高等数学内容的统一性分析

刘启明 王寰

【摘要】数学的两个基本特征是统一性和简洁性.本文从高等数学基本内容出发，分析了高等数学内容中距离、极限、积分计算与表达式等方面的统一性，对高等数学的学习给予启示.

【关键词】高等数学;统一性;数学方法

数学是研究客观世界空间形式和量的关系的学科，它的两个基本特征是统一性和简洁性.数学的抽象性决定了数学是客观世界的统一性的体现.数学的统一性是通过建立统一的描述或沟通分支学科的内在联系，深入揭示问题的本质.

数学统一性的特征渗透在数学的实际应用与数学本身的理论之中.从数学应用来看，数学模型与公式是对客观世界的高度概括，反映着世界的客观规律.同时，从数学理论本身来看，数学统一美还体现在数学内容本身在结构上的统一，表现在各分支间、分支内部、分支与整体之间的互相贯通与和谐.

高等数学是工科院校开设的主要基础课程之一.主要包括极限引论、一元函数微积分、多元函数微积分、无穷级数等内容.本文主要分析高等数学理论内部典型内容的统一性，目的是对我们学习高等数学有启示作用.

一、距离概念的统一性

距离是高等数学最基础的概念之一.高等数学中两点间距离公式都统一到n维空间中两点间距离公式

对该距离公式，当n=1，2，3时分别对应数轴、平面与空间的两点间距离公式.相应地，通过该公式统一了高等数学在不同维数空间中的领域概念，进一步为极限概念及其后续概念的建立奠定基础.

二、微积分学中概念的统一性

微积分学的概念几乎都是用极限进行定义的.

类似地，多元函数的连续性、偏导数与各类积分定义都是用极限形式给出的.这就使极限思想贯穿微积分学始终，体现了微积分概念的统一性.

相应地，从极限形式的统一性学习微分学与积分学性质就比较容易记忆，如由函数极限满足线性性质就知道上述概念都满足线性性质，积分都满足对积分区域（定积分积分区间、曲线积分的积分路径、重积分的积分区域、曲面积分的积分曲面）的可加性，这也是积分的本质性质，也容易知道，当被积函数为1时，定积分、重积分、第一形曲线、曲面积分都是积分区域的度量等.

三、微分中值定理的统一性

微分中值定理主要指罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理.其中罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例，而拉格朗日中值定理又是柯西中值定理的特例，三个中值定理统一到柯西中值定理上.当然在具体使用上我们还是分别称呼各自名称.但是定理内容的统一性非常有助于我们对三个定理的理解.

四、函数值近似计算的统一性

五、多元函数无条件极值判定的统一性

六、微分学与积分学的计算理论统一性

我们在学习高等数学的过程中，会发现微积分能够作为一个整体，其巨大成功正是在于发现了计算积分的一种十分有效的方法——牛顿-莱布尼茨公式：

这里F′（x）=f（x）.该公式表明，定积分等于被积函数的一个原函数在积分区间上的增量，其价值是非常巨大的.可以说没有该公式，高等数学内容就少了积分学这一半内容.牛顿-莱布尼茨公式不仅沟通了定积分与不定积分的联系，而且沟通了微分学与积分学的联系，使函数导数、微分、不定积分与定积分得到了完美的内在的高度统一，因此，牛顿-莱布尼茨公式也称为微积分基本公式.该方面是高等数学的关键而重要的内容.

牛顿-莱布尼茨公式不仅将微分学与积分学联系为一个整体，而且使得重积分、空间曲线积分与空间曲面积分都可以转化为定积分得以计算，这是积分计算的完美统一.

七、函数积分转化公式的统一性

微积分基本公式表示函数在某个区间上的积分等于被积函数的原函数在区间上增量;格林公式表达的是二元函数在平面区域上的二重积分与其区域边界上的第二型曲线积分间的关系;而高斯公式则表达的是函数在三维区域上的三重积分与其区域边界上的第二型曲面积分的关系.

这三个公式分别是一维、二维与三维空间上的公式，似乎相互之间没有关系，但从统一性的角度来看，共同揭示了一个深刻的数学规律：使内部问题化归为边界问题.正是基于这种理解，促使外微分概念的建立及外微分形式的一般斯托克斯公式的形成，上面公式都是其特例.

八、梯度、散度與旋度的形式统一性

高等数学中类似例子还有很多.笔者这里仅举出一些典型的反映统一性的例子.希尔伯特曾指出：“数学科学是一个不可分割的有机整体，它的生命力正是在于各个部分之间的联系，数学的有机统一是这门学科固有的特点，因为它是一切精确自然科学知识的基础”.高等数学亦如此，当我们用心结合统一性来学习高等数学时，对内容融会贯通，纲举目张，就抓住了高等数学内容的内在联系与系统性.这样，我们不仅对其内容理解得更为深刻，而且在学习效率上达到了事半功倍的效果.

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