由一道几何题感受一题多解的魅力

李光德 杨莉

【摘 要】本文通过一道几何题的多种解法，体会一题多解在解决数学问题中的作用，此方式既能巩固学生的数学知识，有能锻炼学生的数学思维。

【关键词】一题多解；几何；张角公式

数学问题，由于其内在的规律性及看问题的角度不同，还有学生的知识储备量，可能会有许多不同的解决方法，在平时的学习中，学生應自觉探求多种解题方法，这样可以使学生的基础知识、基本技能得到训练，能力得到增强，思路得到开阔，智力得到开发。在寻求不同解法时，要注意分析，使问题的解决更有条理，这就是一题多解。一题多解指经过多样化的分析、思考，发现尽可能多的解题策略或寻找出多种答案的思维方式，是师生在数学课堂教与学的思维训练中的宝贵经验，是培养学生发散思维的有效途径和重要方式。下面以一道竞赛题为例，体会一题多解的魅力。

如图所示，ΔABC，AB=6，AC=3，∠BAC=120°，∠BAC的平分线交BC于点D，求AD的长。

法一：对称性

取AB中点E，连接CE，交AD于点O，已知ΔAOC和ΔAOE关于AD对称，AO⊥CE，∵∠ACO=30°，AC=3， ∴AO=3/2。延长AC至F，使得AF=6，连结BF交AD的延长线于H，显然，ΔABH和ΔAFH关于AH对称，且AH⊥BF，

∵EC是ΔABF的中位线，∴AO=OH=3/2，OC= BH= HF，

∵ΔDOC∽ΔDHB，∴OC：BH=OD：DH，∴OD：DH=1：2，

∴3OD=3/2∴OD=1/2

∴AD=AO+OD=3/2+1/2=2

法二：截取法

在线段AB上截取AE，使得AE=AD，连结ED，则∠ADE=60°，则AC//ED，

则ΔBED∽ΔBAC，故DE：CA=BE：BA，设DE=x，则x：3=（6-x）：6

则DE=2，即AD=2

法三：辅助线

过点B做AC的平行线交AD的延长线于K，∵BK//AC，∴∠BKA=60°，

且∠BAK=60°，∴ΔABK是等边三角形，BK=AK=6，又∵AC=3，且

ΔACD∽ΔKBD，相似比为1：2，∴AD：DK=1：2，∴AD=2

法四：张角公式

定理：三角形中一角被一直线内分，则有两小角正弦各与不相邻边的比之和等于大角正弦与分角线之比，即：sin∠BAD：AC+sin∠CAD：AB=sin∠BAC：AD；

逆定理：如果sin∠BAD：AC+sin∠CAD：AB=sin∠BAC：AD，则B、D、C三点共线。

推论1：在定理的条件下，且∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC，则B、D、C三点共线<=>2cos∠BAD：AD=1：AB+1：AC（sin∠BAC=2sin∠BADcos∠BAD）

证明：∵AD是∠BAC的角平分线，且B、D、C三点共线，

∴2cos∠BAD：AD=1：AB+1：AC，又∵∠BAC=120°，∴∠BAD=60°，又知AB=6，AC=3

∴2cos60°：AD=1：6+1：3，∴AD=2，即AD的长为2

法五：余弦定理

设AB=c，AC=b，BC=a，

由余弦定理，

∵a2=b2+c2-2bccos∠BAC=9+36-2×3×6cos120°

∴a=3 ，又∵AD为∠BAC的角平分线，∴BD：AB=DC：AC

设DC=x，∴（3 -x）：6=x：3

∴DC= ，在ΔACD中，由余弦定理，DC2=AD2+

AC2-2AD×AC×cos∠DAC

∴7=AD2+9-2AD×3× ，∴AD2-3AD+2=0

∴AD=2或1（由三角形面积相等得出AD>1，故AD=1舍去），∴AD=2

学生通过数学结识了数学的各种思想方法，通过在解数学问题过程中体会一题多解的魅力，不仅能够丰富数学知识，更能够丰富数学思想，既能锻炼创造性思维和多变思维，更能激发对数学的兴趣。