单轴压缩下砂岩断裂试验及细观统计损伤模型

李汉章，束加庆，王海军，任旭华，汤 雷

(1.河海大学，江苏 南京 210098；2.江苏省电力设计院，江苏 南京 211102；3.南京水利科学研究院，水文水资源与水利工程科学国家重点实验室，江苏 南京 210029)

在外荷载和环境作用下，材料的微缺陷如微裂纹、微孔洞等的出现和扩展而导致其宏观力学性质逐步裂化的过程称为损伤[1]。而损伤力学是专门研究含微裂纹或微孔洞介质材料损伤的演化发展直至破坏的学科，由Kachnov[2]和Rabotno[3]创立，现已被广泛应用于各个工程领域，成为固体力学研究的一个前沿。

岩体是典型的非均匀性材料，内部含有微裂纹、颗粒接触面等[4-6]缺陷。Dougill[7]在岩石和混凝土材料中开始使用损伤力学，随后损伤模型及演变方程不断涌现。Krajcinovic[8]将统计理论引入损伤力学用于描述岩石材料内部缺陷分布的随机性，为岩石统计损伤理论提出全新的思路。国内唐春安等[9-10]和谢和平等[11]分别从岩石微元的强度和损伤耗散能释放率服从某种随机分布的角度出发，建立相应的损伤本构方程，又使岩石的损伤统计本构模型研究取得了重大进展。曹文贵等[12-15]在此基础上，与室内试验相结合引入岩石微元参数，进而提出了能够反映岩石脆-延特性及其相互转化的岩石损伤统计本构模型。建立三维岩石损伤破裂本构模型模拟岩石宏细观力学特性，是损伤力学中的首要问题之一。

按传统损伤理论模型，当单元完全损伤破坏时，将不具备任何承载能力，随着荷载的作用下，损伤部位将发生无限的位移。这是数值实验和物理实验之间的一个差别，即在数值实验中，两个不相连的单元碰撞如若不考虑之间的接触不会产生相互作用，而会发生互相嵌入。但是，真实情况下对于压破坏的损伤部位虽然发生破坏，物质本身不可能消失，特别是在周边物质的限制下，会出现损伤部位慢慢压实，重新承受荷载的情况，类似于“愈合”。

为了模拟压缩状态下的这种“接触愈合”作用，本文将给压缩状态下完全破坏了的细观单元赋予一定的承压能力，使其成为“接触单元”。对该单元而言，即表现为损伤得到了一定程度上的“愈合”。首先开展单轴压缩下砂岩破坏试验，然后系统阐述了考虑峰后承载特性的细观损伤本构模型，包括本构方程、损伤变量演化、材料非均匀性模拟方法；给出基于细观损伤力学模型的数值模拟及物理实验结果，并对应力～应变曲线、宏观损伤断裂特征进行了对比分析；最后给出结论。本文研究为进一步开展不同荷载条件及岩体工程分析应用奠定了基础。

1 单轴压缩试验

1.1 试验方案

采用砂岩材料，按照国际岩石力学学会建议标准制作为高径比2∶1标准圆柱形试样，密度2 940 kg/m3。加载试验采用三思纵横WAW-600微机控制电液伺服加载系统，包含最大试验力600 kN的万能试验机，DSCC-5000多通道电液伺服闭环控制系统，位移测量范围0～200 mm,可采用应力及位移两种加载方式，本实验采用应力加载控制方式，加载速率为7 MPa/min。每种加载方式采用不同的应力值控制。物理实验中采用应变片测量，在圆柱形试样的侧面按照0°、180°黏贴。采用多通道数据采集系统,加载系统及数据采集系统见图1。

1.2 试验结果

单轴压缩下砂岩试样典型应力～应变曲线见图2，弹性模量为26.6 GPa，单轴抗压强度为38.5 MPa，呈现脆性破坏。试样破坏形态见图3,岩石力学参数整理见表1。

表1 岩石力学参数

2 细观损伤模型

2.1 细观损伤本构方程

本文所建立的损伤本构方程及损伤演化特性，充分考虑了压缩荷载作用下，破坏单元将转化为能继续承受压力荷载的“接触单元”，因此，本文建立的岩石细观损伤本构模型能够模拟出岩石试样损伤部位的愈合特征。因而试样在峰值应力后的残余强度得到体现。

由Lemaitre应变等价原理[15]，即受损材料在应力作用下的应变与无损材料在有效应力下的应变可以等价，建立起细观单元的损伤本构方程。

σ=Eε=σ(1-D)=E0(1-D)ε

(1)

式中E0——损伤前细观单元的弹性模量；E——损伤后细观单元的弹性模量；D——细观单元的损伤变量值。

图4为细观单元在单轴荷载作用下的应力应变曲线。细观单元在单轴压缩荷载作用下，在压缩应力没有达到单元压缩强度之前，单元为完全弹性体，计算参数由弹性模量和泊松比确定；随着应力达到峰值应力σc时，单元发生脆性压缩损伤，在应力～应变曲线图上表现为应力的突然降低，此时单元的力学参数发生折减，并认为发生损伤后岩石仍能承受较小荷载；在压缩应变达到某一极值εcu时，认为此时损伤物质被完全压碎，单元主压应力两侧相邻单元发生接触。单元在单轴拉伸荷载作用下，当拉伸应力达到单元拉伸强度前，单元为完全线弹性体；当应力超过单元拉伸强度时，发生脆性拉伸损伤；当拉伸应变达到某一极值εtu时，认为单元被完全拉坏，不具备任何承载能力。

2.2 损伤变量演化

见图4，细观单元中单轴受拉压状态下的一维损伤变量演化规律，在单轴拉伸应力状态下，损伤变量的表达式为：

(2)

在单轴压缩应力状态下，损伤变量的表达式为：

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(3)

式中E0——单元初始弹模；σc——无侧限抗压强度；εcu——σc下峰值压应变；σcr——残余压强；λ——单元的残余强度系数，σcr=λcσc,σtr=λtσt;σt——细观单元的单轴抗拉强度；σtr——单元初始拉伸破坏时的残余强度；εt——弹性极限下峰值应变，定义为拉伸破坏应变阀值；εtu——极限拉伸应变,定义η为极限应变系数，εcu=ηεc。

(4)

式中，ε1、ε2、ε3分别为主应变，〈〉是一个函数，意义如下：

(5)

当单元处于复杂应力状态并满足摩尔-库伦准则时，可以得到单元的最大压缩主应变εc0为：

(6)

在三维压缩状态下，用最大压缩主应变ε3来代替式(3)中的单轴压应变ε。如此，就可以将一维状态下的损伤演化方程推广到三维状态下。

岩石细观单元采用弹脆性损伤本构方程，选取具有拉伸截断的摩尔-库仑准则作为细观单元破坏的准则。采用拉伸准则优先的原则，若单元受到的最大主应力达到单元拉伸强度时，细观单元发生拉伸损伤，此时根据公式(2)确定损伤变量的大小，不以摩尔-库仑作为判断准则，在单元不满足拉伸准则时，采用摩尔-库仑准则作为判断准则。

2.3 细观非均匀性模拟

岩体是典型的非均匀性材料，其中含有裂纹、裂隙、成岩过程中的气泡等缺陷。岩石颗粒从理论上讲也应该是非均匀的，这种不均匀性可以用其力学参数的分布特性来描述。一般采用二参数Weibull分布用于描述岩石颗粒的细观单元力学特性[17-18]：即形状和尺度参数。形状参数较之尺寸参数作用更大，控制分布密度曲线基本特征，尺度参数对于密度曲线形状起到调节作用，另外可用于表示不同阶段的失效情况。一般用W(μ0,m)表示二参数的Weibull分布，可由下式表示：

(7)

(8)

式中μ——分布参数的数值；m——形状参数；μ0——尺度参数，是一个与所有单元参数平均值有关的参数，但并不是该参数的平均值，所以为了表述方便，文中称之为均值。在模拟材料的非均匀性时也需要首先确定材料的m和μ0值，这两个参数对Weibull分布的影响见图5。

见图5，参数m决定了分布的离散度，m越高，材料细观单元力学参数越集中，m越小，材料参数越均匀，所有参数更接近于给定参数μ0。常数m数值模型中材料的细观均匀性，可称之为均值度。m越小，材料越均匀。对Weibull概率密度函数积分，得分布函数：

(9)

首先采用公式(9)生成数量与数值网格数量N相同个数的符合Weibull分布随机数。将生成的随机参数随机赋予细观单元。因此，这些单元体材料参数虽然具备离散型，但是整体符合统计分布规律，由此岩石类介质参数的随机非均匀分布特性得到体现。

3 数值模拟及试验结果分析

3.1 应力～应变曲线

岩石细观参数通过遗传算法进行反演分析得到。通过Fortran编写遗传算法程序及其与Abaqus接口程序，以宏观参数弹性模量、试样强度为反演目标，以形状参数m、细观单元强度均值FC、弹性模量E为反演参数。目标函数为弹模、强度与试验中弹模、强度的误差平方和。通过不断试算反演参数值，使得目标函数值达到最小，由此确定最优反演参数。最终得到最佳细观参数形状参数m=7，细观单元强度均值为FC=80 MPa，弹性模量均值为E=33 GPa。数值模拟中宏观参数及物理实验数据值见表2，十分接近。数值试验与物理试验的应力～应变曲线见图6。

表2 岩石力学参数

3.2 应力分析

采用位移加载模式模拟单轴压缩试验。最小主应力随加载步的分布演化规律见图7，最大主应力随加载步的分布演化规律见图8。在荷载step6之前，位移加载较小，应力分布均匀。随着压缩位移的增大，压应力逐渐增大，与均匀参数分布不同，出现应力分布不均的现象，如step16。由于岩石细观参数的随机分布，参数强弱不均，在参数相对软弱的细观单元处出现明显的较大变形如step20，并在这些细观单元处出现应力集中现象。

3.3 破坏形态分析

数值模拟计算不同位移加载步下的试样损伤破坏过程见图9。加载前期，由于细观单元参数存在强弱差异，在参数相对较弱的单元，开始出现损伤，且为随机分布，如step16。在step20时，损伤开始在左下角出现集聚。step22—24断裂扩展面开始形成，并最终形成断裂。设定状态变量SDV1代表损伤值的大小，颜色越深表示损伤值越大。

数值模拟与实验试样最终破坏形态见图10，在试样下部发生剪切贯穿破坏。

4 结论

a) 建立了考虑细观单元残余强度的本构模型，并且实现了三维模型的单轴压缩计算。模拟了材料逐渐从细观损伤累积到集聚成核断裂扩展直至破坏的过程。

b) 基于考虑细观单元残余强度的本构模型，通过Weibull分布模拟岩石细观层次上力学参数的随机性及宏观统计分布规律，岩石宏观破坏过程的复杂现象可以得到充分模拟。

c) 通过室内单轴压缩实验，得到了砂岩试样的弹性模量、单轴抗压强度、应力应变曲线及断裂形态。砂岩宏观参数与基于考虑细观单元残余强度的本构模型所得模拟结果一致，断裂形态及破坏特征一致。本文本构模型的有效性得到验证。