从向心力的供需关系看卫星的运行及变轨

李满堂

《万有引力与航天》是物理必修2的重要章节，其中卫星运行及其变轨是该章的重点，也是高考考查的高频知识点。大部分学生对该知识点掌握不够系统，理解不够深刻，部分资料教辅对卫星变轨问题涉及的物理量有一些错误认识。本文试图从向心力的供需角度帮助学生梳理卫星的运行及变轨问题。

一、衛星的运行及变轨

卫星之所以能长期运行在它的轨道上，正是因为地球给它的引力恰好提供了它绕圆周运行所需要的向心力，即供等于需（GMmr2=mv2r）。

思考：如果卫星速度突然增大了，它会怎么运转呢？

当卫星速度突然增大时，它所需要的向心力就突然增大，地球给它的引力就不足以提供它做圆周运动需要的向心力了，那么它就会做远离圆心的运动——离心运动。

如图：在圆轨道I上以速度v1运行的卫星，万有引力恰好提供向心力，即供等于需（GMmr21=mv21r1）。如果在A点让它速度突然增大到v2，它所需的向心力就会突然增大，万有引力就不足以提供它做圆周运动的向心力，即供小于需（GMmr21v23ρ2），ρ2 为椭圆轨道B点处的曲率半径）。此后，卫星将会做向心运动，地球引力会将它拉回到A点，这个过程中地球引力对它做正功，它的速度又会逐渐增大，回到A点时，它的速度又到达v2。这样卫星就会在椭圆轨道II上不断的运转，在近地点A时速度最大，在远地点B时速度最小。值得注意的是，圆轨道上运行的卫星，在A点速度突然增大得越多，它的椭圆轨道半长轴将越长，也就是轨道将椭得越厉害。

怎样才能让卫星变轨到更高的圆轨道呢？

上面讲到卫星沿椭圆运动到远地点B点后，它之所以又会在地球引力作用下回到近地点A点，是因为在B点时它的速度已经很小，导致它所需要的向心力小于地球给它提供的引力了。如果在卫星运行到B点的时候，让它速度突然增大，如果增大到某一值v4而且此时它所需要的向心力恰好等于地球提供给它的引力，即供等于需（GMmr22=mv24r2），它还会做向心运动吗？当然不会。卫星将绕地球做圆周运动，它此时的圆轨道经过B点，如图所示的圆轨道II，与开始经过A点的圆轨道比，它的圆轨道就变高了。

二、卫星运行及变轨中速度和加速度比较

上面卫星运行及变轨中涉及的速度有v1、v2、v3、v4等4个速度，它们的大小关系如何？由上可知v2是由v1增大得到的，故有v2>v1，又有v4是由v3增大得的，故有v4>v3，又卫星从A运动到B是减速的，则v2>v3;现在我们来通过计算比较一下v1和v4的大小，在圆轨道上运行的卫星万有引力提供向心力有GMmr2=mv2r，可得v=GMr，由此知道半径越大，卫星运行速度越小即v4v1>v4>v3。

现在我们来看一下加速度大小比较：在圆轨道I上运行的卫星，所受地球引力为F1=GMmr21，由牛顿第二定律知此时卫星加速度为a1=GMr21。卫星在椭圆轨道运行时，由于距离地心距离不断变化，所受地球引力在不断变化，由牛顿第二定律知加速度大小也在不断变化，经过A点时加速度为a1=GMr21最大，与圆轨道I上的加速度大小相同，从A点运动到B点过程中由于地心越来越远，受到地球引力越来越小，加速度越来越小，到B点时加速度为a2=GMr22，是最小的，且与卫星在圆轨道II上加速度一样大。由此可知：经过同一点的卫星，不管是它运行的轨道是怎样的，加速度都一样。

上面说的是加速度，现在我们看看向心加速度。在圆轨道I上以速度v1运行的卫星，万有引力恰好提供向心力，由牛顿第二定律及向心加速度公式得此时卫星向心加速度a1向=v21r1=GMr21。同理在圆轨道II上以速度v4运行的卫星向心加速度a2向=v24r2=GMr22。卫星在椭圆轨道上运行经过A点时的向心加速度为aA向=v22ρ1>GMr21）（ρ1为椭圆在A点处的曲率半径），在椭圆轨道上运行经过B点时的向心加速度为aB向=v23ρ2a1向>a2向>aB向。

由此可知卫星在运行及变轨过程中，卫星的加速度和向心加速度是有区别的。在圆轨道上运行时，卫星的向心加速度就是它的加速度。如果是椭圆轨道上运行的卫星加速度与向心加速度是完全不同的。