关于实变函数教学的几点注记

摘 要：实变函数是高等院校数学类专业的一门重要专业基础课，在本课程的教学过程中开展研究式教学，可以充分调动学生发现问题、研究问题的积极性和主动性，激发学生的学习兴趣，培养学生的创新意识和科研意识。本文对实变函数课程教学方法进行研究与探索。

关键词：研究式教学;实变函数;应用

实变函数数学与应用数学，统计学专业的重要专业基础课之一。一方面是数学分析理论的深化和延续，另一方面是泛函分析，Fourier分析，概率论，分形几何，偏微分方程和调和分析等后继专业课程的基础，是培养学生数学思维、提升专业素质的钥匙，因此实变函数课程教学的成功与否对数学类专业学生的数学思维和数学素养的培养及提高有着非常重要的作用。[1-5]由于实变函数本身具有较高的理论性和抽象性，知识内容偏难，传统教学模式更加注重依照教材内容和教学大纲完成既定的教学任务和计划，偏重于课程本身的理论和知识的讲授和解答，而忽略了知识的应用以及不同知识之间的联系，导致了学生对学习实变函数的恐惧，觉得怎么学也学不会的消极现象。

我们认为在实变函数教学上开展研究式教学是一种非常好的途径，它不仅可以改变目前学生被动学习的方式，还可以充分调动学生发现问题、研究问题的积极性和主动性，激发学生的学习兴趣，培养学生的创新意识和科研意识。

1 实变函数教学过程中应注意的几点

下面我们结合教学实践、实变函数课程教学过程中应该注意的几点进行讨论。

1.1 讲清楚集合概念的基本知识

实变函数可能是所有本科数学课程中介绍集合论最为详细的课程，其他课程只介绍一些简单的概念，实变函数则用了相当的篇幅来介绍集合论的基本内容，在详细介绍集合论之前，讲授者有必要对集合论的前世今生做一个简单的介绍，因为集合论虽然成了现代数学的基石，但存在的问题迄今并未得到很好的解决。

对学生而言，集合论中出现的第一个陌生概念是集合序列的极限，有两个问题常常是教师没有交代清楚的：

（1）为什么要定义集合序列的极限？

（2）为什么要如此这般定义集合序列的极限？

要说清楚第一个问题，教师自己需要清楚实变函数的思维特征以及学习实变函数的关键是什么？从可测函数的定义可以看出，我们常常是把函数的某种性质用集合的语言表达出来，有时也需要反过来做。而分析学的灵魂则是极限，如何将函数序列的极限概念转换为集合的语言显然是个需要考虑的问题，于是集合序列的极限概念应运而生。

1.2 讲清楚测度概念的本质

作为实变函数的准备知识，集合概念介绍完了以后开始讲实变函数的重要内容测度论。实变函数的主要研究对象是可测函数，而函数的可测性定义在集合的可测性之上，因此集合的测度概念至关重要。

测度概念可以追溯到面积问题。而面积概念的最早推广是关于集合的“容量”，研究“容量”的代表性人物包括Jordon（若当）以及Borel（博雷尔），然而Lebesgue（勒贝革）测度的出现取代了十九世纪几乎所有的工作，其中也包括他的导师Borel的工作。不过Lebesgue测度并非测度论的终极，还有很多测度。事实上，如果没有更一般意义上的公理化测度，我们就很难把概率论与测度论相联系，概率论也就难以在数学上找到强大的理论基础。

老师讲课的时候不要从概念到概念，而更多注重概念的来龙去脉的阐述以及如何启发学生学会探索从而建立一个新的概念。测度作为区间“长度”、区域“面积”、立体“体积”概念的推广，当然不能脱离了这些原型去讲，否则学生学到的也只是具体的知识，而不学到发现与创造能力。鉴于在课程的引言中老师已经交代清楚了为什么要定义一般集合的“长度”，所以老师在测度这一章节无需在这个问题上过多纠缠。

1.3 恰当运用类比教学法

介绍外测度定义的时候，外测度定义方法跟曲边梯形面积的定义方法进行比较。定义曲边梯形的面积的时候，分别用若干小矩形从外面包住曲边梯形，同时用另一些小的矩形从里面尽量填满曲边梯形，随着分割的加細，如果内外小矩形面积之和趋于同一个值，就把这个极限称为对应函数的定积分（曲边梯形的面积）。这种想法推广到一般的集合，用“矩形”从外面包住一个集合并不难，难的是集合的“内部”未必包含任何“矩形”。由此可见，我们第一步只能考虑从外部逼近，即用一些小“开矩形”的并包住一个给定的集合。取包住一个给定集合的小“开矩形”之并的面积的最小就得到外测度定义。

介绍Lebesgue积分的时候，Lebesgue积分思想跟Riemann积分思想进行比较。Riemann定积分是怎么定义的，那里是将函数的定义域作分割，而Lebesgue积分是将函数的值域作分割的。

函数列的一致收敛性的重要性是不言而喻的，一个函数列一旦一致收敛，积分与极限的交换顺序问题、求导与极限的交换顺序问题以及级数的求和问题都变得简单了。解决从处处收敛得到一致收敛的定理就是叶果洛夫定理。讲解叶果洛夫定理的条件时，让学生回顾函数列xn在开区间（0，1）内非一致收敛，而挖掉很小数δ>0后的区间（0，1-δ]上一致收敛。

还要让学生明白如何用集合的语言描述函数或函数列的性质，让学生掌握好在集合的语言与分析的语言之间相互转换。

2 结语

许多人眼里实变函数课程是一门高度抽象，很难学，很难教的一门课程，然而我们应该正确地认识，对待数学的这种抽象性。作为讲课老师，我们要用通俗易懂的语言来解释那些抽象的概念，帮助学生克服害怕抽象的心理。

参考文献：

[1]曹广福.实变函数与泛函分析（上册）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]江泽坚，吴志泉.实变函数论（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[3]周民强.实变函数论[M].北京：北京大学出版社，2001.

[4]张晓岚.实变函数与泛函分析简明教程[M].北京：高等教育出版社，2004.

[5]邓东皋，常心怡.实变函数简明教程[M].北京：高等教育出版社，2005.

基金项目：本文由喀什大学教研教改项目（KJDY1802）资助

作者简介：买买提艾力·喀迪尔（1984-），男，新疆疏附县人，博士，讲师，研究方向：Fourier分析、分形几何和谱测度理论。