基于MDADT的多变时滞切换正系统异步输出跟踪控制

刘 娟, 黄庆道

(1. 吉林大学 数学学院, 吉林 长春 130000; 2. 沈阳大学 师范学院, 辽宁 沈阳 110044)

近年来,由于切换系统[1-2]与正系统[3-4]的广泛应用与理论研究,切换正系统(SPSs)的稳定性分析与L1-增益性能分析呈快速发展趋势[5].另外,含有时滞的SPSs也被广泛研究[6-10].

另外,切换系统的跟踪控制也得到了广泛的关注.例如,文献[11]对不含时滞的SPSs输出跟踪控制进行了研究.文献[12]讨论了一类具有多时变时滞的切换非线性系统的输出跟踪控制问题.针对一类不确定切换非线性系统的输出跟踪控制问题,文献[13]给出了两种自适应控制方案.然而,上述结果主要是对无延迟的非正切换系统或SPSs进行跟踪控制.最近,文献[14]研究了带有时滞的SPSs的输出跟踪问题,利用ADT和多co-positive Lyapunov函数方法给出了与时滞无关的指数L1输出跟踪控制器设计.

值得指出的是,以上关于时滞SPSs的跟踪控制的研究中,仅仅研究了同步切换.文献[15]利用MDADT方法,研究了一类具有时变时滞的切换正线性系统(SPLS)的稳定性和异步L1控制问题.文献[16]考虑了切换正T-S模糊系统在时变时滞和异步切换下的指数稳定性和L1-增益分析问题.然而,在以上的工作[15-16]中,在处理Lyapunov函数的导数上界过程中,状态积分项被直接忽略,从而导致结果具有保守性.

针对以上问题,本文研究了具有多个变时滞的SPSs指数L1输出跟踪控制问题.①给出了基于时滞的状态反馈控制器,使系统的输出跟踪性能达到指定L1指标.当控制器与时滞无关时,给出了更易求解的判据[14];②利用MDADT方法和co-positive Lyapunov泛函方法得到新的时滞相关的指数稳定性判据;③与文献[15-16]比较,引入新的自由向量估计Lyapunov函数的导数,没有忽略任何项,得到新的不太保守的判据,扩大了最大时滞上界.

符号约定:A≻0(0)表示矩阵A的所有元素均是正的(负的);AB表示A-B0;Rn为n维实向量空间;Rn×n为n×n维实矩阵集;

其中,xl为向量x的第l个元素.

1 问题描述

考虑如下多时滞切换线性系统:

(1)

Ai,Bi,Ci,Di,Ei为适当维数的常矩阵.

假设2φ(θ)为定义在区间[-τ,0]上的连续函数,其中τ=max1≤l≤n{τl}.

定义1 对于任意切换信号σ(t)、 任意初始条件φ(θ)0,θ∈[-τ,0], 以及任意输入ω(t)0,u(t)0,t≥0, 如果系统(1)的相应轨迹满足x(t)0,z(t)0, 那么系统(1)被称为正系统.

证明 该引理可从文献[14]中的引理2直接推出.

为了讨论SPSs(1)的追踪行为,考虑如下正参考模型:

(2)

本文中, 笔者将设计如下形式的状态反馈控制器:

u(t)=K1σ(t - τs(t))x(t)+K2σ(t - τs(t))xr(t).

(3)

其中:τs(t):[0,+∞)→[0,τs]为切换时滞,满足τs

将控制器(3)带入系统(1),得到如下的闭环系统:

(4)

记

得到如下的增广切换系统:

(5)

其中,

记

得到

且控制器(3)可以改写为

u(t)=Kσ(t - τs(t))ξ(t).

(6)

定义3[17]对于任意的切换信号σ(t)及任意T≥t≥0,令Nσ i(T,t)为第i个子系统在区间[t,T]内被激活的切换次数,Tσ i(T,t)为第i个子系统在区间[t,T]内运行的总时间.如果存在正数N0i,τa i使得

则称σ(t)具有一个依赖于模型的平均驻留时间τa i.

定义4[14]如果存在常数α>0,γ>0,使得以下条件成立:

② 在零初始值条件下,即x(t)=0,t∈[-τ,0],xr(t)=0,

注1 在定义4中,γ代表系统的L1增益,式(7)中指数项的目的是限制e(t)的L1范数,使其最大不超过α.

2 主要结果

2.1 稳定性分析

其中,

那么系统(5)在任意满足

(17)

的切换信号σ(t)下是指数稳定的.

对于系统(5),考虑如下Lyapunov-Krasovskii函数

考虑到

(21)

于是,对于任意ζ∈Rn,式(22)成立.

那么,

于是利用条件(8)(9)(12)(13)得:

同理,利用条件(10)(11)(14)(15)得:

当t∈[tk,tk+τs(tk)),k∈N,

当t∈[tk -1+τs(tk -1)),k∈N时,

于是,

由不等式(25)(26)(27)可得

于是,系统(5)是指数稳定的.

注2 与文献[15-16]中的方法相比, 新的自由向量的引入使得判据的保守性更小. 当τ=0,ρ=0,n=1, 定理1即退化为文献[15]中的定理2.

2.2 L1增益分析

(33)

将不等式(34)两端同时积分得:

于是,与定理1的证明类似,

当t∈[tk,tk+τs(tk)),k∈N,

当t∈[tk-1+τs(tk -1)),k∈N时,

于是,

从而,

对不等式(38)两端从t=t0到∞进行积分,得

2.3 异步L1控制设计

那么,SPSs(1)在任意满足(17)与(16)的切换信号下具有指定的L1-增益输出跟踪指标γ.

当τs(t)=0时,由定理3可以得到SPSs(1)在同步切换下的输出跟踪控制设计.

注3 与文献[14]的定理3相比,ζ的引入使得推论1(n=1)中的不等式更易求解.

3 算 例

考虑文献[14]中的算例在切换时滞τs=1下的系统稳定性.

给定γ=1,τ=0.4,h=0.3.利用MATLAB求解定理3中的不等式,可以得到:

图1 输出跟踪误差曲线Fig.1 Error curve of output tracking

图2 异步切换信号Fig.2 Asynchronous switching signal

可以看出,此时文献[14]中的方法失效.分别利用文献[15]、文献[16]及本文中的方法求解,能得到表1中对应于不同αi,βi的最大允许时滞上界.

表1 系统对应于不同αi,βi的最大允许时滞上界

4 结 论

通过构造一类合适的Lyapunov函数研究了一类多变时滞切换正系统的输出跟踪控制问题.该Lyapunov函数并不需要在任何时候都减少.当控制器与子系统不匹配时,Lyapunov函数就会增加.在此基础上给出了增广系统指数稳定的充分条件及满足给定输出跟踪指标的系统稳定条件.最后设计了基于时滞的输出跟踪控制器,并通过数值仿真验证了该方法的可行性.