高中生对函数单调性概念理解误区及对策

覃庆东

摘要：函数的单调性是中学数学非常重要的一门课程，其概念课的教学是是整个函数单调性学习和理解基础.研究函数的单调性，其作用并不仅仅在于数学本身的要求，也是解决实际生活中问题的一个重要手段.本文就针对函数的单调性这一课程的概念教学和学习，首先了解学生在学习函数单调性概念课会遇到的困难，然后对教师在教授函数单调性这一概念课给出相应建议.

关键词：高中生；函数单调性；困难；对策

1前言

数学概念是反映一类对象本质属性的思维方式，它具有抽象性和具体性这双重属性.数学概念如同数学命题、数学推理以及其它数学对象一样，都是理想存在，因而其形象都是抽象形象.但数学离不开现实，他不过是将现实问题运用形式化，符号化后的语言描述，因而它也有具体的一面.许多老师及同学过分注意到概念的抽象性的一面，忽视了具体性，甚至在当前有的地方只顾应试学习的前景下，只让学生记住有关概念内容，然后进行大量的强化训练，遇到有关问题时生搬硬套，这种教学方式既不符合教育的理念又与当前的素质教育的大趋势相违背。

2学生学习函数的单调性概念会遇到的困难

2.1函数单调性的概念

函数单调性的概念：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、 x2，当x1< x2时，都有f（x1） f （x2），那么就说在这个区间上是减函数。

2.2学生学习函数的单调性概念会遇到的困难

函数是一个抽象的概念，作为它的第一个基本性质：函数的单调性，也是相对抽象和难理解的.学生仍处于由具体转为抽象的过程中，对函数调性的学习将会存在很多的困难.学生存在的困难和误解大部分体现在作业和考试中，也就是教师口中的“错误”。

学生在学习函数单调性会出现的误区1.写单调性没写区间，多个区间不懂或忽视了用逗号隔开；2.对定义中的“任意”两个字不理解，忽视定义域，非连续性图像的单调性判断容易出错；3.对于用定义法证明单调性运用上不够理解和掌握.

针对概念课会出现的问题，从函数单调性学生经典易错题进行分析。

例：______

（1）挖掘教材，广泛阅读参考教材

备课中对教材的熟练以及掌握情况，自然是数学概念教学的充分且必要的前提.教师应忠实于教材，尊重教材.对教材中不懂的、不能明确掌握的、和已有知识的观点和表达有差别的，应该要用诚恳的、谦逊的态度去充分揣摩和理解教材编者的设计想法。

例如，对一般的学生来说，关于函数单调性的概念，都有一个直观通俗的认识：所谓函数的单调性，就是函数图像的“上升”和“下降”.但是，教材却用黑色字体醒目地解释为：一般地，设函数f（x）的定义域为I：如果对于定义域I内某区间D上的任意两个自变量的值x1， x2，当x1< x2时，都有f（x1）< f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数（increasing function）；如果对于定义域I内某区间D上的任意两个自变量的值x1， x2，当x1< x2时，都有f（x1）

（2）教会学生掌握“概念教学的三要素”

第一要素是，掌握概念的内涵和外延。

我们已经知道，所谓内涵，就是概念的本质属性.除了研究概念的内涵之外，我们还需要掌握概念的外延.如果说，概念的内涵是给概念下定义，做一个详细的描述，那么概念的外延就是给概念做一个分类.如果，我们能够准确的认知概念的内涵和外延，等价于掌握了概念的“定义”和分类。

例如：函数单调性的外延，函数的单调性的概念中“定义域I内某区间D上的任意两个自变量的值x1， x2”，其中“任意”两个字是怎么理解的呢？无穷多个x1< x2，有f（x1）f（x2），不能说明函数是单调递减的.只有在这个区间D内的任意x1， x2，有f（x1）f（x2）），才能说是单调函数.比如，当某一个函数的D1和D2区间同时具有相同的单调性时，我们只能说这个函数在D1和D2区间分别具有某一单调性.而不能说是这个函数在D1∪D2区间上具有这一单调性。

第二要素是：弄清概念在其所处知识体系中的地位和作用

数学概念都是自己的结构，翻开教学课本的目录和每一章的小结都可以清楚的看到每一节课在本章的位置，以及在整本教材的位置，通过位置和篇幅我们都可以大致判断该节课在整个知识体系的作用，只有弄清楚它的“位置”，我们才能摆脱思维的狭隘。

第三要素是：准确掌握数学概念的三个识记：定义、名称、符号。

在概念的教学过程中，教师有时候展示概念的定義，有时候展示概念的名称，有时候记成符号.提醒学生在预习过程中，要从定义、名称及符号三个方面进行识记，以防正式上课的时候没有能够及时反映过来老师在讲什么。

（3）保证学生思维活动和实践的时间

给学生思考的时间，就是不要过早地把结果抛给学生，给学生多一些建立新的认知结构的时间和空间.在学生思考或者回答问题时，教师应该认真聆听学生，尤其是一些学生不太对或者与老师思路不一样的地方，这个时候应该沉着冷静，可以请别的同学起来发言，或者组织学生之间交流讨论，使学生的思维活动过程清晰地呈现出来。

学生学习数学的过程中，首先要对不同材料理解，通过直觉获得相应知识的大量感性知识；其次，学生用语言和符号，来描述对“直觉”的理解；最后，用数学符号和相应的数量关系和结构关系，进行逻辑推理.这三个过程都是短时间不能完成的.教师在教学时采用“想一想、做一做、议一议”等方式，给学生实践、探索的时间.这样做，能够使学生在学习中学会怎样学习、怎样收获和提高自己，培养学生的归纳能力，提高数学的核心素养。