包含于B，而且A∩B={2}，将其带入A和B集合方程内，得到4+2d+a=0，n=-5.

所以，B={2，3}；

①A=B，所以d=n=-5，a=6；

②A与B不相等时，所以A={x|x2+dx+a=0}，只有一个解；即x2+dx+a=0有且只有一个解x=2；

d2-4a=0；4+2d+a=0；

所以：d=-4，a=4.

在解析集合问题时，选择分类讨论方法，需要对结合概念掌握比较熟练，这样才能更好的进行解题。

二、数形结合法

对于高中集合问题，选择数形结合法主要就是利用画图来帮助解题，这样可以比较直观的理解问题，了解问题的特点，将复杂的问题简单化，从而找出解决方法。

例2 集合A={（x，y）|y≤-|x|+c}，B={（x，y）|y≥■|x-2|}，其中A∩B≠？覬.（1）求c的取值范围；（2）假如x+2y最大的值是9，而且（x，y）∈A∩B，解出c的值。

解析：（1）根据上述两个集合可以得到：集合A中y=-|x|+c的图像，同时得到集合B中y≥■|x-2|图像，见图1，得到A∩B≠？覬，则c≥1.

（2） 设x+2y=d，则d≤9，将公式转变为y=-■+■，而■是y轴直线上的截距，d≤9，得到■≤■，因为（x，y）∈A∩B，所以，A∩B图形中（0，■）是最高点，得到d=■

即c=■

如果是遇到两个集合存在一定联系的题型，可以选择图形解题的方式进行解题。首先，我们要掌握图形解题的特点，其次，就是加深对问题的理解，才能提高解题的效率。

三、列举法

在解析集合题型时列举法是属于基本方法，这种方法一般是解一些特征显著的题型，根据给出的题目将主要内容进行列举，之后找到与题目存在联系的元素，进行解题。

例3：已知集合A={x|x2+dx+e≤0}，B={x|x2-2x-3>0}，而且B∪A=R，B∩A={x|3

解析：在结合B={x|x2-2x-3>0}

={x|x<-1或是x>3}

∵B∪A=R

∴A中至少有元素{x|-1≤x≤3}

∵B∩A={x|3

∴A={x|-1≤x≤3}

∴方程x2+dx+e=0中的两个根是-1，4.

∴d=-3，e=-4.

即d和e的值分别是-3，-4.

解析这种类型的题，需要熟练掌握题目各元素的规律，根据自然数相关规律进行解题。

四、具体化法

在结合题型中具体化法是比较重要的方法，它需要我们能够将抽象的问题具体化，在实际解题过程中，要能够看懂题目的本质。

例4：已知集合D={x|x=d+16，d∈Z}；E={x|x=2e-13，e∈Z}，W={x|x=2w+15，w∈Z}，则D、E、F满足关系（）。

解析：分析1：分析题目中元素区别和共性。

分析2：因为D集合是{x|x=d+16，d∈Z}，而E=={x|x=2e-13，e∈Z}。

根据集合W={x|x=2w+15=2W-13+28，w∈Z}，

所以D∩E=W。

五、结语

在高中数学中集合是考察比较多的题型，关于集合解题的方法也比较多。在实际解题过程中，要做到经常归类和总结，熟练掌握各种解题的方法，这样不仅可以提高个人解题速度，同时也能提高解题的成功率。

参考文献：

[1]姜卫东.关于苏教版高中数学教材中几个问题的管见[J].教育研究与评论（课堂观察），2016（2）：59-61.

[2]王跃辉.关于高中数学新旧教材“集合概念”编写方式的比较分析[J].中学数学研究，2017（3）：1-3.