以“问”和“导”构建有效生本课堂
——从浙教版八上《2.4等腰三角形的判定定理》教学说起

随着新课改的不断深入，基于学生学习力发展的课堂教学方式也随之发生了显著变化。“以生为本、学为中心；以学定教、顺学而导”的教学理念已成为课堂的主旋律。教师教学的着力点也从关注教师如何“教”转变为关注学生如何“学”，放大“学”，优化“导”，做到“学”与“导”的合理契合。而“智慧导学”作为“学导课堂”五大核心要素之一，是“学导课堂”得以有效实现的前提和重要保障，其相应的教学策略显得尤为重要。它不仅需要教师在教学过程中有一双慧眼来“相机”，而且需要有一颗智心来“导学”。笔者在八上《2.4等腰三角形的判定定理》这节课的教学中，细研教材，抓住提问时机，并顺学而导，顺利突破重、难点，达成教学目标。现例说如下。

一、尊重教材，经历过程，充分体验

任何的数学教育教学活动都是以培养学生的数学素养为目的。就笔者来看，数学素养不同于数学知识，不是短期可以培养出来的。它依托于数学知识点，通过教师日常的教学活动，使学生养成习惯、形成经验，并经过长期积累逐渐形成。在浙教版数学教材中，经常会安排让学生画一画、量一量，旨在让学生通过动手实验，经历发现知识、发现规律、验证猜想等过程，引领学生体验数学知识发生、发展的本质，学会理性思维，进而培养逻辑思维能力。如何理解教材、处理教材，如何教学设计值得思考。

案例1：浙教版教材八上《2.4等腰三角形的判定定理》教学片段一

1.教材背景

本节课是在学习了等腰三角形的定义和性质后的一节新授课，教材开头就设问：“根据等腰三角形的定义，如果一个三角形的两条边相等，那么就可以判定这个三角形是等腰三角形。除此之外，还有其他判定方法吗？”紧随其后是合作学习环节，具体内容如下。

在纸上任意画线段BC，分别以点B和点C为顶点，以BC为一边，在BC的同侧画两个相等的角，两角的另一边相交于点A。量一量，线段AB与AC相等吗？其他同学的结果与你的相同吗？你发现了什么规律？

2.教师教学设计

教师以复习等腰三角形的定义和性质作为课堂引入并提问：“同学们，由等腰三角形可以得到很多结论。反之，要判定一个三角形是等腰三角形，则需要具备什么条件呢？”

学生纷纷回答：“‘两条边相等'或者‘两个角相等'。”

教师追问：“这两种方法的依据分别是什么？”

学生回答：“是等腰三角形的定义和等腰三角形的两个底角相等。”

教师：“回答得很好，定义既是性质又是判定，所以有两条边相等可以判定一个三角形是等腰三角形，接下来我们重点讨论‘有两个角相等'这种判定方法。同学们能够从‘等腰三角形的两个底角相等'这个性质，猜想到‘有两个角相等的三角形是等腰三角形'这种判定方法值得肯定。说明同学们意识到知识是前后相关的。但请同学们再想一想，把一个真命题的条件和结论互换后，所得命题是否仍是真命题呢？”

学生回答：“不一定。”

教师追问：“请举例。”

学生回答：“‘对顶角相等'的逆命题是‘相等的角是对顶角'，这是一个假命题。”

教师及时肯定所举反例：“从刚才某某同学所举例子中，同学们可以感受到‘等腰三角形的两个底角相等'不能支持你们的猜想，你们是否感觉到这个‘显而易见'的判定方法找不到依据？”

学生纷纷点头，教师继续阐述：“事实上，在两千年前，几何知识的鼻祖——古希腊数学家欧几里得以及其他数学家，在研究数学发展的过程中，也会遇到有猜想却找不到依据的情况。他们会怎样处理呢？他们往往会通过动手实验的方式来进一步验证猜想。接下来，我们也学一学他们，一起来完成合作学习部分。”同时强调作图工具不限。

学生马上动手实验，教师巡视。独立完成后要求同桌之间互相交流：作图具体步骤；作图所用工具；线段AB与AC是否相等？如何判断？最后让作法有代表性的几位学生在班级中分享。教师最后小结：“同学们用不同的方法完成了合作学习，从作图痕迹可以判断∠B=∠C。我们发现，只要∠B=∠C，我们都能得到AB=AC。此刻我们是否可以认为‘有两个角相等的三角形是等腰三角形'就是定理了呢？”

学生：“不可以，作图有误差，不够严谨。”

教师追问：“那怎么办？”

学生：“推理，证明。”

教师：“那怎么来证明这个命题呢？接下来请同学们独立思考，有想法举手……”

在此教学环节中，根据等腰三角形的性质和判定定理的互逆关系，以及学生在小学阶段对等腰三角形的认知与几何直观，学生较易猜想出“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这个判定方法。既然学生根据已有的认知有了这样的猜想，那么紧随其后的合作学习环节是否还有必要让学生经历？具体该如何处理？

显然，教材安排合作学习的目的是让学生经历等腰三角形判定定理的发现过程。通过“经历实验——发现规律——给出证明”的过程，体验发现、检验真理，培养数学思维品质。因此，即使学生根据已有的数学经验得出正确的猜想，仍要引导学生经历定理从发现到最后得以证明成立的整个过程。

另外，在合作学习过程中，教师补充强调的作图工具不限及交流分享环节，让学生充分感受到实验途径的丰富多样性。而教师合作学习后的小结又让学生“心甘情愿”地回归于猜想，并在一问一答中引出判定定理证明的必要性。

因此，教师在备课过程中要仔细研读教材内容，根据教学目标，领悟教材内容安排的用意，尊重教材。尤其重视设置的数学活动，并以此为载体，让学生经历过程，充分体验。学生也只有经历了数学活动的过程，才能不断地生成、丰富、拓展、提升和交流数学活动的经验，从而形成和发展数学核心素养。

二、追根溯源，强调本质，淡化形式

早在二十多年前，陈重穆、宋乃庆教授就提出了“注重实质、淡化形式”的数学教学理念。而当下的数学课程改革，也明确提出了“强调本质，注意适度形式化”的教学理念。因此，教师在教学过程中，不仅对教学内容和目标要有正确的定位，在教学设计中，还需顺应学生思维发展，注重强调数学本质，淡化形式。

案例2：浙教版教材八上《2.4等腰三角形的判定定理》教学片段二

证明等腰三角形的判定定理——如果三角形的两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。

学生通过分析命题的条件和结论，经过交流和补充，给出以下证明：

已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C

求证：△ABC是等腰三角形

证明：作角平分线AD

∴∠1=∠2

∴△ABD≌△ACD(AAS)∴AB=AC ∴△ABC是等腰三角形

此时，教师追问：“你是怎么想到添这条辅助线的？”

学生回答：“想要证等腰三角形，只要证明AB=AC。即证明两个三角形全等，所以想到了添这条辅助线。”

教师：“某某同学的想法你们同意吗？”

学生：“同意。”

教师追问：“依据是什么？”

学生：“等腰三角形的定义。”

教师：“同学们说得很好。另外，看某某同学的证明过程，主要是运用了全等三角形这一旧知。这种用已有的知识来解决新问题的思想方法是研究数学问题的基本策略。同学们还有其他不同的证明方法和大家分享吗？”

有同学提出高线并证明……

在实际教学中，教师在教学过程中不向学生追问辅助线添法的来源，而是追求证明方法的多样化，甚至主动补充当AD是中线时的证明方法。显然，这种做法教师是以俯视的姿态告诉式地展开教学。只注重知识的灌输而忽视了学生的认知起点，在学生思维的生成上没有追根溯源，淡化了考虑问题“从哪里来，要到哪里去”的数学本质，也偏离了教学目标。

三、顺应思维，因势利导，提炼归纳

著名数学家波利亚曾告诫我们：“让你的学生提问题，要不就像他们自己提问的那样由你去提出这些问题；让你的学生给出解答，要不就像他们自己给出的那样由你去给出解答。”的确，在课堂上，教师要顺应学生思维并善于设问，启发学生思考，引导学生独立或合作解决问题，把课堂真正还给学生。

案例3：浙教版教材八上《2.4等腰三角形的判定定理》教学片段三

在证明完等腰三角形的判定定理后，教师提出：“等边三角形又该如何判定呢？”

学生纷纷回答：“‘三边相等'，‘三个角相等'。”

教师追问：“依据分别是什么？”

学生回答：“三边相等是根据等边三角形的定义，三个角相等找不到依据。”

教师：“找不到依据，那你能推理证明吗？”

学生：“能。”证明过程具体如下：

∵∠A=∠B=∠C

∴AB=AC=BC

即△ABC是等边三角形

教师：“由三角相等推出三边相等的依据是什么？”

学生：“等腰三角形的判定定理。”

教师：“某某同学说得非常好！只要在同一个三角形中，角相等就能推出所对的边相等。这个定理对角的个数是两个还是三个没有规定。”

随之得出等边三角形的判定定理1：三个角相等的三角形是等边三角形。

教师继续问：“如果已知等腰△ABC，且AB=AC，证明它是等边三角形，还需增加什么条件？请说说你的想法。”

学生充分议论，最后一致反馈为：①AB=BC ②∠A=60°③∠A=∠B ④∠A=60°

教师结合图形引导学生逐一说明四种条件成立的理由，特别对方法②和④进一步追问，引导学生说清楚求其他两个角的方法的不同之处。

接着，教师继续追问：“请同学们把刚刚增加的4种不同的条件转换成文字语言并填空，使之成为一个真命题。”_____________________________________的等腰三角形是等边三角形。

学生交流后概括为：①腰与底边相等，②顶角等于底角，③有一个角等于60°。

教师：“同学们概括得很好，接下来让我们一起来理一理你们刚才得出的三个真命题。”

①腰与底边相等的等腰三角形是等边三角形。它的实质就是三边相等的三角形是等边三角形，即等边三角形的定义。

②顶角等于底角的等腰三角形是等边三角形。它的实质就是三角相等的三角形是等边三角形，即等边三角形的判定定理1。

③有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。这个真命题我们还没有推理证明，这就是本节课要学习的等边三角形的判定定理2……

在上述教学设计中，教师能顺应学生从等腰到等边的思维发展，设置一个个问题，在循循善诱中引导学生类比学习等腰三角形过程中的思想方法，猜想、推理证明等边三角形判定定理1。同时，在推理证明等边三角形判定定理2的教学设计上，教师设问起点低且开放，满足了所有学生的“胃口”，充分调动了学生的积极性。引导学生由图形语言慢慢过渡到文字语言，由浅入深、循序渐进。学生既能独立思考，又能合作探究，充分经历了观察、比较、归纳、整理、证明的数学学习过程，并从中体会到了分类讨论思想。而最后，师生一起通过归纳整理，使等边三角形的判定定理2自然生成，也使等边三角形的相关内容得以提炼归纳，使本节课的难点得以顺利突破。

教师在教学过程中，不应以知识丰富而自居，而应善于把自己已有的知识搁置一旁，把自己的思维降低至学生的思维水平，有意识地退回到与学生相仿的思维状态。并根据学生的思维起点和发展规律，结合教学实际相机而问，顺学而导。在问中把学生推向“前台”，成为课堂主角，彰显学生学习的“主权”；在导中引领学生经历知识发生、发展、生成的过程，积累数学活动经验，提高数学思维品质，进而培养数学核心素养。总之，教师在日常教学中，在认真研读教材，领会教材编写意图，明确重难点的同时，要善于抓住“问”的时机，明确“问”的方向，思学生所思，难学生所难，真正构建有效生本课堂。