电偶极子电场的M atlab 定性模拟

金 华

（上海电机学院文理教学部，中国 上海 201306）

0 引言

等位线和电场线可以反映静电场中电势和电场强度的分布， 是描述静电场性质的重要的物理图像。 在大学物理的教学中， 一些带电体激发的电场的等位线和电场线通常被举例来阐明两者在空间分布的特点和关联。 一个典型的例子便是一对等量异号点电荷组成的电偶极子模型。 该模型在远场区域激发的电势和电场强度能解析表示，并可以进行数值化绘图[1-2]，但对学生的数学要求较高。 在实际的教学中， 一般只要求定性描述电偶极子的等位线和电场线的分布。 在这种情况下， 本文引入Matlab 软件中可视化的PDE 工具箱来模拟该模型的场线， 引导学生通过建模仿真， 掌握分析带电体电场分布的能力。

1 数值建模

根据静电场的麦克斯韦方程， 若带电体或电极激发的电场中没有电荷， 则场域中的电势分布可以表示成拉普拉斯方程的形式，即▽2V=0。在x-y 平面下，该偏微分方程可写成，

式中 代表边界条件。在Matlab 的PDE 工具箱中，可通过有限元方法数值计算（1）式对应的偏微分方程[3]，得到空间各点的电势V， 进而利用求出电场强度的分布。

本文中，将两个半径为0.04（无长度单位）、相距0.4、电势分别为±5V 的球形电极来模拟电偶极子。 距离较远处视为体系的边界，电势设为0V。 利用PDE 工具箱求解（1）式的拉普拉斯方程，便可以得到所建立的模型电势和电场强度在场域中的分布。

2 Matlab 仿真结果

确定模型后， 在Matlab 软件中的仿真模拟过程大致可以按照如下的步骤进行。第一步：在Matlab 软件的命令窗口打开PDE 工具箱，选择Electrostatics 模式。 第二步：在x-y 平面上，画两个圆，将它们命名成C1 和C2， 设 置 半 径 为0.04， 圆 心 分 别 位 于 （-0.2，0.0）和（0.2，0.0）；画一个椭圆，命名为E1，设置其中心位于坐标原点处，长轴为1.5，短轴为1.0，作为模型的外边界。第三步：在Set formula 编辑框中将分析域表示成E1-C1-C2；分别设置E1、C1 和C2 的边界值为0、5 和-5；在PDE Specification 对话框中将方程中的电荷密度设为0。 第三步：将分析域初始网格化，并进一步加密和改善网格。 第四步：进行运算，在Plot Selection 对话框中选择Contour 和Arrows 选项，来绘制等位线和电场强度矢量。 每一步的具体操作和设置方法可参考文献[3]中的说明。 最后，仿真模拟的结果见图1 所示。

图1 模拟得到的电偶极子电场的等位线和电场线

图1 中，封闭曲线代表等位线，箭头代表场点处的电场强度的方向，沿着箭头可近似表示电场线的取向。 可以看到，等位线在垂直于电偶极子轴的方向上左右对称分布，等位线的疏密程度代表了电场强度的大小；电场线由正电荷出发，指向负电荷，或者从正电荷出发终于无穷远，从无穷远处指向负电荷；电场强度的方向处处正交于等位线，且指向电势降低的方向。 模拟的结果， 很好地定性描述了电偶极子电场等位线和电场线的分布。当然，图1 也存在不足之处，例如场域中计算的电场强度取点较少，模拟的电场线走向不够精细； 建模时选取的较远处边界过于随意，可能会影响数值模拟结果，应尽可能将边界取在相对电偶极子无穷远的地方。

3 结语

通过Matlab 软件的PDE 工具箱求解拉普拉斯方程， 对电偶极子激发的静电场在两维平面上进行了仿真计算。 模拟结果定性再现了电偶极子电场等位线和电场线在空间的分布。PDE 工具箱建模容易，操作方便，与精确解的数值化计算相比较，本文引入的模拟方法更加简单，易于学生上手，且可以推广到其他带电体电场的仿真模拟。 若数值要求不是很高的情况下，该方法可在大学物理静电场的教学中引导学生加以应用，来考察静电场的分布。