易漏解的求长度问题

钱 霞

（作者单位：江苏省淮安外国语学校）

我们在应用勾股定理解题时，常常会因考虑不全造成漏解，现将几种常见的错误归纳如下，希望引起同学们的重视.

【例1】如果一直角三角形的两边长分别为3和4，求这个三角形的周长.

【错解】设斜边的长度为x.

∴x2=32+42，∴x=5.

∴这个三角形的周长为3+4+5=12.

【分析】造成上面错解的原因是审题不清或思维定式，看到3和4就想到5.想得到正确答案须对本题进行分类.

【正解】设这个直角三角形第三边的长度为x.则分为以下两类情况：

①x是斜边，则x2=32+42，∴x=5，此时周长为3+4+5=12；

②4是斜边，则42=32+x2.

【例2】在△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8，求BC的长度.

【错解】如图1所示，由勾股定理得：BD2=AB2-AD2，CD2=AC2-AD2，∴BD=15，CD=6，

∴BC=BD+CD=15+6=21.

【分析】造成上面错解的原因是我们在画图的时候只考虑高AD在三角形的内部，忽略了高AD在三角形外部的情形.

【正解】由勾股定理知：

下面分成两种情况讨论：①∠C是锐角，则高AD在三角形内部，如图1所示，BC=BD+CD=21；②∠C是钝角，则高AD在三角形外部，如图2所示，BC=BD-CD=9.∴BC的长度为21或9.

图1

图2

【例3】有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为BC=6m，AC=8m.现将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以AC为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长.

【错解】分类不全，得一或两个答案.

【分析】由于两直角边长分别为6m、8m，于是，可利用勾股定理求出其斜边的长.而题目只说明扩充成等腰三角形，并没有指明等腰三角形的底边和腰，所以应分情况求解.

【正解】在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，由勾股定理，得AB=10，扩充部分为Rt△ACD，扩充成等腰△ABD应分以下三种情况：①如图3，当AB=AD=10时，可求CD=CB=6，△ABD的周长为32m；②如图4，当AB=BD=10时，可求CD=4，由勾股定理得AD=45，△ABD的周长为（20+45）m；③如图5，当BD=AD时，设AD=BD=x，则CD=x-6，在Rt△ACD中由勾股定理得x=△ABD的周长为

图3

图4

图5