基于数学核心素养理念的概念教学研究

吴晗 孙洪波

【摘要】数学核心素养是一种具有数学特征、使人具备良好的数学品格、适应社会发展的能力，对人综合素质提升至关重要.而数学概念课是所有数学教师必须直面的教学难题，本文在数学核心素养理念下，以“平方根”为例，阐述了如何进行概念教学.

【关键词】数学;核心素养;概念教学;平方根

素养是指一个人的综合素质，是人在思想、理论、知识、艺术等方面所达到的一定水平[1].数学素养是一个人经过数学学习后，除去所学到的数学知识外所留下的一种思维习惯与综合能力.具有数学素养的人会用数学的眼光看待世界，并善于把数学中的概念、结论和处理方法推广应用于认识一切客观事物上，在认识世界和改造世界的活动中，会充分体现数学的价值所在[2].《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确提出了十个数学核心素养，包括：数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识[3].数学核心素养基于但又高于数学基本知识与技能，对于理解数学学科本质，设计数学教学，以及开展数学评价等有着重要的意义与价值，是数学的教学过程中应当特别关注的基本素养.

概念课是数学新授课当中教学难度最大的课型.数学概念是数学基础知识的重要组成部分，是判断和推理的起点，也是导出数学定理、法则等的逻辑基础[4].数学概念教学是数学基础知识和基本技能教学的核心，是发展数学思维、培养数学能力的重要途径.

因此，如何在数学学科核心素养理念下进行数学概念课教学，是所有数学教师必须直面的教学难题，也是值得大家认真思索研究的重要课题.下面，笔者以八年级华师版数学教材第11章第一课时“平方根”为例进行阐述.

教学过程：

1.引课：

问题一：边长为3 cm的正方形面积是多少？

问题二：面积为9 cm2的正方形边长是多少？

由3到9是乘方运算中的平方运算，而由9到3是一种什么运算呢？这种运算又有什么性质呢？

【设计意图】

（1）本节内容以实际问题开头，让学生体会数学知识来源于生活，并应用于生活.数学概念是抽象的，为了使学生更容易理解和接受，教学时要注意概念引入的途径和方式.教师根据学生的年龄特点、认知水平出发，可由日常生活或生产实际的材料引入，先感知，再理解.先抓住概念的本质特征，再引用实例，揭示对概念的本质属性的理解.

（2）两个问题很简单，但能让学生意识到一种互逆关系，为后面平方与开平方互为逆运算埋下伏笔.

（3）接下来的两个追问激发学生求知欲望，提高本堂课的学习兴趣.

2.概括平方根定义：

之前两个问题都利用了算式32=9，上标表明了一种运算，在这个运算下，3与9有着一定关系.9是3的平方，英文叫做“square”，那3是9的什么呢？英文叫做“square root”.square是“平方”的意思，而root有“根源、起因”的意思，我们把它叫做“平方根”.

再比如，52=25，5是25的平方根;

（-4）2=16，-4是16的平方根;

接下来请学生仿照老师再举几个例子，然后让学生试着说一说平方根的定义.

【设计意图】

（1）在算式32=9中了解3与9的名称，可以揭示二者的对应关系.

（2）英文“square root”能更好地诠释“平方根”名字的由来，促进学生对概念的理解.

（3）老师举的例子中平方根有正有负，让学生明白平方根不一定总是正数.

（4）學生仿照老师大量举例，可培养学生的数感与运算能力，帮助学生揭示概念的抽象过程，构建数学概念，生成数学知识.

3.巩固平方根定义：

例1 判断：

（1）2是4的平方根;

（2）-2是-4的平方根;

（3）9是3的平方根;

（4）0是0的平方根.

请同学们模仿这个句式举出正确的例子，最后总结：m是m2的平方根.

【设计意图】

（1）4个判断题和学生举例，引导学生对概念进行深入的剖析，紧扣概念本质，加深、巩固学生对平方根概念的理解与认知，掌握概念的内涵，突出教学重点.

（2）这个环节的举例，与上一环节类似，培养数感与运算能力.最后总结m是m2的平方根，使学生明白任何数都可以是某一个数的平方根.

4.平方根性质探索：

将之前的判断调过来说，对吗？

（1）4的平方根是2;（4的平方根除了2之外还有没有其他？有，-2.除了±2，还有没有了？是不存在，还是知识受限，暂时找不到了？）

（2）-4的平方根是-2;

（3）3的平方根是9;

（4）0的平方根是0.

判断并修改后，请学生模仿这个句式举出正确的例子，最后学生总结哪些数有平方根，以及它们的平方根有什么特点.老师梳理、总结.

【设计意图】

（1）4道小题，使学生感受到正数、负数、0的平方根的特点，认识到平方根的多样性.

（2）学生举例，体会平方根性质和求平方根的过程，为顺利总结出平方根性质做好准备.

（3）平方根性质的探索，其实是对平方根概念外延的一个探索过程，这能帮助学生更好的理解平方根的定义.

5.巩固平方根性质：

例2 下列各数是否有平方根？如果有，请求出它的平方根.

（1）100;（2）-916;（3）0.25;（4）214;（5）0.

【设计意图】

（1）不断应用、巩固平方根性质，多问“为什么”，使学生答题有据可依，夯实本节重点内容.

（2）本例题求平方根使开平方定义的出现水到渠成.

6.开平方、算术平方根概念及平方根的符号表示：

例2中，我们在求非负数的平方根，像这样的运算叫做开平方.我们能够体会到平方与开平方互为逆运算，我们可以借助平方来进行开平方.

对于一个正数a来讲，开平方的关键是找到它的正的平方根，我们把它叫做算术平方根，记作a.那么a的负的平方根怎么表示呢？

规定：0的算术平方根是0，记作0=0.那么-0有意义吗？

有了这样的理解，非负数a的平方根就是a和-a，合在一起记作±a，其中a称为被开方数.这个根号经历了相当漫长的演变过程，直到三百多年前，法国数学家笛卡尔用这个根号表示平方根，后来一直沿用至今.

【设计意图】

（1）开平方和算术平方根两个概念都依托平方根定义得来，所以这里直接给出.

（2）算术平方根定义是针对正数说的，对于0有一个单独的规定，二者在符号给出后都追问了相反数的表达形式，目的是对最初平方根定义中的a给出平方根的符号表示.

（3）a的平方根记为±a后，选择例如“4的平方根是±2”的语句进行符号语言的改写，即±4=±2，使学生体验符号语言的简便.

7.根号的文字语言与符号语言的转化：

例3 说出下列式子的含义，并求值.

±9，4，-49，0，±0.

【设计意图】

概念符号化是概念教学的必要步骤，这使数学的表示形式更简明、清晰、准确，本例题让学生掌握概念符号的意义，并要进行数学符号和其意义的转换，以促进学生对数学符号意义的理解.

8.综合练习：

（1）16的平方根是;

（2）16的算术平方根是;

（3）16的平方根是;

（4）16的算术平方根是;

（5）的平方根是它本身;

（6）的算术平方根是它本身.

【设计意图】

这组练习将本堂课的重点内容进行了复习、巩固、检验，其中包含平方根与算术平方根的定义、平方根的性质和根号的意义.（1）与（2）、（3）与（4）是两组平行练习，用以区分平方根与算术平方根的概念，但后者考察点多了一个16的取值，思维需多转化一步，对于学生来讲就是一个陷阱，要提醒学生注意.

9.小结：

（1）这节课我们学习了一种新的运算，叫开平方，运算符号是根号.开平方与平方互为逆运算.曾经，我们还学过加法与减法互为逆运算，乘法与除法互为逆运算.我们可以借助逆运算求解或者检验.

（2）开平方与其他运算不同的是它的运算结果通常是两个，这是因为正数有两个平方根，它们互为相反数，不要遗漏，而算术平方根具有唯一性.

（3）本节新引入了一个符号——根号，要明确符号语言的含义，理解符号之间的对应关系.

（4）以前我们学过具有非负性的有绝对值和一个数的偶数次幂，今天我们又学习到两个具有非负性的内容，一个是开平方时被開方数a具有非负性，一个是a的算术平方根a具有非负性.

10.教后反思：

“平方根”这节课是一节典型的概念课，内容难度大，容量大，学生接受起来困难.本节课的重要概念是“平方根”，教学设计上侧重概念的生成过程和对概念的理解.概念的生成过程从正方形面积这个熟悉的情境入手，让学生感受到数学源于生活，大量举例，让学生直观感知概念，以此为基础再做概括.对于概念的理解不仅包括能利用概念判定什么是平方根，还要能剖析概念，认识它的性质，这样才能更清楚地掌握概念，所以本堂课在例1和探寻平方根性质时做了大量工作.概念符号化通常是概念教学的必要步骤，本节课注重文字语言与符号语言的转换，以促进学生对数学符号意义的理解.这节课的研究手法可供“立方根”参考、模仿.

本堂课考虑在此之前学生对数的认知只是有理数，所以被开方数都是开方后为有理数的数，但是在文字叙述上并未强调必须是这样的数，后续学生会明白任何非负数都有平方根.如果本堂课学生提出“5有平方根吗”这类问题，我们可以在交代完根号后给出肯定回答，而这样的数是什么数，可以先留悬念，待学完实数后就可以解答了.

结束语

数学教师要以数学核心素养为指导方针开展数学概念课教学，重视概念的生成，辨析概念的本质，深入挖掘概念的内涵与外延，最后将新概念迁入原有知识体系，完善数学知识网，帮助学生学好数学.

【参考文献】

[1]胡金燕.对“语文素养”内涵的探讨[J].课程教育研究（新教师教学），2014（26）：13.

[2]朱传喜.努力提高大学生的数学素养[J].数学教育学报，2014（6）：14-16.

[3]中华人民共和国教育部.义务教育课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[4]邝春莲.初中数学概念教学的思考与策略[J].读写算，2018（15）：1.