基于犹豫区间直觉语言型Z-Number熵和决策者风险态度的多属性群决策分析

陈万付，梅孔椿

1 引言

犹豫区间直觉语言型Z-number是在语言型Z-number基础上拓展而来的，一个语言型Z-numberZ=(A,B)第一部分A是对事件的模糊限制，第二部分B是对第一部分的可靠性度量，当A为区间直觉语言型变量，且B亦是一种语言型变量集合，则Z=(A,B)即为一个犹豫区间直觉语言型Z-number(HIILZN)，它亦是处理现实世界多属性决策的重要工具。文献[1]提出了语言型变量的概念以来，语言型模糊数已被广泛应用于统计决策，系统工程，模式识别等领域。文献[2]提出了不确定语言型变量，并基于语言型偏好关系提出了语言型变量的集结算子，这为语言型模糊数的决策提供了便利。文献[3]提出了Z-number的概念，拓展了决策方法，这使得决策更加科学系统。文献[4]提出了一些Z-number的算子，文献[5]提出了语言型集合的语言评估尺度，将语言型集合转化为具体的数值，为比较语言型模糊集之间的优劣性提供了有力的工具。文献[6]在传统模糊集的基础上进行了拓展，提出和介绍了直觉模糊集的概念，这使得利用模糊集在处理决策的模糊性和不确定性等方面更具灵活性和实用性。文献[7]研究了属性值为三角直觉模糊数的多属性决策问题，提出了在直觉模糊信息下基于权重函数的决方法。文献[8]针对属性值为区间灰色不确定语言评价信息的多属性群决策问题，定义了三种几何加权集结算子，并将群决策方法进行了实际的应用。 文献[9]和文献[10]在前人研究的基础上，提出了新的语言型尺度函数，并运用在犹豫不确定语言型Z-number中，为语言型模糊集在实际决策应用做出了贡献。文献[11]将模糊集的熵、交叉熵等推广到犹豫模糊环境下，并给出犹豫模糊集的熵和交叉熵测度，并讨论了犹豫模糊集的熵、相似度以及交叉熵之间的关系。

2 知识准备

2.1 语言型集合

假设S={si|i=0,1,2,…,2m}是一个包含奇数个离散有序语言型术语的集合，m是正整数，si(i=0,1,2,…,m)代表语言型变量的一个可能值。比如当m=4，S可表示为S={s0=极度贫穷，s1=非常贫穷，s2=贫穷，s3=稍微贫穷，s4=一般，s5=稍微好，s6=好，s7=非常好，s8=极其好}，且对于两个语言型变量si和sj满足以下三个性质[1]：

(1)当si≤sj,当且仅当i≤j；

(2)当i≤j时，min(si,sj)=si，max(si,sj)=sj；

(3)遵守互补运算：neg(si)=sj，当i+j=2m时。

2.2 语言型Z-numbers

定义2.2.1一个Z-numberZ(A,B)，X表示的是一个随机事件，第一部分A是对X的评价，B表示的是A可靠性的程度。当A和B都是语言型术语时，Z-numberZ(A,B)便是一个语言型Z-number。比如{中国的高铁系统，非常好，非常确定}就是一个语言型Z-number，其中X=中国的高铁系统，A=非常好，B=非常确定。

2.3 犹豫区间直觉语言型Z-numbers

犹豫区间直觉语言型Z-number(HIILZN)是在语言型Z-number(LZN)的基础上拓展而来的， Z-numberZ={(A(x),B(x))|x∈X}第一部分A(x)是以区间直觉语言变量的形式表现出来的，故对于任意的HIILZNZ可定义如下：

定义2.3.1假设S={s0,s1,…,s2l}，S′={s′0,s′1,…,s′2t}是两个包含奇数个离散有序语言型术语的集合，当i≤j，si≤sj，s′i≤s′j，一个HIILZNZ可定义如下：

Z={x,(A(x),B(x))|x∈X}

2.4 语言尺度函数

定义2.4.1[13]假设si∈S是一个语言型术语，且有S={si|i=0,1,2,…,2m}。假设有一个数值θi∈[0,1]，从si到θi(i=0,1,2,…,2m)的映射H*被定义如下：H*:si→θi(i=0,1,2,…,2m)。其中θi∈[0,1]，且对于任意的θi(i=0,1,2,…,2m)，θi是严格单调递增的，即有0≤θ0<θ1<…<θ2m≤1。我们用i代替si，两种语言型尺度函数(LSF)被表示如下：

LSF1：θi=H*1(i)=

(2)

其中，α∈(0,1)，β∈(0,2)。

语言尺度函数H*ξ(i)(ξ=1,2)均满足如下三个性质：

2)尺度函数H*ξ(i)在i=0，1，2，…，2m上单调递增。

3)对任意的H*ξ(i)和H*ξ(j)，当i+j=2m时，H*ξ(i)+H*ξ(j)=1。

以上三个性质很容易得证，这里不再作证明。

2.5 犹豫区间直觉语言型Z-numbers排序值公式

本节提出一种HIILZNs距离公式，并基于HIILZNs与正理想距离提出HIILZNs的排序值公式，越接近正理想，排序值越大，HIILZNs越优。

假设有三个HIILZNsZi，Zj，Zk，其中

(1) 0≤dλ(Zi,Zj)≤1，dλ(Zi,Zj)=0当且仅当Zi=Zj；

(2)dλ(Zi,Zj)=dλ(Zj,Zi)。

(4)

定义2.5.2假设Zi是一个HIILZN，基于与正理想Z+距离的排序值公式可定义如下：

R(Zi)=2-2dλ(Zi,Z+)

(5)

HIILZNZi的排序值公式满足如下两个性质：

命题1 对于任意一个HIILZNZi，R(Zi)∈[0,2]，R(Z+)=2，R(Z-)=0。

命题2 设X是一个论域，Zi和Zj是任意两个HIILZNs，则两者存在三种偏序关系：

(1)若R(Zi)

(2)若R(Zi)>R(Zj)，则Zi优于Zj，用Zi≻Zj表示；

(3)若R(Zi)=R(Zj)，则Zi与Zj等价，用Zi≈Zj表示。

3 犹豫区间直觉语言型Z-numbers熵

在本节中，提出一种新的HIILZNs熵公式去度量HIILZNs的不确定信息。

(1) 0≤E(Zi)≤1；

性质(5)很容易证明，这里不再做证明。

4 构造最优模型求解专家和属性权重

4.1 专家最优权重求解模型

(7)

(8)

(9)

利用Lagrange函数法求解最优专家权重为：

(10)

4.2 风险偏好因子

风险偏好是指个体承担风险的基本态度，是个人感知决策情景及制定风险决策的重要前导因素。风险具有不确定性，投资实体面对这种不确定性所表现出的态度、倾向便是其风险偏好的具体体现。风险偏好是决策者对风险的一种偏好程度，它的不确定性是难以度量的。风险偏好是一种不确定性，面对这种不确定性，决策者的态度和倾向是风险偏好的具体体现。本文在HIILZNs环境中引入风险偏好因子来探究决策者的不同风险偏好态度对决策属性权重和决策结果的影响。因不同决策者的风险态度是存在差异的，一部分人可能喜欢大得大失的刺激，另一部分人则可能更愿意“求稳”，根据决策者对风险偏好的不同，可以将其分为风险规避型、相对风险规避型、风险中性型、相对风险追求型、和风险追求型，所以根据决策者的风险态度的不同，设置风险偏好函数如下：

定义4.2.1设R是一个风险偏好因子，则R可定义如下：

(11)

R的不同取值反映了决策者的风险态度的不同。在以HIILZNs为信息环境下的决策，HIILZNs的熵即为它的不确定性风险，因此，本文基于上述的观点定义决策者风险偏好函数如下：

(12)

该函数反映的是决策者在有风险态度情况下的风险得分。

4.3 构造最优决策模型求最优属性权重

本节基于本文提出的HIILZNs排序值公式和熵在决策者有风险偏好情况下构造最优决策模型求最优属性权重。得到专家权重ϖ=(ϖ1,ϖ2,…,ϖp)后，利用HIILZNs加权集结算子集结p个决策矩阵，得到综合决策矩阵G=(gij)n×m，其中

gij=fϖ(D1,D2,…,Dp)

(13)

其中，ϖe表示的是第e(1≤e≤p)位决策者的权重。

基于当属性权重完全未知和部分已知时的两种情况，基于排序值减风险偏好函数的最优属性权重求解模型建立如下：

情况(Ⅰ)：属性权重完全未知时：

(Ⅰ)

(14)

作Lagrange 函数求解权重并归一化得最优权重：

(15)

情况(Ⅱ)：属性权重部分已知时：

(Ⅱ)

(16)

4.4 决策步骤

一种新的基于HIILZNs排序值，熵和决策者风险偏好的多属性群决策方法步骤如下：

步骤2基于公式(9)、(10)求解最优专家权重ϖ=(ϖ1,ϖ2,…,ϖp)，并基于专家权重和公式(13)集结p个决策矩阵，得到综合决策矩阵G=(gij)n×m；

步骤3基于公式(4)、(5)、(6)计算综合决策矩阵G=(gij)n×m的排序值矩阵R(gij)n×m，熵矩阵E(gij)n×m；

步骤4设置不同风险偏好R，并基于公式(12)、(14)、(15)求解不同风险偏好R下最优属性权重向量ω=(ω1,ω2,…,ωm)，并利用WAA算子集结各方案的属性权重和属性值得到每个方案的综合属性值后利用排序值公式得到每个方案的排序值Ri并排序，其中R(xi)=Rij·ωj，并探究在不同风险偏好下属性权重的变化以及对方案排序的影响。

5 实例分析

假定有3位专家T1，T2和T3组成一个决策群体对3套信息管理系统即方案xi(i=1,2,3)进行个性化推荐，且专家权重为未知。记方案集为X={x1,x2,x3}。经过分析和论证，选择下面4个因素作为个性化推荐指标即属性：信息准确性(C1)、信息一致性(C2)、系统可用性(C3)和图像完整性(C4)。利用问卷调查与统计方法，可以得到各个专家Te(e=1,2,3)对方案xi(i=1,2,3)关于属性Ci(i=1,2,3,4)给出的评价，且所有评价都以HIILZNs的形式给出，所有决策矩阵如表1，表2和表3所示。

表1 专家T1个性化推荐矩阵

表2 专家T2个性化推荐矩阵

表3 专家T3个性化推荐矩阵

决策步骤如下：

步骤2基于公式(9)、(10)计算最优专家权重为ϖ={0.3344,0.3299,0.3357}，利用HIILZNs加权集

结算子集结以上三个个性化推荐决策矩阵，得到综合决策矩阵G=(gij)3×4如表4所示，其中gij均是HIILZNs：

表4 综合决策矩阵

步骤3基于公式(4)、(5)、(6)计算综合决策矩阵的排序值矩阵R(gij)3×4，熵矩阵E(gij)3×4：

R(gij)3×4=

E(gij)3×4=

步骤4在不同风险偏好下求解模型得到最优属性权重向量，并用WAA算子集结各方案的决策信息，得到每个方案的综合排序值并排序。两种情况下不同风险偏好下的属性变化及排序如表5所示，两种情况下属性权重随风险偏好变化趋势图如图6和图7所示。

表5 两种情况下不同风险偏好下的属性变化及排序

图2 M(Ⅰ)下属性权重随风险偏好变化趋势图

图3 M(Ⅱ)下属性权重随风险偏好变化趋势图

从图2和图3可以看出，在本文例子中，当属性权重完全未知时，随着决策者风险态度的从风险规避到风险偏爱，属性ω1和ω2逐渐增大，ω3和ω4逐渐减小；当属性权重部分已知时，随着决策者风险态度的变化，ω2和ω4保持不变，ω1先不变，然后变大，最后趋于稳定不变，ω3先不变，然后变小，最后趋于稳定不变。从表5可以看出，不论属性权重完全未知还是部分已知，随着风险态度的变化，方案的排序不变，都是x3≻x2≻x1，最优方案均为方案三。这说明在本文例子中，根据上面的表格，我们可以发现方案整体排名结果不变，符合实际，这意味着该模型是稳定的。同时，根据文中模型和得出的数据可以知道决策者风险态度的不同对属性权重也有相应的影响，且随着风险态度的变化，属性权重是有趋势地变化的，这说明风险偏好对属性权重是有影响的。

6 结束语

本文在犹豫区间直觉语言型Z-Numbers(HIILZNs)的信息环境下，提出HIILZNs距离公式，排序值公式，熵公式以及风险偏好因子，在决策者有风险态度情况下建立排序值，熵和风险偏好因子的最优化决策模型，探究决策者不同风险偏好下权重的变化以及对方案排序的影响，对于实际生活中的金融投资决策以及风险投资等均有有效的应用。