一类受媒体报道影响的SEIS传染病模型的定性分析

邢 伟，高晋芳，颜七笙，周其华，杨志辉

(1.东华理工大学 理学院,江西 南昌 330013； 2.华东交通大学理工学院,江西 南昌 330013)

传染病的传播过程中会受到多种外界因素的影响,其中媒体报道的影响尤为重要,例如2009年爆发的H1N1流感病毒,当时国内感染该病毒的人数达到10.3万,各大媒体纷纷对该病毒进行报道,公布感染者数量、死亡病例数量、疾病症状等如此一来,人们会选择通过戴口罩,减少户外活动等措施降低被感染的概率，相反,如果没有媒体的报道,人们可能会缺乏对该流感病毒清晰的认识,不能够采取及时的防护措施而被感染,甚至错失治疗的最佳时间，导致不能挽回的结果，所以媒体的报道会极大地影响传染病的传播规律。

1 模型的建立

考虑如下模型:

(1)

其中:S(t)代表t时刻的易感者数量,E(t)为t时刻的潜伏者数量,I(t)为t时刻的染病者数量,M(t)为媒体报道信息量,A为人口的输入常数,ε为由潜伏到患病的转换率,βf(S)I为传染率,d为自然死亡率,α为因病死亡率,γ为染病者到易感者的恢复系数,μ为信息的贯彻率,μ0为媒体报道无效的耗散率,k为信息有效传播率,假设f(0)=0,f′(S)>0,f″(S)<0,μ0>μ。

2 平衡点的存在性

令

(2)

由式(2)第3个等式，得

(3)

由第4个等式得

(4)

将式(3),(4)代入式(2)第2个方程得

将其代入式(2)第1个方程可得

令

因为

(5)

3 稳定性分析

定理2当R>1时,若下列条件满足

2)k<

则系统(1)的唯一地方疾病平衡点P*是局部渐近稳定的。

(6)

系统(6)在疾病平衡点P*的Jacobi矩阵为

J=

λ3+A1λ2+A2λ+A3=0,

其中

A1=q+μ0+acI*+p>0,

A2=qμ0+(acI*+p)(q+μ0)+

ε(acI*-bc)=qμ0+p(q+μ0)+

(q+μ0)acI*+εacI*-εbc=

qμ0+p(q+μ0)+

A3=(acI*+p)qμ0+

(acI*+p)qμ0+εμ0(acI*-bc)-εμβbI*≥

(acI*+p)qμ0+εμ(acI*-bc)-εμβbI*=

A1A2-A3=(q+μ0+acI*+p)[qμ0+

(acI*+p)(q+μ0)+ε(acI*-bc)]-

(acI*+p)qμ0-

因此由Hurwitz判据可知,系统(6)地方疾病平衡点P*是局部渐近稳定的。

定理3当R>1时,模型(1)的地方疾病平衡点P*是全局渐近稳定的。

证明根据文献[14]中性质3.3,当R>1时易知系统(6)是一致持续的,因此在D内存在一个紧吸引子集K。

由上述分析可知，文献[15]中定理3.3.7的假设(H1)和(H2)成立,关键证l<0,系统(6)在地方疾病平衡点P*的Jacobi矩阵为

J=

J[2]=

矩阵B=PfP-1+PJ[2]P-1可写成分块矩阵

其中

B11=-acI*-p-q,

B22=

令(u,v,w)∈R3,其范数‖·‖定义为

‖(u,v,w)‖=max{|u|,|v|+|w|},

相应于范数‖·‖的Lozinski测度是μ(B),μ(B)≤sup{g1,g2},其中

g1=μ1(B11)+|B12|,g2=μ1(B22)+|B21|。

|B12|,|B21|是相应于l1向量范数的矩阵范数,μ1是相应l1范数的Lozinski测度,

μ1(B11)=-acI-p-q,

下面计算μ1(B22),把B22的每一列的非对角元素取绝对值,然后加到对角元素得

由模型(1)，得

将其代入g1,g2，得

利用μ(B)≤sup{g1,g2},对所有满足初值的(E(0),I(0),M(0))∈K,对t>t*,从而

4 结 论