基于混合DE-PSO多目标算法的动态环境经济调度

刘 刚，朱永利，蒋 伟

(1. 华北电力大学 电气与电子工程学院，河北 保定 071003；2. 贵州理工学院 电气与信息工程学院，贵州 贵阳 550003)

0 引言

动态经济调度DED(Dynamic Economic Dispatch)是在确定的机组组合方式下，根据预测负荷对不同目标的系统运行方式进行优化，从而确定各台机组在多个时段的出力计划[1-2]。与传统的经济调度ED(Economic Dispatch)相比，DED考虑了不同时间断面的爬坡约束，使得其调度策略更符合电网的实际运行情况，但求解难度也相应增大。另外，随着近年来环境污染、全球气候变暖等问题日趋严重，世界各国都面临着节能减排的巨大挑战，因此传统以发电成本最小为目标的经济调度逐渐转变为同时以污染排放和发电成本为目标的多目标环境经济调度EED(Economic Emission Dispatch)[3-4]。动态环境经济调度DEED(Dynamic Economic Emission Dispatch)即是对DED和EED的耦合。

对于DEED的求解方法，通常可将其分为传统方法和智能方法。传统方法求解多目标的思路是根据某种规则和方法将多目标转化成单目标，通过调节各目标的权值来获得一组Pareto解，如文献[5]利用加权技术和半正定规划法进行求解。传统方法的优点是求解效率高、速度快，目前也已经有了很多商业型求解器可以供给研究者使用，但是其要求目标函数可微、初值对解的影响较为灵敏，很容易陷入局部最优，如果目标函数非凸(如阀点效应、禁止区间等所引起的目标函数不可微)，可能导致问题无法求解。相反，智能方法则无此要求，它根据某种启发式规则不断更新种群，从而在整个解空间中搜索最优解。有种通过加权法运行多次求解程序来获得一组Pareto解的智能算法[6-7]，但该方法存在的问题是通过调节权值并不一定能够得到真正的Pareto前沿，且程序需要运行多次，效率较低。求解DEED更多的智能方法是如NSGA-Ⅱ(Nondominated Sorting Genetic Algorithm-Ⅱ)[8]、多目标粒子群优化MOPSO(Multi-Objective Particle Swarm Optimization)算法[9]、多目标微分进化MODE(Multi-Objective Differential Evolution)算法[10-11]等多目标优化算法，这些方法基于Pareto占优和非劣排序等规则，通过一次求解就能获得一组Pareto最优解，求解效率较高。但上述多目标算法目前还存在不少问题，如算法性能对参数选择较为敏感、寻优能力不稳定(鲁棒性较差)、运行耗时、收敛缓慢、解集中含有不可行解、Pareto分布不均匀、容易陷入局部最优、全局寻优能力较弱等问题。例如，NSGA-Ⅱ存在运行比较耗时、收敛缓慢等问题。

在求解多目标经济调度问题方面，已有研究表明MOPSO和MODE算法的性能优于NSGA-Ⅱ[10]。MOPSO算法基于粒子群优化(PSO)的基本操作来实现，其每个粒子根据个体最优和全局最优来实现粒子位置更新，粒子呈现多样性，但也因此很容易陷入局部最优；MODE算法是基于微分进化(DE)算法实现的，个体通过随机选择的不同个体之差来实现变异，再经过交叉、选择等操作来实现种群更新，全局解的寻优能力强，收敛速度较快，但是个体更新没有记忆机制，也没有全局最优来引导寻优过程。文献[12]结合DE和PSO的优缺点，提出了基于DE-PSO的混合算法来求解单目标经济调度问题，得到了良好的效果。基于以上的分析和受到文献[12]的启发，本文设计了一种融合DE和PSO的混合多目标优化算法来求解DEED问题，该方法使用自适应参数的改进DE和PSO双种群更新策略，基于Pareto占优原则和一种改进的Pareto解集裁剪技术，能够找到较宽和更均匀的Pareto前沿，通过测试案例验证了该方法的可行性和优越性。最后，基于模糊决策技术，在Pareto解集中提取了最佳折中解以供决策者进行参考和决策。

1 DEED数学模型

1.1 目标函数

a. 火电机组发电费用。

常规火电机组的能耗特性通常可用二次函数进行拟合，此外，由汽轮机突然开启所产生的阀点效应会在机组能耗曲线上叠加一个脉动效应[1,8]。在T个时段内N台常规机组的总能耗费用fc表示为：

(1)

b. 火电机组污染气体排放量。

燃煤机组在发电过程中的污染排放物主要为硫氧化物(SO2)、氮氧化物(NO、NO2)等污染物，各污染气体排放量与机组有功出力的关系可以单独建模，也可综合建模。本文中，污染气体排放量fe采用如下的综合排放模型[1,8]：

(2)

其中，fe单位为lb/h；αi、βi、γi、ζi和λi为燃煤机组i的污染气体排放量系数，可根据电厂的有害气体排放检测数据采用拟合方法得到。

1.2 约束条件

a. 功率平衡约束。

对每个调度时段，系统总有功功率应与网损和负荷之和保持供需平衡，即：

(3)

其中，pD,t、pL,t分别为第t时段的负荷需求预测和网损。网损可以通过潮流计算得到，但研究中通常利用B系数法进行求取[13]：

(4)

其中，Bi j、B0i、B00为网损系数。

b. 出力约束。

火电机组出力应受到其上下限约束：

(5)

c. 火电机组爬坡约束。

(6)

2 混合DE-PSO多目标算法

在提出本文多目标优化算法之前，先对DE算法和PSO算法进行简要介绍。

2.1 DE算法

DE算法是一种高效的智能优化算法，其种群更新主要由变异、交叉、选择这3个操作来完成，具体描述可参见文献[14]。为了兼顾个体的多样性和算法的收敛性，本文中DE算法的变异操作融合了DE/rand/1和DE/best/1这2种变异策略：

(7)

(8)

其中，F0为迭代终止算子(在[0.1,0.6]间取值)，初始时F=2F0，到后期逐渐接近F0；Gmax为最大迭代次数。

2.2 PSO算法

PSO算法是一种基于群体协作的智能优化算法[15]，其每个粒子(也即决策向量)的分量根据自身所获得的一个速度来进行位置更新，粒子分量的速度vi, j和位置xi,j更新公式分别为：

vi,j(G+1)=ωvi,j(G)+c1rand1[Pi,j(G)-xi,j(G)]+

c2rand2[Pg,j(G)-xi,j(G)]

(9)

xi,j(G+1)=xx,j(G)+vi,j(G+1)

(10)

其中，ω为惯性权重；c1、c2为学习因子；rand1、rand2为[0,1]区间内相互独立的随机数；Pi, j为单个粒子的个体最优位置，也记作PBest；Pg,j为所有粒子的全局最优位置，也记作GBest。为了在PSO算法的全局和局部搜索能力间进行折中，本文采用一种自适应的ω：

(11)

其中，ωmax、ωmin分别为最大、最小惯性权重。

2.3 混合多目标DE-PSO算法流程

多目标问题中，目标的度量往往不一致，且这些目标可能是相互冲突的，即一个目标的优化会导致另一个目标的劣化，因此希望能求出的是一组非劣解(Pareto最优解)，即对一个或几个目标函数不可能进一步优化而对其他目标函数不至于劣化的解，多目标相关知识可参见文献[16]。为了求解DEED问题，本文设计了一种基于外部存档集合和双种群优化机制的混合多目标算法，称之为混合多目标DE-PSO HMO-DE-PSO(Hybrid Multi-Objective DE-PSO)算法，该算法根据某种规则将初始种群一分为二，一个采用DE优化策略，另一个采用PSO策略。首先对外部存档集、Pareto解集裁剪规则、将DE和PSO算法应用到多目标优化中需要进行的改造、种群划分规则等内容进行介绍。

a. 外部存档集合。

自从Zitzler等提出基于外部精英存档机制的SPEA(Strength Pareto Evolutionary Algorithm)多目标算法[17]后，许多学者都提出了基于该机制的多目标优化算法。精英存档机制通过一个外部存档集合来存放在算法迭代过程中所找出的Pareto最优解。初始时，该集合为空集，算法第1次迭代所找到的Pareto解被存放到集合中，但从第2次迭代开始，新找出的Pareto解都要一一与原外部存档中的每个解进行对比来决定外部存档集的更新，比较原则如下：如果新的Pareto解被外部存档集中的任意一个解支配(或占优)，则该解不能进入集合；如果外部存档集中某些解被新的Pareto解支配，那么这些被支配的解需从原集合中删除，该新的Pareto解进入集合；如果外部存档中没有任何解能支配该新的Pareto解，且该解也不支配存档集中的任何一个解，则该解也作为Pareto解进入集合。当该集合中解的个数达到一定的数量NS时，计算每个Pareto解的拥挤距离，保留拥挤距离大的前NS个解，其余的根据规则进行裁剪。

b. Pareto解集裁剪规则。

Pareto解集裁剪是根据每个解的拥挤距离来实现的，拥挤距离的计算和裁剪方式决定了Pareto前沿分布的均匀性，本文通过图1说明本文的拥挤距离计算方法和裁剪方法。

图1 拥挤距离计算示意图Fig.1 Schematic diagram of crowding distance calculation

图1中，f1、f2分别为目标函数1和目标函数2。因为每个目标的度量不同，在计算拥挤距离时各目标值需要归一化到[0,1]区间，且2个极端点被赋予最大的拥挤距离。图1中，如果要计算A点的拥挤距离，传统的计算公式为：

(12)

其中，dA为A点的拥挤距离。通过这种计算方式，B点的拥挤距离与A点的拥挤距离可能很接近，但很明显B点比A点要拥挤得多，为了合理地体现各个解的拥挤程度，本文采用如下的计算方式：

(13)

当外部存档集合中解的数量超过NS后，需要根据拥挤距离来裁剪集合。传统一刀切的方式会出现这样的一种情况：如图1所示，如果当前要裁剪掉3个解，一刀切的方式将会将区域I中的E、C、D这3个点都裁剪掉，Pareto前沿中就会出现较大的一块空白区。为此，本文采用一种每次只裁剪1个解的循环裁剪方式，即在裁剪过程中，每次只裁剪1个拥挤距离最小的解，然后重新计算解集中每个解的拥挤距离，直到解集中解的数量被裁剪至NS。这种方式下图1中被裁剪的3个解将会是C点、E点和B点。

c. DE和PSO的改造。

(14)

PSO的改造只需确定单个粒子的个体最优位置PBest和所有粒子的全局最优位置GBest。与DE中的做法相同，从外部存档集中随机选择一个Pareto解作为GBest。而PBest根据支配原则来更新，即如果新的粒子支配PBest，则PBest被新粒子替换，如果互不支配，则统计新粒子与原PBest各支配的粒子数量，支配粒子数量较多的为新的PBest。

d. 种群划分规则。

前已分析，DE算法全局解寻优能力较强，收敛速度较快，但没有个体的记忆机制和全局最优引导，算法容易早熟；PSO算法的粒子呈现多样性，算法在解空间中搜寻范围很大，但也很容易陷入局部最优，且算法收敛不稳定。因此，基于这2种算法各自的优缺点，在每一次迭代过程中，根据某个目标的适应度将种群划分为优等种群和劣等种群，即将目标适应度按升序排序(针对最小化问题)，前一半为优等群，后一半为劣等群，DE策略应用于优等种群，充分发挥全局解的搜索能力，PSO策略应用于劣等群，使算法能在更大的范围内寻优。但本文的问题是一个两目标(发电成本和排放量)的优化问题，为了能同时优化这2个目标，本文采取的种群划分规则是：在奇数次迭代中按发电成本fc来划分，在偶数次迭代中按排放量fe来划分，这样就能同时兼顾这2个目标。综上所述，本文所提的HMO-DE-PSO算法流程如图2所示。

图2 HMO-DE-PSO算法流程Fig.2 Flowchart of HMO-DE-PSO algorithm

3 实例分析

3.1 测试系统及算法参数设置

为了验证本文所提出的HMO-DE-PSO算法，在Core i5 2.5 GHz CPU+4 GB RAM+Win7 64 bit+Java环境下，用1个10机火电系统来进行仿真分析。火电机组煤耗参数、污染排放参数、出力限制、爬坡速率、网损系数、负荷预测数据等参见文献[18]。算法参数设置如下：Gmax=1 200，初始种群NP=100(种群划分后DE和PSO各占50)，NS=40；DE算法中的F0=0.45，PSO中的c1=c2=1.1，ωmax=0.8，ωmin=0.4。

3.2 实验结果与分析

实际应用中最终实施的方案一般只有1个，本文采用模糊集理论以及最大最小原则从Pareto非劣解集中确定一个最佳折中解以供决策者选取，各Pareto解的满意度计算公式可参见文献[14]。测试结果包含以下几种情况：基于本文自适应DE算法的单目标(分别以发电成本和排放量为目标)优化调度结果和基于HMO-DE-PSO的多目标优化调度结果对比；基于HMO-DE-PSO的多目标优化调度结果和MOPSO、MODE、NSGA-Ⅱ的优化结果对比。

首先应用本文改进的DE算法分别对发电成本和排放量进行单独优化(迭代次数为1 200，分别运行10次，取最优结果)，优化结果如表1所示，各目标的寻优过程如图3所示。由于文献[8]中也根据相同的测试数据采用了MRGA(Modified Real-coded Genetic Algorithm)算法进行求解，因此将文献[8]和文献[18]中的单目标优化结果列于表2中以进行比较。表1中minfc和minfe分别表示以成本和排放最小为目标进行优化，可以看出目标为minfc时，得到的24个时段调度最优成本为$2 494 563.88，而相应的排放量则达325 745.77 lb；目标为minfe时得到的最小排放量为294 656.06 lb，而相应的成本则升高至$2 617 725.73，说明了发电成本和排放量是一对相互冲突的目标。表2中的min[wfc+(1-w)fe]表示w=0.5时的加权组合优化，可以看出本文单目标优化结果要优于文献[18]中的结果，minfc的优化结果也小于文献[8]中的结果，但minfe的优化排放量要略高于文献[8]的结果，但文献[8]中迭代次数为20 000次，为本文的18倍。以上分析说明了本文单目标算法是有效的。

表1 本文改进DE单目标优化结果Table 1 Results of improved DE single objective optimization

图3 单目标优化迭代过程Fig.3 Iterative process of single objective optimization

文献min fc发电成本/$min fe污染排放量/lbmin[wfc+(1-w)fe] 发电成本/$,污染排放量/lb[8]2.497×1062.924×1052.521×106,3.092×105[18]2.517×1063.041×1052.525×106,3.124×105

应用HMO-DE-PSO算法求解(同样取10次运行中最好的结果)DEED模型得到的最优Pareto前沿(含40个非劣解)如图4所示。

图4 HMO-DE-PSO得到的Pareto前沿Fig.4 Pareto front achieved by HMO-DE-PSO

进一步将图4的Pareto前沿中的2个极端解(排放最优解MEES(Minimum Emission Extreme Solution)和成本最优解MCES(Minimum Cost Extreme Solution))和1个最佳折中解BCS(Best Compromise Solution)列于表3。从中可以看出，HMO-DE-PSO算法可以得到和单目标优化时相近的极端解，其中，虽然MEES中的排放量要略高于DE单独优化的结果，但MCES中的成本要远低于DE单独优化的结果，说明HMO-DE-PSO算法可以同时优化发电成本和排放量2个目标。同时，BCS与表2中的加权法结果相比，其成本和排放量都要小一些。若将所提取的BCS作为调度方案，可以在成本仅增加3.82%的情况下，将排放量降低7.65%。图5给出了BCS调度方案下各机组的出力示意图，图中负荷点上方的部分是网损量。

表3 BCS和2个极端解的目标值Table 3 Objective values of BCS and two extreme solutions

图5 BCS下各机组的出力计划Fig.5 Power output of each unit under BCS

为了充分说明HMO-DE-PSO算法的效果，分别应用NSGA-Ⅱ、MOPSO、MODE对测试系统进行求解，各种算法所得Pareto前沿如图6所示。图6中箭头指示的解为各Pareto前沿的BCS，可以看出，HMO-DE-PSO算法所得到的Pareto前沿几乎没有重叠的解，其分布比MODE、MOPSO、NSGA-Ⅱ算法得到的Pareto前沿更靠前，解集更具多样性且分布更均匀。

图6 Pareto前沿对比Fig.6 Comparison of Pareto fronts

为进一步对各多目标算法性能进行合理的评价，本文引入3种多目标性能评价指标PIs(Perfor-mance Indicators)来评价各算法性能，分别是分布性或多样性指标DM(Diversity Metric)[19]、分散性指标MS(Maximum Spread)[20]和一种称为基于容量空间的准确度评价指标(Accuracy PI,文献中称为Hypervolum)[17]。其中，DM是用来评价多目标算法Pareto解集分布的均匀性，该值越小说明算法所获得的Pareto解越均匀；MS是测量2个极端Pareto解间的距离，用来表征解集的最大分散性，即是否能够搜索到更小的各个目标值，该值越大，Pareto前沿分散性越好；Hypervolum是用来评价解空间的准确度，Hypervolum的评价思想是，如果Pareto解集能够支配的适应度空间越大，Hypervolum就越大，则相应的算法就越好[17]。表4中计算了各种算法的归一化评价指标，可以看出，HMO-DE-PSO算法获得了最大的Hypervolum和MS以及最小的DM，其所获得的解集从各个方面要优于其他算法的结果。

表4 各算法归一化后的多目标评价指标值Table 4 Multi-objective evaluation indexes after normalization of each algorithm

DEED同时兼顾了经济性和环境两方面的因素，在目前节能减排的背景下具有重要的现实意义。多目标优化能够给决策者提供多种调度方案进行选择，若以经济性为先，则MCES是最好的选择，若以环境优先，则MEES是最好的选择，而BCS是两者进行折中的结果，在DEED中是一个很好的选择。

4 结论

由于发电机阀点效应的影响，本文的DEED是一个非光滑的两目标优化问题，传统方法很难进行求解。基于DE算法和PSO算法各自的优点，提出了融合2种算法优点的HMO-DE-PSO求解算法。仿真算例表明，所提算法可以同时优化发电成本和排放量2个目标，从解的多样性、分散性和准确性方面都得到了比NSGA-Ⅱ、MOPSO、MODE要好的Pareto前沿，该方法具有一定的优越性。另外，实现节能减排的另外一种措施是大力发展清洁能源，因此考虑含水电、风电和太阳能发电等可再生能源并网的DEED将是笔者下一步重点研究的方向。