巧添辅助线解答几何疑难问题

2018-10-11 03:44
关键词:位线辅助线中点

(湖南省洞口县文昌街道城关初级中学 湖南邵阳 422300)

添置辅助线是解几何题中常用的手段,在几何问题中,添加辅助线可以说是解题的关键点。辅助线好比是一座桥梁,将已知条件与待解决的问题联系起来,从而找到解决问题的方法,起到化难为易的作用。很多平面几何都不是直接可以证明出来的,而是要借助辅助线才能证明出来。添加辅助线时,应从题设条件和结论之间的关系来分析,使辅助线成为有效的过渡之“桥”。

下面我举几个例子来说明:

一、添加辅助线,将不规则的四边形转化为三角形

例1:如图1.已知在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°

图1

求AD和BC的长

分析:作辅助线、延长边AD和BC相交于点E,将四边形ABCD补全成△ABE再利用直角三角形性质求解。

解:延长BC、AD相交于点E

∵∠B=∠D=90°∴△ABE和△CDE都是直角三角形

∵∠B+∠ADC=180°∴∠A+∠BCD=180°∵∠A:∠BCD=1:2

说明:本题采用延长补形法,将不规则的四边形补形成为直角三角形,再利用勾股定理求解。

二、作辅助线,将三角形整体移动,构成特殊图形进行计算

例2:如图2,已知△ABC中,∠ACB=90°

图2

A C=B C,D、E是A B上的两点,且AD=4,BE=6,∠DCE=45°,求DE的长。

分析:已知条件中AD、BE和所求DE分布在不同的三角形中,可以在△ABC的外部做一个△CBF,使△CBF≌△CAD,从而得到BF=AD,EF=DE,将三条线段移到同一个三角形中,求解。

解:在△ABC的外部,作△BCF,使∠BCF=∠ACD CF=CD

连结 EF

∵AC=BC ∠ACD=∠BCF CD=CF ∴△ACD≌△BCF

∴AD=BF ∠A=∠CBF ∵∠ACB=90°

∴∠EBF=90° ∵∠DCE=45° ∴∠ACD+∠ECB=45°

即:∠ECF=45° ∴△DCE≌△FCE ∴DE=EF

说明:本题采用作辅助线的方法,将△ACD移到BC边的右侧,从而将不相关联的三条线段,移至同一直角三角形中求解。

三、利用补形法,把图形补成有利于问题解决的基本图形

例3:如图3,已知△ABC中,AO=DO,AO是∠BAC的角平分线,CD⊥AO,垂足为D,求证:AC=3AB

图3

分析:延长AB、CD相交于E点,由AO平分∠BAC,AD⊥CD,可 知AC=AE,DE=DC,取BE的中点F,连接DF,利用三角形中位线性质可得,AB=BF=EF,最后可得AC=AE=3AB。

证明:延长AB、CD相交于点E,取BE的中点F,连接DF。

∵AO平分∠BAC,AD⊥CD ∴△ACD≌△AED ∴ AC=AE CD=DE

∵F为BE的中点∴DF∥BC 又∵AO=DO ∴AB=BF

∵F为BE的中点 ∴AB=BF=EF

即:AE=3AB ∴AC=3AB

说明:本题是将不规则图形补形成等腰三角形,再利用三角形中位线的性质做桥梁,得出结论。

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