正切型非线性包装系统跌落冲击响应分析的同伦摄动法与修正

郭蓓蓓， 王 军,2

(1. 江南大学 机械工程学院，江苏 无锡 214122； 2. 江苏省先进食品装备制造技术重点实验室，江苏 无锡 214122)

非线性包装系统常常由于缓冲材料的非线性或实际阻尼的存在而使系统表现为强非线性，使得问题的理论分析解非常困难。在包装工程领域，缓冲包装材料的非线性常表现为三次、正切、双曲正切型等。而系统的动力学响应分析处理一般采用数值分析方法，该方法简单可操作，但只能得到系统响应散点图其无法确切描述系统在任意瞬时的运动状态，且难以明确表示跌落冲击持续时间。

对于非线性问题近似解析解的求解，变分迭代法(Variational Iteration Method, VIM)[1-6]、摄动法[9-11]、何氏频率-振幅关系(HFAF)[12]、同伦分析法[8]等尝试较多。其处理问题各有优缺点，但都计算较复杂耗时。通常摄动法是指在简单问题的解附近求解困难问题级数解的方法，其系统运动方程含有小参数ε，方程的解会依赖参数ε。小参数的选择成为了至关重要的问题，选择得当，可达到理想结果，若选择不当，结果反之。而同伦摄动法[13-18]不依赖任何小(或者大)参数，而是应用同伦技术构造一个含嵌入参数q∈[0,1]的方程，然后把嵌入参数作为小参数，这样既可以克服传统摄动理论的不足，又可以充分应用各种摄动方法。方程的近似解可以写成一系列无穷级数相加的形式，并且这个级数和收敛于它的精确解，其结果显示该方法是一种更有效，更具一般性的分析手段。

缓冲包装设计中，通常需要对产品样品进行多次跌落测试，试验可重复性差。而最大加速度响应是评价缓冲包装有效性的一个重要指标。为了减少试验次数更好的保护样品，可以对样品进行安全高度(低高度)的跌落试验来预测目标跌落高度(较大高度)下产品的响应加速度，那么缓冲包装动力学方程的理论解析解求解是至关重要的一步。本文以正切型非线性包装系统跌落冲击为例，采用同伦摄动法对动力学方程进行求解并结合能量法对结果进行修正得到其一阶近似解析解，证明同伦摄动法的简单有效性。

1 摄动法的基本思想

选取非线性代数方程

A(x)=0

(1)

引入嵌入变量q∈[0,1]， 分别选取辅助线性算子L(u)和非线性算子N(u)， 将方程(1)转换如下

L(u)+N(u)=0

(2)

构造一个同伦函数H(u,q):Ω×[0,1]→R, 满足

(3)

式中：q∈[0,1]为嵌入变量，x0是原方程(1)的初始解，并且满足边界条件。 当q=0时

H(u,0)=L(u)-L(x0)=0

(4)

当q=1时

H(u,1)=N(u)+L(u)=0

当q从0变换到1时，H(u,q)从初始解u0(t)变换到u(t)， 把q当做小参数， 方程的解表达成q的幂级数

u=u0+qu1+q2u2+…

(6)

当q=1时， 方程的解为

(7)

2 能量法的基本思想

在非线性系统的跌落冲击问题分析中，通常使用能量法(EM)来得到系统的最大位移和最大加速度，但是难以得到系统响应的周期和时间历程。对于非线性系统的跌落冲击问题，若不考虑系统阻尼，理想情况下，当缓冲材料变形达到最大值xm时， 系统的重力势能将全部转化为弹性势能。假设包装系统的跌落高度为h，产品重量为W，系统的重力势能表达如下

U=Wh

(8)

对于非线性包装系统，f(x)指恢复力， 是且仅是x的非线性函数。根据能量法，有

(9)

3 正切型非线性包装系统的响应求解

3.1 包装系统的同伦摄动法求解

对于正切型非线性包装系统，若不考虑阻尼的影响，系统跌落冲击动力学方程和初始条件如下

(10)

(11)

进行泰勒展开并取前三项

(12)

这样将正切型非线性方程转化成高阶非线性微分方程

(13)

(14)

(15)

对于上式方程及初始条件，采用如下的线性及非线性算子

(16)

其中，

g(u)=ku3+bu5

(17)

构造如下同伦

H(u,q)=L(u)-L(x0)+q[N(u)+L(x0)]=0

(18)

0≤q≤1, 把q当做小参数， 解表示为q的幂级数形式

u=u0+qu1+q2u2+…

(19)

将解的表达式代入方程如下

L(u0+qu1+q2u2+…+qnun)-L(x0)+
q[N(u0+qu1+q2u2+…+qnun)+L(x0)]=0

(20)

令q的同次幂的系数相同

(21)

(22)

求解上式得

u0=x0=Asinωt

(23)

同时方程(21)变为

(24)

(25)

将上式代入式(24)得

(26)

令

u1=Bsint+Csinωt+Dsin 3ωt+Esin 5ωt

(27)

(28)

(29)

联立式(1)和式(2)，采用待定系数法求解参数

(30)

为了消除长期项，令

(31)

解得

(32)

所以方程的位移近似解为

(33)

(34)

对上式求一阶及二阶导得方程的速度及加速度解析式如下

(35)

(36)

为了分析比较方程近似解精度，取参考文献[3]中的参数做参考分析精度，这样不仅可以更好的分析同伦摄动法精度，也易将其与其他非线性分析方法结果进行优缺点比较。其中：m=10 kg,h=0.6 m,k0=600 N/cm,r=72 N/cm3,a=0.000 1 N/cm5。

结合初始条件，得到振幅A=3.196 cm， 频率ω=107.32 s-1。

表1 正切型非线性系统HPM算法和能量法修正与Runge-Kutta算法的结果对比Tab.1 Comparison of solutions obtained by HPM and CHPM(E) with that of Runge-Kutta method for the tangent nonlinear system

3.2 能量法修正算法

利用能量法对同伦摄动法结果进行修正，如下

(37)

最大位移可通过下式计算

(38)

图1和图2分别表示正切型非线性包装系统的HPM算法及CHPM算法的位移响应和加速度响应与Runge-Kutta算法结果的对比图，由图1知，HPM算法及CHPM算法的位移曲线基本与Runge-Kutta法结果吻合，修正后误差更小。由图2得，HPM与Runge-Kutta法的最大加速度误差相差较明显，但CHPM结果曲线却与Runge-Kutta法高度吻合，说明修正后的结果更满足工程要求。

图1 正切型非线性系统HPM和能量法修正与Runge-Kutta算法位移响应对比Fig.1 Comparison of the displacement response by HPM and CHPM (energy method) with the numerical simulation solved by the Runge-Kutta method for the tangent nonlinear system

图2 正切型非线性系统HPM和能量法修正与Runge-Kutta算法加速度响应对比Fig.2 Comparison of the acceleration response by HPM and CHPM (energy method) with the numerical simulation solved by the Runge-Kutta method for the tangent nonlinear system

4 结 论

缓冲包装系统是对各种实际缓冲包装件的抽象，它对外部冲击和振动等作用的响应是进行缓冲包装设计的理论依据，研究包装系统跌落冲击问题的最大位移和最大加速度显得尤为重要。本文采用同伦摄动法与能量法的结合研究了正切型非线性包装系统的跌落冲击响应问题，并与Runge-Kutta法比较，结果表明该算法具有足够的精度，可以满足一般工程需要，同时证明同伦摄动法不仅可以有效解决非线性振动问题，同时也为解决跌落冲击问题提供了新思路。