不同阶次的分数阶复值混沌系统的广义投影同步和广义错位投影同步

(山东科技大学 数学与系统科学学院，山东 青岛 266590)

分数阶微积分具有和整数阶微分理论近乎同样长的历史，但由于人们的认知水平不足、缺乏对应的物理应用背景等原因，分数阶微分一直没得到相应的发展和重视[1]。直到1982年,Mandelbrot等[2]第一次指出自然界和许多其他领域中存在很多相似于整数阶系统的分数维现象；在生物医学、力学物理、金融工程和神经网络工程等一些新兴领域，用整数微分方程建模存在很大的局限性，但利用分数阶微积分可以有效改善遗传记忆问题[3-5]。此外，由于混沌信号具有初值敏感性、类随机性、连续宽带谱等特性，分数阶混沌系统在保密通信中具有巨大的潜在价值，可实现数字混沌加密通信，有利于提高信息的安全传输[6-7]，因此研究分数阶系统具有十分重要的意义。

早在1990年，Peora和Corrol[8]就提出了混沌同步的概念，并广泛应用于物理学、气象学等各种工程和物理领域中。近年来，混沌同步在保密通信等跨学科领域的潜在应用价值吸引了许多学者的注意[9]，并取得了一些重大成果。例如：自适应、脉冲和滑模变结构等同步方法[10-11]，完全同步、反同步、投影同步、函数投影同步等[12-14]。相对于整数阶系统，分数阶系统可以更加准确地描述系统的动态变化，并且控制自由度更高[15]，吸引了很多学者对分数阶混沌动力学系统同步进行研究，并取得了一系列进展[16-17]。然而，在工程实践中复值变量更为常见，复值系统在电磁场等领域中具有更重要的应用前景，研究者开展复值系统动力行为的研究，包括分岔、同步和稳定性分析等[17-18]。但目前对于复值分数阶系统和阶次不等的分数阶系统的同步研究还很少[19]。本研究利用混沌同步能增强保密通信的抗破解能力的特点，结合不同阶次分数阶广义投影同步和采用复杂多变的比例因子，提出不同阶次复值分数阶广义错位投影同步，提高保密通信的安全传输。

1 知识准备与问题描述

1.1 分数阶微积分定义

在不同领域的研究中，分数阶微积分是对整数阶微积分的推广，在研究过程的实际应用中,定义主要有Grunwald-Letnikov定义、Riemann-Liouville定义和Caputo定义。

Caputo定义数学表达式如下：

(1)

其中n-1<α

因为分数阶Caputo微分定义对初始值有敏感性，所以更多的应用在工程领域，与分数阶微分对应的是积分：

(2)

1.2 广义投影同步和广义错位投影同步描述

驱动系统和响应系统数学模型：

(3)

(4)

其中x=(x1,x2,…xn)T∈Rn,y=(y1,y2,…yn)T∈Rn分别表示驱动系统和响应系统的时间状态变量；f,g:Rn→Rn,F,G:Rn×n→Rn×n表示非线性函数；A,B表示参数向量，u(t)为要设计的非线性控制器。

定义驱动系统和响应系统同步的误差向量：e(t)=y(t)-Δx(t), 其中Δ=δij是比例因子矩阵，Δ∈Rn×n为非奇异矩阵，该矩阵每行每列只有一个非零元素值，若Δ为对角矩阵，该同步称为广义投影同步，若Δ不是对角矩阵，则此同步为广义错位投影同步，要求驱动系统与响应系统的状态变量不是完全一一对应的，而是按照错位关系成比例的同步。

(5)

2 分数阶复值Chen混沌系统及其不同阶次广义投影同步

2.1 分数阶复值Chen混沌系统

分数阶复值Chen混沌系统的数学模型如下：

(6)

为研究该系统的非线性动力学行为，取系统参数和阶数：a1=35,a2=3,a3=28,α=0.93,α=0.98, 分数阶Chen系统处于混沌状态，混沌吸引子见图1和图2。

图1 相空间中的混沌吸引子(α=0.93)Fig.1 Chaotic attractor in phase space (α=0.93)

图2 相空间中的混沌吸引子(α=0.98)Fig.2 Chaotic attractor in phase space (α=0.98)

2.2 不同阶次分数阶复值Chen系统广义投影同步

研究驱动系统和响应系统阶次不等情况下的同步，以系统(6)作为驱动系统，以系统(7)作为响应系统，假设响应系统的阶次β大于驱动系统的阶次α(0<α<β<1)，有

(7)

根据分数阶微分的定义和引理1知，驱动系统方程(6)可以转化为：

(8)

即

(9)

因此不等阶次的分数阶复值混沌Chen系统(6)和(7)的同步问题就转化为混沌系统(9)和(7)的同步问题。

定义系统的同步误差：

(10)

由式(7)、(9)、(10)，得到其同步误差方程：

(11)

定理1基于分数阶稳定性理论和自适应控制方法，设计控制器如下：

(12)

证明：把所设计的控制器(12)代入误差系统(11)得到新的同步误差系统：

(13)

构造函数h1(e):

(14)

根据引理2，在控制器(12)的控制下，分数阶误差系统(11)稳定，定理1得证。

3 不同阶次分数阶复值Chen系统广义错位投影同步

以不同阶次分数阶复值Chen系统为例，以(6)为驱动系统，以(7)为响应系统，研究广义错位投影同步，也就是研究系统(9)和(7)的同步问题，因为驱动系统和响应系统阶次都是5，所以广义错位投影同步有5!-1=119种，设ni表示第i种错位形式，i=1，2，3，…，119，xj和yj(j=1，2，3，4，5)表示两个分数阶系统的状态变量，则有如下119种组合：

n1:(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),(x4,y5),(x5,y4);

n2:(x1,y1),(x2,y2),(x3,y4),(x4,y5),(x5,y3);

n3:(x1,y1),(x2,y2),(x3,y4),(x4,y3),(x5,y5);

n4:(x1,y1),(x2,y2),(x3,y5),(x4,y3),(x5,y4);

n5:(x1,y1),(x2,y2),(x3,y5),(x4,y4),(x5,y3);

⋮

n119:(x1,y5),(x2,y1),(x3,y2),(x4,y3),(x5,y4)。

这里讨论第119种组合n119, 假设存在非奇异矩阵Δ,δij(i,j=1,2,3,4,5)是常数：

其余形式也可用此法进行类似分析,该形式的广义错位投影同步误差为：

(15)

由 (7),(9),(15)式,可得同步误差系统方程：

(16)

定理2对于任意给定的非奇异比例因子矩阵Δ和初始值，在自适应控制器(17)的作用下，可实现驱动系统(9)和响应系统(7)的广义错位投影同步，设计的非线性控制器如下：

(17)

证明：将非线性控制器 (17) 代入误差系统方程 (16) 得：

(18)

构造函数h2(e):

+δ45x5(t)e2(t)e5(t)+δ23x3(t)e4(t)e5(t)

(19)

由于(19)式满足引理2，误差系统(16)稳定于零点，实现了广义错位投影同步，定理2得证。

4 数值仿真

为验证上述方法的有效性，本节采用求解分数阶微分方程计算精度很高的预估校正算法进行数值仿真实验。

对于第3部分的数值仿真，初始值取x1=1,x2=1,x3=2,x4=2,x5=3,y1=0,y2=0,y3=-2,y4=0,y5=9, 驱动系统阶次α=0.96, 响应系统阶次β=0.98, 其仿真结果如图3所示。初始值取x1=1,x2=1,x3=2,x4=2,x5=3,y1=0,y2=-1.5,y3=-2,y4=0,y5=7, 驱动系统阶次α=0.93, 响应系统阶次β=0.98, 其仿真结果如图4所示，图示结果表明在所设计控制器的作用下误差趋于零，可以实现不同阶次复值分数阶混沌系统的同步，验证了所设计控制器的有效性。

图3 阶次0.96的驱动系统和阶次0.98的响应系统的广义投影同步误差Fig.3 Generalized projective synchronization error of order 0.96 drive system and 0.98 response system

图4 阶次0.93的驱动系统和阶次0.98的响应系统的广义投影同步误差Fig.4 Generalized projective synchronization error of order 0.93 drive system and 0.98 response system

对于第4部分的数值实验，比例因子选取δ12=3,δ23=2.5,δ34=2,δ45=1.5,δ51=3,驱动响应系统的阶次α=0.96,β=0.98, 初始值选取x1=1,x2=1,x3=2,x4=2,x5=3,y1=0,y2=0,y3=-2,y4=0,y5=9, 同步误差系统图见图5。驱动响应系统的阶次选取α=0.93,β=0.98, 初始值选取x1=1,x2=1,x3=2,x4=2,x5=3,y1=0,y2=-1.5,y3=-1,y4=0,y5=7, 同步误差系统图见图6，从图5和图6可以看出广义错位投影同步误差系统趋于零，驱动系统和响应系统实现了广义错位投影同步，验证了设计的控制器的有效性。

图5 阶次0.96的驱动系统和阶次0.98的响应系统的广义错位投影同步误差Fig.5 Generalized dislocation projective synchronization error of order 0.96 response system and 0.98 response system

图6 阶次0.93的驱动系统和阶次0.98的响应系统的广义错位投影同步误差Fig.6 Generalized dislocation projective synchronization error of order 0.93 response system and 0.98 response system

5 结论

依据分数阶微积分的定义和定理，提出一种不同阶次复值分数阶同步的方法。针对不同分数阶阶次的复值混沌系统，可以通过将不同分数阶阶次的复值分数阶系统转化为等阶次的复值分数阶不同结构的系统进行分析，通过设计非线性控制器实现了广义投影同步和广义错位投影同步，并给出了证明。利用预估校正算法进行数值实验，得到的仿真结果与数学理论分析一致，该方法的同步效果与以往的混沌同步效果相同，验证了该方法的正确性。