非正弦周期性负荷扰动引发强迫振荡机理分析

伍双喜，徐衍会，宫晓珊

(1. 广东电网有限责任公司 电力调度控制中心，广东 广州 510600；2. 华北电力大学 电气与电子工程学院，北京 102206)

0 引言

近年来强迫振荡在电力系统中时有发生，严重影响了电力系统的安全、稳定运行。强迫功率振荡从产生机理到振荡特征均与经典弱阻尼自由振荡有较大的区别，于是国内外学者对强迫振荡的机理、特性、振荡源定位以及抑制方法等进行了丰富的研究。强迫功率振荡的概念在1990年被提出[1]，文献[1]指出即使安装了电力系统稳定器(PSS)，在联系较弱的系统中仍然可能发生低频振荡。文献[2-4]通过求解线性化电力系统的动态方程分析强迫振荡的机理，并得出结论：当系统持续的周期性功率扰动的频率接近系统功率振荡的固有频率时，会引起大幅度的功率振荡。在此基础上，文献[5]引入多自由度强迫振动理论推导得到多机系统的强迫振荡方程；文献[6]拓展了传统的狭义强迫振荡的研究，研究在模式间非线性相互作用的影响下广义强迫振荡的理论。通过对机理的深入研究，文献[7-9]分别通过能量法、经验模态理论、时延估计法对振荡源进行定位，从而进一步对强迫振荡进行抑制。

电力系统中存在着持续的周期性负荷扰动[10]，因此负荷侧能否引起电网强迫功率振荡非常值得研究。当负荷扰动的频率与系统固有频率相同或相近时，同样会引发系统的强迫功率振荡，表现为机组间转子角的剧烈摇摆、输电线传输功率的大幅波动[11-13]。文献[11]对2机模型进行推导，阐述了原动机功率与负荷两者持续周期性扰动引发电网强迫功率振荡的区别。在此基础上，文献[12-13]分析了周期性负荷扰动引发多机电力系统强迫功率振荡的机理，并分析了负荷扰动引发强迫功率振荡的主要影响因素；文献[14]通过仿真验证了强迫振荡程度受振荡源位置的影响。

然而，现有的针对负荷侧强迫振荡的研究大多基于在负荷节点引入正弦波扰动，根据强迫功率振荡实例，能够引发强迫振荡的负荷为具有主动性的冲击性负荷，该类负荷波形具有类似方波或三角波的特征，而并非正弦波。2015年3月广州增城站由于联众钢铁厂负荷波动引起强迫功率振荡，同年9月柏山站因用户侧的轧钢机、精炼炉等设备的冲击性负荷引发强迫功率振荡。从现场数据录波可见，增城站的增宁甲线和增荔甲线发生振荡时的有功功率波形不同于发生一般振荡时的正弦波形，而更接近于有平顶的方波，柏山站的马柏线发生振荡时的有功功率波形也并非正弦波形而更接近于有尖顶的三角波。因此研究非正弦周期性负荷扰动引发强迫振荡的机理更具有工程实践的意义，同时也为进一步研究负荷侧引发的强迫振荡的传播与抑制奠定了基础。

本文将冲击性负荷扰动通过傅里叶分解为若干正弦波的叠加，完善了冲击性负荷引发电网强迫功率振荡机理的理论推导，对比了冲击性负荷扰动与正弦波负荷扰动引发系统强迫振荡的区别，并分析了影响强迫振荡幅值的主要因素，对负荷侧引发强迫振荡的相关研究具有更多的工程指导意义。

1 单机无穷大系统非正弦负荷扰动分析

1.1 冲击性负荷

冲击性负荷泛指功率变化速度很快的负荷，如核物理研究中电子加速器的用电负荷、轧钢用电负荷等。钢铁厂中的开坯轧机、厚板轧机、型钢轧机和热连轧的粗轧部分等的生产用电都具有冲击性负荷的特性。一般而言，冲击性负荷具备如下特点[15]：

a. 具有主动性，冲击性负荷由自身的生产特性决定了其从系统吸收的功率；

b. 功率变化速度快，通常在短时间内负荷急剧上升或下降；

c. 具有连续周期性，周期为几秒到几分钟；

d. 有功冲击幅值大，可达100 MW以上，当采用整流装置供电时，无功冲击幅值可达100 Mvar；

e. 冲击历时长，可达几分钟。

2015年3月广州增城站发生负荷扰动引起的强迫振荡，增宁甲线的有功功率实测录波如图1所示。

图1 冲击性负荷扰动引发的强迫振荡Fig.1 Forced oscillation caused by impulsive load disturbance

从图1可以看出，实测冲击性负荷引起的强迫振荡有功功率波形不同于一般振荡的正弦波形，而更接近于有平顶的方波。正常生产情况下，铝材厂与炉卷轧机及其供电母线上的负荷变化情况录波[16-17]波形也均和图1类似，可看作带有平顶的方波。因此，本文后续将冲击性负荷简化为方波进行分析。下文将分析冲击性负荷对电力系统稳定性的影响。

1.2 单机无穷大系统分析

单机无穷大系统如图2所示，发电机采用经典模型(E′恒定)，发电机内电势为Eg∠δ，节点1为发电机与变压器的连接节点，电压记为Vt;节点2为负荷节点，引入的周期性负荷扰动为ΔPd、ΔQd，节点电压为Vd∠θd;节点3为无穷大节点，节点电压为Vs∠0°。

图2 单机无穷大系统Fig.2 Single-machine infinite-bus system

线性化后的节点注入功率方程为：

(1)

其中，H、N、M、L分别为Pe、Qe、Pd、Qd对δ、Eg、θd、Vd的偏导数，Pe、Qe分别为发电机输出的有功功率、无功功率；Δ表示相应变量的变化量。经典模型情况下，ΔEg=0，消除Δθd、ΔVd可以求得：

ΔPe=KSΔδ+KPΔPd+KQΔQd

(2)

其中，KS为同步系数；KP和KQ分别为有功负荷扰动与无功负荷扰动的相关系数。

为了方便分析，假设扰动负荷的有功功率是幅值为ΔPdm、占空比为50%的方波，如图3所示。

图3 周期性方波负荷扰动曲线Fig.3 Square wave of periodical load disturbance

图3所示方波的数学表达式为：

ΔQd=0

任何周期为T的波函数f(t)都可以表示为三角函数所构成的级数之和，则该方波可傅里叶分解为：

(3)

其中，ω=2π/T，为基波三角函数f(t)的角频率。

发电机的线性化转子运动方程为：

(4)

其中，ω0为发电机转子的额定转速；ωr为发电机转子转速；TJ为发电机惯性时间常数；PT为发电机的输入机械功率；KD为发电机阻尼系数。

(5)

即：

(6)

当ΔPd=ΔPdmsin(ωt)时，式(4)的特解为Δδ(t)=Bsin(ωt-φ)，根据线性方程解的可叠加性，式(5)的解可看作若干非齐次项为正弦量的方程解的叠加，当只取ΔPd傅里叶分解的前3项时，可得强迫振荡的振幅和相位分别为：

(7)

(8)

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2 多机系统非正弦负荷扰动分析

对于含有M台发电机、N个节点的多机系统，在发电机节点增加内电势节点，其编号为1、2、…、M，原网络发电机和负荷节点编号依次为M+1、M+2、…、M+N，则各节点的注入功率可以表示为：

(9)

其中，i=1，2，…，N+M；φ=[δT，θT]为所有节点相角，δ=[δ1，δ2，…，δM]T为发电机功角，θ=[θ1，θ2，…，θN]T为原网络节点电压相角。

将式(9)在稳定平衡点处线性化，可得：

(10)

其中，i=1，2，…，N+M。

可将式(10)写为矩阵形式：

(11)

假设只考虑负荷的电压静特性，则有：

(12)

发电机用经典模型表示，内电势保持恒定，即ΔVM=0，因此忽略雅可比矩阵的第2列，并且可以不考虑发电机的无功功率偏移ΔQM，则式(11)可以整理为：

(13)

KSΔδM+KdΔSN

(14)

(15)

取Kd中与有功负荷扰动相关的元素，即其第l列，记为KP=[KP1，KP2，…，KPM]T，则发电机的电磁功率变化可以表示为：

ΔPei=KSiΔδMi+KPiΔPli=1,2,…,M

(16)

KSi仍可以认为是同步系数，KPi为负荷扰动有功功率相关因子，表示机组电磁功率变化中与负荷扰动直接相关部分的系数，这样便将发电机的电磁功率变化表示为转子角偏移和负荷扰动的函数。其中KPi为实数，即负荷扰动与由其引起的各机组电磁功率扰动分量是同步变化的，其大小由负荷与机组间的电气距离决定。

发电机的线性化转子运动方程为：

(17)

考虑周期性负荷扰动引发的强迫功率振荡，忽略发电机的机械功率变化，即ΔPTi=0，将式(16)中的ΔPei代入式(17)，得到强迫项为 -KPiΔPl的常系数线性非齐次微分方程组，如式(18)所示。

(18)

线性化的状态方程可以写为矩阵形式：

(19)

为了消除方程间的耦合，采用模态坐标，可令x=Φz，代入式(19)可得系统新的坐标方程为：

(20)

其中，Φ为A的右特征向量矩阵；Λ=Φ-1AΦ。

采用模态坐标后，系统解耦方程可以写成：

(21)

因此，系统第r阶振荡模式的解耦方程为：

(22)

(23)

系统发生强迫振荡的稳态解为N-1对共轭模态响应的叠加，其解为：

(24)

第i个状态变量的解为：

xi(t)=

(25)

频率比υr=ω/ωnr，则第r阶振荡模式的时域响应为：

(26)

当扰动频率ω与系统第r阶模式的固有频率ωnr相近时，第r阶振荡模式的稳态振幅比其他阶模式的稳态振幅大得多，可以近似将其认为是系统的总响应。

(27)

弱阻尼模式下，阻尼比ζr较小，即特征值实部远小于虚部，φr≈π/2。则式(27)可以整理为：

[sin(γir+σrl+ωnrt)+sin(γir+σrl+3ωnrt)/3+

sin(γir+σrl+5ωnrt)/5]

(28)

3 算例分析

3.1 单机无穷大系统算例

以图2所示单机无穷大系统系统为例[18]，系统基准频率为50 Hz，系统振荡频率为0.927 Hz，阻尼比为2.45%，变压器阻抗为j0.15 p.u.，低压侧母线与无穷大母线间的线路阻抗为j0.5 p.u.。

在低压侧母线处分别施加10 MW周期性方波与正弦波负荷扰动，扰动频率为固有振荡频率0.927 Hz，如图4所示。

图4 周期性方波与正弦波负荷扰动Fig.4 Periodic square wave and sinusoidal load disturbance

图5展示了发电机在正弦波负荷扰动与方波负荷扰动下的功角对比，方波负荷扰动引发的强迫功率振荡下状态变量稳态时域响应比正弦波负荷扰动更大，经仿真可看出方波扰动下强迫振荡的幅值明显高于正弦波扰动并且相位稍有滞后。

图5 发电机功角Fig.5 Power angle of generator

3.2 IEEE 9节点系统算例

IEEE 9节点系统如图6所示，系统有2个振荡模式，振荡频率分别为1.985 Hz、1.259 Hz，阻尼比分别为9.29%、3.86%。其中模式1为G3的本地振荡模式，模式2为G2的本地振荡模式。

图6 IEEE 9节点系统Fig.6 IEEE 9-bus system

在母线BUS C处施加图4所示的10 MW周期性方波与正弦波负荷扰动，扰动频率为模式2的固有频率1.259 Hz。该系统在此频率负荷扰动下发生强迫振荡，图7为3台发电机在正常运行、正弦波负荷扰动和方波负荷扰动下的功角(因2种振荡模式均无G1参与，于是将G1的功角作为参考)。该振荡模式为G2的本地模式，由图7可以看出无论是在正弦波负荷扰动还是在方波负荷扰动下，G2的振荡均比G3更加剧烈。

图7 3种情况下发电机功角Fig.7 Power angle of generators in three situations

图8展示了发电机在正弦波负荷扰动与方波负荷扰动下的功角对比，方波负荷扰动引发的强迫功率振荡下状态变量稳态时域响应比正弦波负荷扰动更大，经仿真可看出方波扰动下强迫振荡的幅值明显高于正弦波扰动。

同理，在母线BUS C处施加10 MW周期性方波与正弦波负荷扰动，扰动频率为模式1的固有频率1.985 Hz。图9展示了振荡模式1下发电机在正弦波负荷扰动与方波负荷扰动下的功角对比，可以得出与上述相同的结论，并可看出在G3的本地模式下，无论是正弦波负荷扰动还是方波负荷扰动，G3的振荡均比G2更加剧烈。

图9 G2、G3功角(模式1)Fig.9 Power angle of G2 and G3(Mode 1)

4 结论

本文在现有的负荷侧强迫功率振荡机理的基础上，完善了非正弦持续周期性负荷引发电网强迫功率振荡机理的理论推导，对比了冲击性负荷扰动与正弦波负荷扰动引发系统强迫振荡的区别，并得出以下结论：

a. 根据强迫功率振荡实例，能够引发强迫振荡的负荷为具有主动性的冲击性负荷，该类负荷波形具有类似方波或三角波的特征，而并非正弦波；

b. 方波负荷扰动引发强迫功率振荡下状态变量的稳态时域响应比正弦波负荷扰动更大，电力系统发生周期性方波负荷扰动时，比同幅值正弦波负荷扰动引起的振荡幅值更大；

c. 非正弦周期性负荷引发强迫振荡时，振荡模式与正弦波负荷扰动引起的强迫振荡的振荡模式基本一致，在主要参与振荡模式的机组上更容易引发大幅度的强迫功率振荡。