中美初中数学教科书有理数例题的比较研究

王晓丽，张明亮



中美初中数学教科书有理数例题的比较研究

王晓丽，张明亮

（河南大学 数学与统计学院，河南 开封 475004）

选取人民教育出版社七年级上册数学教科书与美国McGraw-Hill出版社的教科书中有理数的例题作为研究对象，从例题数量、侧重的内容、表示形式、背景素材、文字特征、特色模块等方面进行比较分析．对人教版初中数学教科书有理数章节例题的编写提供如下建议：增加利于理解有理数概念的例题数量，避免重运算轻概念；改变教科书对循环小数“零涉及”的状态；根据认知难度分配有理数各形式例题的比重；丰富例题背景素材；创设有代表性的特色模块．以期通过对比研究对合理配备有理数例题提供参考．

数学教科书；例题；比较；有理数

1 问题提出

教科书作为教学的主要载体，一定程度上影响着教育的发展走向．在数学教科书的编写上，一个重要的环节就是建立配套的例习题体系[1]，而例题是教科书中概念定理与习题之间的桥梁和纽带．教科书例题具有示范引领、巩固新知、展示新知、思维训练、揭示方法、文化育人等功能[2]，学生获得数学概念、掌握数学定理、发展数学能力都离不开例题[3]．因此，对教科书例题的研究十分必要且有意义．

顾泠沅教授指出，从学生接触正式数学与应用数学的机会上看，PISA测试中成绩高的几个东南亚国家大多处于高正式，低应用象限[4]，而美国等西方国家的学生则大多具有较高的创造力和应用能力．蔡金法教授曾用简单的计算题、问题解决题、过程限制的复杂题、过程开放的复杂题4种不同的题目去测试中国和美国六年级的学生．研究结果表明，中国学生在前3种题目的测试中，成绩远高于美国学生，而美国学生在开放题中的测试成绩却高于中国学生，这样的样本所代表的差别一定程度上可以反映两国整个群体之间在数学教育上的差别[5]．

他山之石，可以攻玉．比较是为了知己知彼，学他人之长处，改自身之不足[6]．美国学生具有的良好创造能力正是中国教育期望中国学生提升的能力．因此以美国教科书（以下简称CM教科书）与中国人民教育出版社七年级上册数学教科书（以下简称RJ版教科书）作为比较研究的对象，发现美国教育对学生实际应用水平和创造能力的培养在其教科书中的体现．

由于从小学到中学，学生从学习自然数到整数、分数再到有理数，接触的数越来越具有抽象性．作为学生刚步入中学便接触到的内容，大多数学生对有理数的掌握情况并不理想，而有理数是数与代数部分的基础内容，是日后学习无理数和实数的根基．所以，如何更好地配备有理数部分的例题，使学生真正理解并掌握有理数显得尤为重要．

RJ版教科书在有理数章节未涉及循环小数的内容，对有理数定义的解读不完全．而CM教科书对有理数的定义严谨而准确，并配有例题进一步解释说明为何循环小数是有理数．两版教科书的例题在侧重内容、有理数表现形式以及背景素材等方面差异显著．

因此，通过对两版教科书有理数例题的比较研究，丰富提升中国RJ版教科书有理数例题的内容和质量，同时也通过对比来探讨两国学生间的差异在教科书中的体现，引导中国吸收借鉴美国教育的特色，促进中国数学教育更好地进步．

2 研究对象

2.1 教科书的选取

两国教科书具体信息如表1所示．

表1 教科书信息

2.2 研究内容的选取

RJ版教科书有理数章节的例题用“例”或者“例1”“例2”标出，没有具体的模块划分；CM教科书有理数章节的例题分为“例题（examples）”“现实世界举例（real-world example）”两个模块．

这里选取RJ版教科书第一章“有理数”的全部例题以及CM教科书第二章“有理数”的全部例题进行比较研究．

3 研究工具及方法

3.1 研究工具

选择鲍建生教授建立的综合难度模型为研究工具之一，结合有理数例题的特点对其进行选择和调整，将鲍教授对背景因素的水平划分改为无背景、学科相关联背景、日常生活背景和无实际意义背景4类进行比较研究．

该研究结合有理数例题的特点对戴再平教授建立的例题分类稍加调整后作为研究工具，根据各类型例题所占比重进行分析；选取黎野平教授构建的分析问题3层面为研究工具，对有理数例题的文字特征进行对比分析．

3.2 研究方法

以定量刻画与定性描述相结合的方法，通过文献研究、内容分析和教材比较，对两版教科书有理数的例题从数量、类型、形式、背景、文字特征等方面进行细致探究．

4 研究过程与结果分析

4.1 例题数量比较

RJ版教科书有理数章节共有42道例题，CM教科书有理数章节共有59道例题．整体而言，CM教科书有理数例题数量多于RJ版教科书，具体见图1．

图1 两版教科书有理数例题数量比较

4.2 例题类型比较

戴再平教授将例题分为概念型、原理型、方法型和问题解决型[7]．根据有理数例题的特点并结合戴再平教授对例题的分类将有理数章节的例题划分为概念型、原理（法则）型和问题解决型3类，根据这3种分类对两版教科书有理数的例题进行分析归纳，绘制如图2所示折线图．

图2 两版教科书有理数例题类型比较

RJ版教科书有理数章节的例题集中出现在有理数加减法和乘除法运算等小节中，在1.2.1有理数概念的小节中未涉及任何例题，这一定程度上反映出RJ版教科书有理数章节更注重对运用法则进行运算的例题的掌握，而相对忽视对有理数概念的理解，这个结论也在图2中得到了体现．

RJ版教科书给出的有理数的定义是“整数与分数统称为有理数”[8]（如图3）．在数的列举中，只在旁边标注说明“这里列举的小数可以化为分数”（如图4），从而直接将小数划到分数之中，并没有举出例题解释为何小数和分数可以进行互化．

图3 RJ版教科书有理数定义

图4 RJ版教科书旁白解释

另外，循环小数作为有理数却没有在图3的举例中被列举出来，全章节的内容中也未涉及任何循环小数的知识，这种对概念的不完全解读，会阻碍学生对有理数的透彻理解和认识．

CM教科书有理数章节属于概念型的例题比RJ版教科书高26.07个百分点，概念型和原理（法则）型例题相对而言较平衡．CM教科书每小节的内容中都有例题，一般设立在KEY CONCEPT模块之后来帮助学生理解概念．CM教科书对有理数的定义是“那些可以被表示成分数的数称为有理数”[9]，并指出有限小数和循环小数都是有理数，因为它们可以表示成分数．在给出定义后，设置例题对为何有限小数和循环小数可以表示成分数给出具体的讲解（如图5）．

同样，CM教科书也对分数化有限小数和循环小数设置例题进行讲解，使学生学会互化，真正弄懂有理数的概念．

通过比较，两版教科书有理数例题中问题解决型的例题比重差异不大，但是概念型例题所占比重差异显著．CM教科书对有理数概念的分析透彻清晰，比RJ版教科书更注重帮助学生理解有理数的概念．张奠宙教授曾说过：“西方在数学教学中强调理解、理解、再理解，而中国则是练习、练习、再练习．”[10]李士锜教授也在其著作中提出西方教育与中国教育在理解与练习方面的思想差异[11]．这些都在一定程度上体现出美国教育比中国教育更加注重学生理解为什么，而不是仅仅知道怎样做．

4.3 有理数各形式所占比重比较

有理数一般通过整数、分数、有限小数、无限循环小数4种形式来考查．以下对两版教科书有理数例题中这4种形式例题的数量进行比较分析．

图6 两版教科书有理数各形式所占比重比较

从认知难度上看，循环小数、有限小数和分数形式的数的理解要比整数困难，但是RJ版教科书中以整数形式考查有理数的例题数目要多于分数和小数，对形式不易理解的数的举例少于易理解的数，甚至未涉及循环小数的例题，这易导致学生对难点掌握不牢固．CM教科书中以分数、有限小数形式考查有理数的例题数量要大于整数，相比RJ版教科书更遵循学生的认知难度．

上述数据表明CM教科书有理数例题的配备更加有助于学生理解难点，攻克难点．

4.4 例题背景素材比较

鲍建生教授建立的背景因素的水平划分，将数学题分为无实际背景、个人生活背景、公共常识背景、科学情境背景[12]4类．结合有理数例题的特点，将鲍教授的划分改为无背景、学科相关联背景、日常生活背景和无实际意义背景4类．根据这4种分类对两版教科书有理数例题的背景素材进行比较分析，绘制如图7所示的折线统计图．

图7 两版教科书有理数例题背景素材比较

整体来看，RJ版教科书与CM教科书有理数章节的例题素材选取具有一定的共性，即均是无背景的例题所占比重大，且无背景的例题均是有理数加减乘除运算等类的题目．另外，两版教科书有背景的例题中，均有一小部分例题只是为了有背景”而创设背景，例题的背景素材无实际意义．

但是相比较而言，CM教科书例题中有意义的背景素材更加丰富，比RJ版教科书高11.5个百分点．

CM教科书有理数内容中涉及学科相关联背景素材的例题有5.08%，而RJ版教科书例题中未涉及与其它学科相关的背景素材，表明CM教科书更加注重引入与其它学科相关联的背景知识，如数学在物理、化学和生物乃至体育等学科的应用，促使学生意识到数学的广泛用途．

RJ版教科书和CM教科书有理数内容中涉及“日常生活”的例题分别占例题总量的7.14%和13.56%，CM教科书超过RJ版教科书6.42个百分点，表明CM教科书更加注重对与学生日常生活相关的背景素材的引入．

上述结论体现出美国教科书更注重培养学生对数学的兴趣以及对数学广泛用途的认识，利于学生的直接兴趣和间接兴趣的培养．这与不少学者经研究得到的美国教育更关注学生兴趣，注重数学与实际生活的联系的观点不谋而合[13-14]．另外，美国著名的“教师年度人物”评选活动的首要标准是“如何让学生的学习兴趣更浓厚”，这也促进了美国教师对学生兴趣培养的重视[15]．

4.5 例题文字特征比较

李业平建构的分析问题的3个层面分别是，数学特征、文字特征和达到要求．从文字特征层面将数学例题分为“只有数字和文字的形式（PM）”以及“有图表解释或故事背景（IC）”两类[16]．根据这两种分类对两版教科书有理数例题的文字特征进行对比分析，绘制如图8所示的柱状图．

图8 两版教科书有理数例题文字特征比较

由图8数据可知，两版教科书有理数例题的文字特征均是以“只有数字和文字形式”的例题为主．

但是相比较而言，RJ版教科书有理数例题中只有数字和文字的例题所占比重更大，CM教科书有理数例题中有图表解释或故事背景的例题所占比重高于RJ版教科书6.42个百分点．表明CM教科书有理数例题中的图表和故事背景相对丰富．

另外，与RJ版教科书有理数例题中的卡通插图相比，CM教科书有理数例题中的插图均为实景图，相对而言更加贴近生活．

4.6 例题特色模块比较

RJ版教科书的例题模块相对单一，以“例”“例1”“例2”来划分，例题一般按照从易到难，从基础到应用的顺序排列．

CM教科书的例题一般分为“例题（examples）”“现实世界举例（real-world example）”两个模块．有理数章节“例题”模块下的题目是概念理解或运用法则的计算类基础题．“现实世界举例”模块下的例题均是与实际生活相关的应用题，该模块的特别之处在于每个例题旁边都会附有实景插图和相关背景的介绍来丰富学生的认知（如图9）．

图9 CM教科书特色模块示例

5 思考与建议

比较是为了取他人之长改自身之不足，选取美国教科书进行比较研究，是期望取其精华之处，推动中国教科书的改革进步．但这并不代表要盲目效仿美国教科书，美国学者所写的中美数学教科书比较的论文中也在寻找其自身的不足，虚心向中国教科书学习．如美国学者Lo Jane-Jane指出中国教科书“比率和比例”（ratio and proportion）[17]部分的例习题，较复杂的题目要多于美国教科书，并提倡向中国学习．对此，中国数学教科书的编写应找到基础与创新、理论与实际生活的平衡点，保持中国学生“基础扎实”的长处的同时努力提升不足之处．

（1）意识到概念是运算的基础，找到概念题和计算题的平衡点．

例题贵在精而不是贵在多，数学是需要思考的，数学教育的目的也不是培养熟练的工种[18]，因此有理数例题的配备除了注重学生运算能力，也要注重学生对有理数概念的理解与掌握，不能只注重是什么，更要知道为什么．RJ版教科书有理数的例题全部出现在有理数加减乘除运算的小节中，在1.2.1有理数小节中没有出现例题，这一定程度上体现出RJ版教科书重运算而轻概念．相反，CM教科书在每小节的KEY CONCEPT（核心概念）模块后都列举一或两道例题来帮助学生理解所给概念．

先有数后有运算，数的概念是运算的基础．RJ版教科书要避免重运算轻概念，在给出有理数的定义后，应该适当举例来帮助学生透彻地理解有理数的概念．在这一点上，可以学习CM教科书，首先表明并非所有小数都可以化为分数，仅有限小数和循环小数可以化为分数，然后举出分数化有限小数、有限小数化分数以及分数化循环小数、循环小数化分数的例题，使学生通过实际的动手计算，真正地明白为何有限小数和循环小数都可以看作分数，从而真正地理解有理数概念．

（2）注重教科书的严谨性，弥补对循环小数举例的缺失．

RJ版教科书不仅在对有理数进行归纳时略去了循环小数的举例（如图3），在有理数整章的课程内容及例题和练习题中也都未出现循环小数．教科书具有权威性和强大的影响力，这种举例的匮乏可以视为对概念的不完全解读，会导致学生对有理数的概念认知不清．RJ版教科书可以参考CM教科书对有理数概念的引入来弥补对循环小数举例的缺失（如图10）．另外，RJ版教科书也要改变对循环小数“零涉及”的状态，适当增添循环小数形式的例题以及练习题．

图10 CM教科书有理数核心概念

（3）根据学生对有理数各表示形式的认知难度分配各形式例题的比重．

从认知难度上看，分数和小数形式的数的理解要远比整数困难．因此，RJ版教科书有理数章节的例题可以根据知识理解的难易程度来适当调整各形式例题的比重，改变目前以整数为主的例题形式，适当增加分数和小数形式考查有理数的例题比重，帮助学生更好地理解难点．

（4）增添有意义的例题背景素材，使学生意识到数学与生活及各学科之间的紧密联系，吸引学生的直接和间接兴趣．

RJ版教科书与CM教科书中分别有4.76%和3.39%的例题背景是无实际意义的，如CM教科书中的一道例题（如图11所示）．

图11 CM教科书例题示例

“钻头”应该无法吸引初中一年级学生的兴趣并且与他们的日常生活有一定的距离．

引入素材的目的是为了借助与实际生活相关的背景知识把抽象的数学生活化，或者通过与其它学科相关的背景知识使学生认识到数学的广泛用途，而无实际意义的素材的引入只是增添了学生的阅读负担．因此，RJ版教科书要注意提升例题背景素材的质量，选取恰当的题材来吸引学生．

4.4中的数据及分析表明，CM教科书有理数例题的背景素材比RJ版教科书丰富．RJ版教科书可以参考CM教科书在每小节设立“现实世界举例”模块的方法（如图12），设立相关模块列举与学生日常生活相关联的例题吸引学生的直接兴趣，或通过列举与其它学科相关的例题使学生认识到学好数学知识的重要性，从而激发其求知欲，培养学生的间接兴趣．通过对有理数例题的背景素材的丰富，使学生体会到数学的生活价值和文化价值[19]．

（5）丰富例题的呈现形式，创设教科书的特色模块．

RJ版教科书应适当改变以单一文字或数字形式为主的例题呈现方式，增添有图表解释或故事背景的例题，创设具有自身特色和代表性的多样化的例题模块，使RJ版教科书的数学知识更加生动形象，得到学生的喜爱．

图12 CM教科书例题示例

[1] 吴立宝．中澳数学教科书习题比较研究——以人教版和HMZ8年级教科书为例[J]．数学教育学报，2013，22（2）：59-61．

[2] 吴立宝，王富英，秦华．数学教科书例题功能的分析[J]．数学通报，2013，52（3）：18-20．

[3] 张文宇，张守波．海峡两岸小学数学教材分数内容例题的比较研究[J]．数学教育学报，2015，24（3）：68-71．

[4] 顾泠沅．中国学生为什么数学那么好[N]．中国教育报，2013-12-04（3）．

[5] 蔡金法．改进中国数学教育的六点思考——基于中美学生数学学习的系列实证性研究（上）[J]．小学青年教师，2016（10）：24-25．

[6] 高文君，鲍建生．中美教科书习题的数学认知水平比较——以二次方程及函数为例[J]．数学教育学报，2009，18（4）：57-60．

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[9] DAY, FREY, HOWARD, et al. Glencoe California mathematics 7 [M]. California: The McGraw-Hill Companies, 2008: 84-141.

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[11] 李士锜．数学教育心理学[M]．上海：华东师范大学出版社，2001：64-87．

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[13] 史炳星．从课程内容看美国教育的观念和方法[J]．数学通报，1999，38（10）：35-37．

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[19] 叶立军，王晓楠．中美高中数学教材比较研究——以“几何概型”为例[J]．数学教育学报，2012，21（2）：50-52．

Comparative Study on Rational Numbers Examples in Mathematics Textbooks for Junior Middle School in China and the United States

WANG Xiao-li, ZHANG Ming-liang

(School of Mathematics and Statistics, Henan University, Henan Kaifeng 475004, China)

The examples of rational numbers were chosen as the study objective in mathematics textbooks by People’s Education Press in China and the California Mathematics by McGraw-Hill in the United States. A number of aspects in these examples were compared and analyzed, including the quantity, the emphasis, the types, the material of the background, the text feature and the typical modules. This study provided some suggestions for writing mathematics textbooks examples in junior high school in our country, including adding the number of concept examples, adding some examples of repeating decimals properly, allocation examples according to the difficulty of cognitive, enriching the background of examples, and creating the typical modules. Through this comparative study, we hoped to provide a reference for more appropriate compilation of examples in rational numbers.

mathematics textbooks; examples; comparison; rational numbers

G633.6

A

1004–9894（2018）06–0067–05

王晓丽，张明亮．中美初中数学教科书有理数例题的比较研究[J]．数学教育学报，2018，27（6）：67-71．

2018–06–28

王晓丽（1993—），女，河南郑州人，硕士研究生，主要从事数学教育和教科书比较研究．

[责任编校：周学智、张楠]