基于一般灰数的广义灰色关联分析模型

蒋诗泉，刘思峰，刘中侠，方志耕

（1.铜陵学院 数学与计算机学院，安徽 铜陵 244000；2.南京航空航天大学 经济与管理学院，南京 210016）

0 引言

灰色关联分析是一种因素分析方法，灰色关联度模型是灰色关联决策理论的重要基础，是分析不确定性系统的一个重要的工具。邓聚龙第一次使用欧式距离来测度两个系统在发展趋势上的相似性，并提出了关联系数的概念和灰色关联度一般模型[1，2]。在此基础上，文献[3-5]从关联系数、序列之间距离的测度等不同角度对灰色关联度进行了改进与拓展研究，对新型灰色关联度模型的构建进行有益的探索。受关联度构造思想的影响，刘思峰提出灰色绝对关联度和灰色相对关联度模型[6-8]。在分析前期提出的关联度模型存在问题及其原因基础上，从相似性和接近性两个不同的视角测度序列之间的相互关系和影响，提出了灰色相似关联度和灰色绝对关联度[9]。随着系统发展演化的复杂性，其不确定性表现的越来越普遍，对系统刻画很难用一个实数或一个区间灰数能够准确地描述系统发展和演化特征，为了准确描述系统的特征，刘思峰提出了一般灰数的概念。本文在一般灰数概念基础上，基于核与灰度的思想，依广义关联分析模型的路径，提出一般灰数的绝对和相对关联度模型及相似性和接近性关联度模型及其相应的决策模型，并给出了核期望与核方差的一般灰数的排序方法。最后，利用具有实际背景的案例验证了所建模型在决策应用中的科学有效性。

1 一般灰数的基本概念与定义

定义1[6]：区间灰数和实（白）数统称为灰数基元。

定义2[6]：设，则称g±为一般灰数。其中任一区间灰数，满足且分别称为g±的下界和上界。

定 义 3[6]：（1）设为一般灰数，称为g±的核。（2）设g±为概率分布已知的一般灰数，的概率为pi且满足，则称为g±的核。

定义 4[10]：设一般灰数的背景或论域为为 Ω 的测度，则称为一般灰数g±的灰度。一般灰数g±的灰度也简记为go。 其 中 ，记的 灰 度 ，且

由灰数灰度的定义可知，灰度是表征灰数用其“核”代替其真值的不确定性程度，换句话说就是表示“核”作为区间灰数的真值代表的可能性大小，即概率大小。由此得到基于灰度的一般灰数的核期望与核方差定义。

E(g±)反映了一般灰数“核”的平均水平，D(g±)反映“核”取平均值的稳定性或者各个的离散程度。

命题1：实数的灰度为零，在一般灰数的四则运算过程中参与核的运算但不参与灰度运算。

公理1：（灰度不减公理）当n个一般灰数，，…，进行加法（或减法）运算时，运算结果的灰度不小于其中最小灰度的灰数灰度，为简单灰度取其平均值。乘法（或除法）运算时，运算结果的灰度不小于其中灰度最大的灰数灰度。

公理 2：记则一般灰数的运算法则如下：

2 一般灰数的核期望与核方差排序方法

定义7：若一般灰数核期望和核方差如定义5或定义6所示，对于一般灰数和，

3 一般灰数的广义关联度模型构建

引理1：设一般灰数序列和是等长等间距序列

=，其相应的始点零化像分别为和，则：

证明：由于一般灰数化为简化形式，即实数形式，证明类似文献[6]，具体证明过程略。

定理1：设一般灰数序列和是等长等间距序列

，其相应的始点零化像分别为和。令：

为一般灰数序列和之间的绝对关联度。

证明：（1）规范性：显然，εij＞0。又所以εij≤1；（2）接近性：显然成立。

定理2：设一般灰数序列和是等长等间距序列，

，初值化像分别和其相应的始点零化像分别为和。令：

证明：类似定理1。

定义10：设一般灰数序列和是等长等间距序列，且ĝ1≠0 ，εij和rij分别为一般灰数序列与的绝对关联度和相对关联度，θ∈[0，1]，则称ρij=θεij+(1-θ)rij为一般灰数序列与的综合关联度。

定理3：设一般灰数序列和是等长等间距序列，其相应的始点零化像分别为和，称为一般灰数序列和基于相似性关联度，简称为相似性关联度。为一般灰数序列和基于接近性关联度，简称为接近性关联度。

证明：（1）规范性：显然，αij＞0 。又≥0，所以αij≤1；（2）接近性：显然成立。

似可以证明βij也满足邓氏关联度的规范性和接近性。

4 基于一般灰数的关联决策模型构建与步骤

步骤1：将一般灰数决策序列矩阵进行规范化处理。

skj为方案k的第j个指标为一般灰数，即其中k=1，2，…，l，j=1，2，…，m。

若skj为效益型指标，则规范化为rkj=，其中

若skj为成本型指标，则规范化为其中

步骤2：确定正、负理想方案。

（1）正理想方案

（2）负理想方案

其中X,C分别表示效益型指标和成本性指标。

步骤3：将一般灰数转化为灰数的简化形式，即g±=形式。

步骤4：按定义8或定义9分别将一般灰数序列通过始点零化像处理为。

步骤5：按定理1和定理2计算正负理想与方案序列间绝对关联度值和相对关联度值。

步骤6：按定义10和定义11计算综合关联度值和综合关联贴近度值。

步骤7：按定义7对的一般灰数排序方法对方案进行排序。

5 案例分析

某投资银行，准备对一个企业进行投资，通过第一轮筛选后，还剩最后三家企业，现要在这三家企业A1，A2，A3中选择一家，其评价指标分别为S1：表示企业年产值（千万元），S2:表示企业社会效益（千万元），S3：表示对环境效率，具体指标数据见表1所示。试确定银行的最佳投资方案。

表1 决策矩阵

步骤1：将决策矩阵进行规范化处理（见表2）。

表2 规范化决策矩阵

步骤2：确定正负理想方案。

步骤3：将规范化决策矩阵表示为简化形式的决策矩阵A,并将正负理想方案序列化为简化形式。

步骤4：按定义9对正负理想序列和A的每行进行始点零化像处理。

步骤5：利用定理1和定理2分别计算每个方案与正负理想方案的绝对关联度和相对关联度及综合关联度。

各方案与正理想的绝对关联度、相对关联度和综合关联度分别为：

各方案与负理想的绝对关联度、相对关联度和综合关联度分别为：

步骤6：计算综合关联相对贴近度。

步骤7：按定义8对方案进行排序。

可以利用核与灰度的关系，将其简化形式转换为一般区间灰数，其中区间灰数的核期望就是简化形式的核。故按照定义8，可以得到如下排序为：γ3≻γ2≻γ1。所以方案排序为A3≻A2≻A1，即方案A3为最优方案。即投资银行应该给企业A3进行投资。

为了说明该决策模型的科学性和合理性，现与文献[18]和文献[6]进行比较。利用文献[6]求一般灰数核，计算核的灰色综合关联贴近度并依其值进行方案排序。文献[18]是基于扩展灰数Hausdorff距离的随机准则决策方法，其决策关键是测度扩展灰数的距离，最后利用基于TOPSS的随机准则的贴近度排序。具体排序见表3所示。

表3 不同方法排序结果比较

从表3的排序结果可以看出文献[6]的排序同本文方法排序比较接近，由于文献[6]在一般灰数运算时只考虑一般灰数的核而没有考虑一般灰数的灰度，从而造成决策稍有偏差。文献[11]的结果与本文的结果相差甚远，主要原因在于文献[11]中对扩展灰数距离的测度的方法上，由于目前对扩展灰数距离测度没有一个令人满意的解决方法，所以不同的距离测度方法都会导致不同的结果。本文最大优点是基于核与灰度为灰理论思想来处理一般灰数的运算与排序，目前来看还是极其合理的。

6 结束语

随着系统的不确定性更为一般化，对复杂系统不确定性表征更加复杂，本文针对复杂系统信息表征为一般灰数时，提出了一种灰色绝对关联度和灰色相对关联度模型，该模型是现有实数型绝对关联度模型和相对关联度模型的拓展研究。基于核与灰度思想，提出了一般灰数的核期望与核方差的排序方法，再此基础上研究了一般灰数的灰色关联决策模型。本文为探讨基于一般灰数的关联度分析提供了一个新的视角和思路，克服了现有模型对一般灰数类型数据的关联分析的不足。通过算例验证了该模型的合理性和有效性。