双圈图的Seidel无符号拉普拉斯能量

周后卿

(邵阳学院 理学院，湖南 邵阳，422000)

2017年，RAMANE H S等[13]介绍了Seidel 拉普拉斯矩阵的性质和Seidel拉普拉斯能量。定义图G的Seidel 拉普拉斯矩阵为SL(G)=DS(G)-S(G)，其中，DS(G)是一个对角矩阵，DS(G)=diag(n-1-2d1，n-1-2d2，，n-1-2dn)。

本文研究双圈图的Seidel无符号拉普拉斯能量问题。

1 几个引理

首先回顾一下图的邻接矩阵，拉普拉斯矩阵，Seidel矩阵的特征值之间的关系。

对于Seidel无符号拉普拉斯矩阵特征值，由代数学知识可知，矩阵的迹(trace)等于矩阵的特征值之和，即

(n-1)(n2-8m)+4Z1(G)。

若G是一个具有顶点n的简单连通图，其边数为n+1，则称G为双圈图。

下面给出几个引理。

引理1[13]设G=(V，E)是一个具有n个顶点，m条边的简单图，则

引理2[15]设Βn，k表示一类具有顶点n、悬挂点k的双圈图集合，若G∈Βn，k且0≤k≤n-5，则Z1(G)≤4n+k2+5k+12 。

2 主要结论

现在证明本文的几个结论。

定理1 设G是具有顶点n、悬挂点k的双圈图，且0≤k≤n-5，则

现在用一个例子来验证一下定理1的准确性。如图1所示，G是一个具有8个顶点、3个悬挂点的双圈图，这里，n=8，k=3，根据定理1计算 ，有ESL+(G)<36.441 7。借助于计算软件mathematica，可以直接求出双圈图G的Seidel无符号拉普拉斯矩阵SL+(G)的特征值为9.665 29，4，4，4，4，1.778 98，0，-7.444 28。再根据Seidel无符号拉普拉斯能量定义可求出其能量为ESL+(G)=26.331 829。显然有26.331 829<36.441 7，说明定理1成立。

证明 由于G是双圈图，所以，边数m=n+1。在引理3中，令bi=1，

因此，对于双圈图G的Seidel无符号拉普拉斯能量

同样以上述例子为例，验证定理2的准确性。这里，G的第一类Zagreb指标Z1(G)=68。

根据定理2计算有ESL+(G)≤44.069。显然26.331 829≤44.069，即定理2成立。

定理3 设G是具有顶点n的双圈图，若G的Seidel无符号拉普拉斯矩阵的Frobenius范数‖SL+(G)‖F已知。则G的Seidel无符号拉普拉斯能量满足下列不等式

证明 由Seidel无符号拉普拉斯能量定义可知，

因为G是双圈图，结合引理4，由上式可推出

从上述例子来看，定理1中的界比定理2中的要优，而定理2中的界比定理3中的更精确一些。