关于初中数学教材中描述性定义的教学思考

2018-09-27 20:33张向东
湖南教育·下 2018年9期
关键词:一元二次方程定义概念

张向东

数学概念是数学知识体系的基石,是理解并掌握数学理论和方法的基础。初中数学教材常用非严格的语言(范例+描述)对数学概念进行简洁、形象、定性的陈述,我们称之为描述性定义。如二元一次方程组的概念,湘教版是这样定义的:像这样,把两个含有相同未知数的二元一次方程(或者一个二元一次方程,一个一元一次方程)联立起来组成的方程组,叫做二元一次方程组。

从数学科学的角度讲,每个概念的表述应该是严密、精确的,但从数学教育的角度来看,对一些概念给出严格的定义是没必要的,有时也是不可能的,如二次根式、函数的定义。如何权衡二者的关系,苏步青先生有一句名言:中小学教材可以混而不错。不错是大前提,关注的是大方向、本质;混是放松严格性的要求,现阶段讲不清楚的问题用写意的方式说明,但仍不失其真。因此,教师们不妨从以下两个方面来理解描述性定义的适当性。

1.从当前的教育需求看描述性定义够用。

2.从学生的认知现实看描述性定义好用。

数学概念具有抽象概括性、严密的逻辑关系以及运动、变化、联系的思想等特性,而初中学生抽象概括水平不高、逻辑思维能力偏低、易受思维定式束缚。综合考虑数学概念的特性和学生的可接受性,对一些概念给出描述性的定义,学生可以通过阅读通俗易懂、简洁明了的语言,结合范例和描述,从具象到抽象,快速领悟概念的实质。

总之,描述性定义从数学教育的立场上尊重了学生的认知现实与学习需求,虽然从数学科学的立场上有失严谨性,但整体上有利于发展学生的数学素养。因此在初中阶段对一些概念仅给出描述性定义是适当的,也是必需的。

课程改革从“一纲一本”到“一标多本”,教材观也随之发生变化。在统一教材的时代,教科书是教学活动的唯一载体,教科书在教学过程中是神圣的、不可替代的。在“一标多本”的时代,教科书不再是包办一切的登山缆车,而是学生攀登科学高峰的助力工具;教材不再是固化定型的统一模具,而是培养人才的重要载体之一;所选用的教材不再是“圣经”,书中的结论也不再是“圣旨”。

教学实践中,不少教师认为概念的定义应该是百密而无一疏。经常有教师对教材中诸如二(三)元一次方程组、相似等概念的描述性定义提出异议,甚至有教师囿于描述性定义的文字内容进行错误判断。教师只有更新教材观,了解描述性定义的特点,才能消除因描述性定义的严谨性不够带来的教学困扰。

对于概念的描述性定义的教学,教师既要立足当前,关注概念在当下教学的地位与作用,满足学生现时数学学习的需求;又要着眼于长远,关注概念的本源与在学生学习历程中的流向,有利于学生后续在数学上的发展。

引导学生区分运用不同形式的定义。初中数学教材中,既有描述性定义界定的概念,又有通过归纳类比或抽象给出严格定义的概念,如平行四边形的定义。严格定义中给出了充要条件,其逆命题也是成立的。描述性定义因严谨性不够,要防止学生死搬硬套定义;对于接受能力强的学生提出有关延伸性问题,教师要站在教材编写的角度与更高的知识高度对学生进行说明,激励学生通过下一阶段的学习提升认识。

引导学生全面准确地认识描述性定义。教师自身要站在数学科学的高度把握描述性定义的本质,在课堂教学中引导学生由表及里,由局部到整体形成全面准确的认识。首先要结合范例和描述了解概念的实质,再根据概念的形成或同化过程细细品味其未尽之意。如人教版关于一元二次方程是这样定义的:

像这样,等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程。

上述定義并未涉及一元二次方程的判断前提。在概念的形成过程中,教材(含章节前言)呈现了3个实例,得到了3个方程x2+2x-4=0、x2-75x+350=0、x2-x=56。以上3个方程都是经过整理(移项、合并同类项)后所成。结合概念的形成过程,就会知道判断一个方程是否为一元二次方程的前提是“方程经过整理后”。

引导学生逐步深入地认识描述性定义。对于描述性定义,随着学习的深入,学生对所刻画的数学概念的认识由单一到全面、从模糊到精确。在教学中,可以通过后续相关概念的学习,从概念的比较与联系中矫正错误、深化认识。

首先要引导学生抓住同类概念的共同属性。如湘教版关于相似是这样定义的:“直观上,把一个图形放大(或缩小)得到的图形与原图形是相似的。”定义本身只是描述这样的图形是相似的,但学生易错认为相似的图形一定是大小不等的。在后续相似三角形的学习中,学生就会认识到全等形也是相似形,这样上下结合能帮助学生抓住相似形的本质属性,防止以偏概全。

其次要引导学生对概念的逻辑关系进行分析。如在学习矩形、正方形后,对二者的关系进行辨析,完善小学关于长方形的认识,正确认识长方形的长与宽的大小关系。

恰当处理相关概念的训练问题。首先,描述性定义是为了便于学生认识、方便交流,不必倾注过多精力在描述性定义的应用训练中,对这些概念的内涵与外延进行拓展训练就更没有教学意义,如下列问题就不宜作为学生训练与教学评价材料。

教材中称整数和分数统称有理数,从更高的视角看,整数也是分数,整数和分数统称有理数的说法是欠妥的。教材中称单项式与多项式统称为整式,从更高的视角看,单项式可以看作多项式。教材之所以这样表述,是为了使学生在认知可能的前提下对有理数、整式的意义有一个初步的认识,便于学生掌握。实际教学中既要关注其对立性,又要关注其统一性,过于强化对立性,不利于培养学生的辩证思维。【本文系湖南省教育科学“十三五”规划立项课题“初中数学‘自主·深度教学的实践研究”(课题号:XJK016BZXX040)的阶段性成果】

(作者单位:沅江市教育局教育研究室)

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