基于模态应变能的结构模态截断分析*

吕 雷 张开银 姜 惠 杜 密

(武汉理工大学交通学院 武汉 430063)

0 引 言

大型结构有限元动力分析时，在保证结构动力特性计算精度的同时，还应充分提高计算效率，由此便产生了结构模态截断的技术问题.传统经验法一般截取结构动态响应感兴趣的2～3倍频率值所对应的结构模态[1]，该方法缺乏理论支撑，具有较大的随意性，有可能导致结构主导模态的遗漏；或因截取的结构模态阶数过多致使计算效率低下.由结构动力试验可知，低阶模态对结构的位移响应贡献相对较大，而高阶模态对结构的位移响应贡献相对较小，以致于在结构动力特性与结构响应时程分析等工程问题中往往侧重于考虑结构低阶模态的贡献，从而忽视了结构高阶模态的作用[2].但高阶模态对结构应力响应的贡献远大于对结构位移响应的贡献[3]，在结构的应力响应分析中有必要考虑更多高阶模态分量的影响，如在结构损伤累积与疲劳破坏等工程问题中，其结构振动特性决定了结构的应力循环特征和应力状态[4-5].文献[6]提出了基于势能判据的子结构模态截断准则；文献[7]提出了系统机械能能量范数收敛的子结构模态截断方法，这两种方法均仅考虑了结构少数低阶模态被激发(高阶模态未被激发)的情况.理论上，结构响应参与模态与结构固有特性和激励特性密切相关，因此，在结构动力特性分析时，应从结构动力分析的目标、计算精度和分析效率等方面综合权衡，合理截取结构参与模态.鉴于目前模态截断技术尚无完备的理论，本文将结构自身特性、激励特性与结构动力响应联系在一起，以梁结构为理论研究对象，从结构位移响应、应力响应和模态应变能三个方面，研究梁结构在特定频率激励环境下结构的动力响应，通过分析结构各阶模态应变能分布情况，从而提出了基于结构模态应变能的结构模态截断技术.同时，用结构有限元方法分析一钢结构平台在不同频率环境激励下结构应变能，对该模态截断方法的有效性进行验证说明.

1 结构模态参与因子

对于n个自由度结构体系，其强迫振动微分方程为

(1)

采用Rayleigh阻尼模型，假设C=aM+bK(a，b为常数)，进行正则坐标变换

y=Φη(t)

(2)

式中：Φ为结构模态矩阵；η(t)为正则坐标(或模态参与因子).

将式(2)代入式(1)，并利用结构振型的正交性，可得到n个正则坐标解耦的振动微分方程

i=1,2,…,n

(3)

式中：Mi为第i阶模态质量；Ci为第i阶模态阻尼；Ki为第i阶模态刚度；Fi(t)为第i阶广义荷载.

i=1,2,…,n

(4)

式(4)类似于n个单自由度振动微分方程.若初位移和初速度均为零，用Duhamel积分解此方程得到各阶模态的正则坐标ηi(t).

i=1,2,…,n

(5)

由式(2)可知，结构位移响应y依赖于模态矩阵Φ和模态参与因子ηi(t)，其中模态矩阵表征了结构振动各阶模态的固有型态，而模态参与因子表征了各阶模态对结构动力响应的贡献程度.同时由式(5)可知，模态参与因子与结构激励特性和结构自身性质有关，所以结构动力响应依赖于结构自身特性和激励特性.

2 梁结构模态应变能

(6)

则梁结构第i阶位移模态为

(7)

第i阶模态对结构位移响应的贡献为

(8)

根据初等梁理论，那么第i阶模态的应变能(弯曲应变能)为

(9)

由式(9)可知，简支梁结构在简谐激励作用下，第i阶模态所蕴含的应变能与模态阶数的4次方和模态参与因子有关.对于结构第i阶和第j阶模态而言，当两阶模态具有相同的位移贡献时(ηiAi=ηjAj)，所对应模态的应变能之比为[8]

(10)

由式(10)可知，假如在特定的激励作用下，结构第1阶模态与第2阶模态具有相同的位移贡献，第2阶模态所对应的应变能却是第1阶模态的16倍；同理，若结构第1阶模态与第2阶模态具有相同的应变能，第2阶模态所对应的位移振幅仅为第1阶模态的1/4.

定义梁结构前N(N

(11)

由式(11)可知，对于被激发的结构模态，E(N)为有界的单调递增函数，随着模态阶数增加，E(N)将趋近于收敛.那么，E(N-1)与E(N)之比为

(12)

由结构动力响应分析可知，结构在单一简谐激励作用下，与激励频率邻近的那些固有频率所对应的模态对结构动力响应有较大的贡献.当梁结构第N阶固有频率大于激励频率时，由式(12)计算出r(N)值，当r(N)接近于1时，说明第N阶模态的应变能相对很小，即结构模态应变能主要分布于前N阶模态，而后续n-N阶模态对结构应变能的贡献可以忽略不计，则截取结构前N阶模态进行结构动力特性分析即可.该判别方法同样适用于大型结构.

3 算例

3.1 算例1

对于图1的等截面匀质简支梁结构，其跨中作用一简谐激励p(t)=Psin(ωt).

图1 简支梁结构及荷载

若激励频率Ω=1.1ω7，由式(4)得其正则坐标表示的振动微分方程为

(13)

分别将简支梁各阶模态跨中位移响应幅值、跨中应力响应幅值和结构模态应变能相对于第1阶模态作归一处理，其各阶模态位移响应幅值比、应力响应幅值比和结构模态应变能比见图2.

表1 结构模态参与因子

图2 激励频率Ω=1.1ω7时结构动力响应

由图2可知，当激励频率接近结构第7阶固有频率时，其相邻阶的模态具有较大的动力响应.就结构第7阶模态和第1阶模态而言，位移响应幅值之比为1.11，位移响应水平相当；而应力响应幅值之比为50.93，对应模态的应变能之比为2908.26，其表明第7阶模态的应力响应贡献远大于第1阶模态.而对于结构第11阶模态和第3阶模态，位移响应幅值之比为0.15，结构第11阶模态相对于第3阶模态结构位移响应贡献较小；而应力响应幅值之比为1.93，对应模态的应变能之比为3.75，结构第11阶模态的应力响应贡献反而要大于第3阶模态的应力响应贡献.再者，结构第1、3、5、7阶模态对结构位移响应贡献基本相当，但对应模态的应力响应贡献程度差异非常之大.

上述重点说明了梁结构第7阶模态及其相邻模态在结构动力响应中的贡献.由式(12)计算可知，结构前11阶模态的应变能之和与前13阶模态的应变能之和的比值为0.95，即结构前13阶模态几乎包含了结构全部的应变能，故只需截取结构前13阶模态进行结构动力特性分析.

由此可见，在结构动力特性分析中，结构分析模态的取舍，不能仅考虑结构各阶模态对位移响应贡献的大小，更重要的要考虑结构各阶模态对应力响应的贡献.特别在结构疲劳破坏和结构疲劳寿命评估中，根据材料应力幅与疲劳寿命(S-N)曲线关系可知，当结构某一高阶模态起主导作用时，一方面结构应力循环幅值显著提高，另一方面循环周期大幅度缩短，从而导致结构实际使用寿命远远小于结构设计使用寿命.

3.2 算例2

对于一钢结构平台，见图3.材料弹性模量为210 GPa，密度为7 800 kg/m3,泊松比为0.3，该有限元结构包含2 592个单元，4 107个节点.将四根柱对应底板位置进行固定约束.

图3 钢结构平台

在节点1处z方向作用简谐荷载p(t)=P0sin(ωt)，其中P0=-1 000 N，用有限元法分别计算激励频率ω=0.9ω6、ω=1.2ω10，ω=1.2ω15下结构应变能E(N)与模态阶数的关系，见图4.

图4 应变能与模态阶数的关系曲线

由图4可知，钢结构平台在不同频率的特定激励下，整体结构应变能随截取的模态数量有明显差异.激励频率越大，需截取包含与激励频率接近的模态及更多阶模态.由式(12)计算可知，当激励频率激励频率ω=0.9ω6时，需截取13阶模态，当激励频率ω=1.2ω10时，需截取16阶模态，当激励频率ω=1.2ω15时，需截取23阶模态进行结构动力分析.

5 结 束 语

本文以梁结构为理论研究对象，对比分析了其在特定频率激励作用下结构的位移响应、应力响应和模态应变能.结构动力响应不仅与结构自身特性有关，同时与激励特性有关.结构分析模态的截取，不能仅考虑结构各阶模态对位移响应贡献的大小，更重要的要考虑结构各阶模态对应力响应的贡献，提出以结构模态应变能为依据的模态截断技术.当结构第N阶固有频率大于激励频率，且前N-1阶模态的应变能总和与前N阶模态的应变能总和之比接近于1时，只需截取前N阶模态进行结构动力特性分析.该模态截断技术为结构动力优化设计、结构疲劳破坏失效分析和结构故障诊断等提供了一种可靠的模态截断方法.