基于钉板的皮克定理探究教学

沈晓梦 叶德华 汤苗苗 方瑜 杨建辉

摘 要：探究教学的目的不仅仅是学生对于某一知识点的学习，其主要目的是学生掌握探究未知领域的方法。自主探究教学要求学生自主发现问题、提出猜想、设计实验方案、实验验证、汇报交流。探究中，学生真真切切地经历探究活动的全过程，积累数学活动经验，培养学生善于发现问题、分析问题、解决问题的能力。

关键词：探究教学; 皮克定理; 动手操作

中图分类号：G623.5             文献标识码：A     文章编号：1006-3315（2019）03-082-002

一、前言

《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确提出，教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。有效的数学教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者。学生学习应当是一个生动活泼、主动的和富有个性的过程。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、验证、推理、计算、证明等活动过程。[1]

自新课程改革以来，小学数学教学积极倡导自主、合作、探究的学习方式，然而从现实状况来看，课堂教学中虽然是学生合作探究，但是在合作探究中仍然以老师为主，即教师设计好探究活动，学生按照设计的要求、方法和过程进行动手操作。

《钉子板上的多边形》是苏教版五年级上册P108-109探索规律“钉子板上的多边形”的教学内容。本节课的教学目标是使学生自主探索、发现钉子板上所围成多边形的面积、边上钉子数与内部钉子数之间的数学关系，并尝试用字母等式表示关系;使学生经历探索数学关系的过程，体会用字母表示数学关系的简洁性，发展观察、类比、猜想、验证和归纳总结等等思维能力;使学生獲得成功探索规律的体验，树立学习数学的自信心，感受数学规律的奇妙，增强学习数学的积极性。

二、思考

基于以上认识，对于该堂课的探究教学有以下几点思考：

（一）学生在动手操作中自主发现问题

小学生抽象思维的发展正处于启蒙阶段，主要以形象思维为主，所以小学的探究式教学更加注重操作性。小学生对于数学规律、数学性质的认识，基本是通过直观模型及一系列动手操作过程来完成的。动手操作，让学生通过实际操作获得亲身体验，积累直接经验，强化学生在数学学习过程中的主体地位，发挥学生的积极性、主动性和创造性，从而自主地投入活动。除此之外，教学过程中提出问题是至关重要的一步。学生自己发现和提出问题是创新的基础，创新意识的培养应该从小做起。考察我国教育与西方发达国家的教育，大多数人认为一个重要的区别在于我国的教育重在教育学生“如何解决问题”，而忽视了教育学生“如何发现问题”。在《钉子板上的多边形》这堂课中，钉子板上多边形的面积和点之间可能存在联系这一问题需要教师循循善诱，引导学生发现。而不是直接给出问题，既限制了学生的思维，也给学生留下了为什么面积会与点数有关的疑问。

因此，《钉子板上的多边形》这节活动探究课我建议教师借助教学具钉子板来进行。

首先，每位同学在自己的钉子板上用皮筋围出不同的图形。接着，小组内进行讨论对比，比较图形间的差异。在四下《平移》的基础上，学生很容易地能够说出图形的形状与大小均不同。此处，需要教师进行适当的引导：大小在数学中应该用什么来表示;我们已经学过哪些方法来求出这些图形的大小;什么方法最简单;展示一个较复杂的图形，提问有没有更简单的方法。从而引出本节课的探究主题，引导学生自我思考，如果有更简单的计算方法，那么大小会与图形的什么有关呢？是周长还是点的个数或者其他因素？教师启发、鼓励学生发现问题后，要进行语言组织、提炼数学问题，根据研究价值、难度、复杂度，即是否适合现阶段学生研究，来引导学生进行问题的筛选。

（二）学生在对比中自主提出数学猜想

猜想教学能够引导学生在现有数学基础上积极探索，主动思考。通过数学猜想不但丰富了学生的数学理论，同时还能够解决数学理论自身矛盾与疑难问题。[2]在确定本节课的探究问题是钉子板上所围图形的面积与点的关系后，教师鼓励学生自主尝试，提出猜想。

钉子板上的图形千千万万，学生很容易想到应该先从简单情形（矩形、直角三角形等）入手。先画出一系列图形，对面积进行计数，对点数进行记录，并尝试从简单图形中找出规律。通过画图、分析数据，学生在类比归纳中寻找规律，自主提出猜想。其中，学生在对点进行计数时，可能会忽略点的类型有两种。因此，区分图形中点的类型是该探究活动的一大难点，教师可在学生汇报猜想时，进行适当的引导。

（三）学生在合作中设计实验开展探究

从自主探究要求看，学生自主设计实验是数学实验教学应倡导的核心理念，是引导学生探究学习的关键环节，是教学活动由“教”向“学”转变的重要手段。[3]另外，探究式教学鼓励在独立思考的基础上，以小组或团队的形式，通过与他人的交流、讨论，不断接受新知识、新思路，发现更多、更优化的解决问题的途径，从而提高自身知识和能力。[4]探究式教学注重学生自主学习能力的培养，弱化了教师在教学过程中的主导作用。

学生在探究过程中根据所提猜想，共同设计实验计划，包括实验步骤、所需测量数据和数据处理方式等。以合作协同的方式解决问题，既提高了学生的创新能力，又培养了学生的合作参与意识。本探究活动还可以锻炼小学生的组织分工能力，包括画图者、数数者、记录者，最后共同进行验证。考虑到小学生的活泼好动，合作探究过程的课堂秩序需要教师不断维护。

（四）归纳总结，呈现探究结果

分析总结是对实验过程中所测出的数据进行全面分析，并从数据中发现数学规律，从而找到探究数学规律的基本思路。[3]学生对实验数据进行独立的分析总结，有利于提高数学素养，提升数学探究能力，培养数学归纳能力。

学生通过数数、计算、小组合作的方式探索发现多边形的面积与钉子数之间的关系，验证多边形内钉子数是1枚、2枚、3枚……的情况，最后得出一般结论。在归纳总结的过程中，老师需要引导学生尝试着用字母、等式表示数学关系，数学问题回归于数学公式，使学生体会用字母表示数学关系的简洁性。

（五）小組汇报交流

小组汇报不仅仅是结论的汇报，还有实验步骤、试验方法、组员工作安排的汇报。在不同组的汇报与对比中，碰撞出学生思维的火花，总结该探究活动最好的实验设计，比如该实验数据记录与呈现较好的方式是列表法，较好的实验操作步骤利用的是变量控制法。与此同时，汇报交流中如果发现了问题，那么学生又将回到提出猜想的过程，进行新一轮的研究，使学生经历科学研究的过程，体会到科学探究循环往复、螺旋式上升的特点。

（六）学生在应用中体会数学价值

一方面，这个公式非常好用，尤其是在格子图上画的是非常不规则的多边形的时候。通过对复杂的趣味多边形（如图2）进行分割求面积与应用皮克定理求面积，学生可以在实例对比中感受到数学规律的奇妙，体会到数学学习的价值之大，从而增强学习数学的积极性。另一方面，学生能够认识到现实生活中蕴含着大量与数量和图形有关的问题，这些问题均可以抽象成数学问题，用数学的方法予以解决。

三、总结

综上，整节课不是老师讲授知识，而是学生自主学习，合作探索规律。学生真真切切地经历了发现问题、提出猜想、实验验证、归纳总结的全过程，积累了数学活动经验，培养了学生善于发现问题、分析问题、解决问题的能力。本节探究教学的目的并不仅仅是学生对于皮克公式这一知识点的学习，主要目的是使学生掌握探究未知领域的方法。而探究教学中最重中之重的是教师要熬住不透露结论，做一个引导者。同时，在探究活动中允许、鼓励甚至表扬学生犯错，科学研究本就是在犯错中汲取营养，反复循环的过程。在这个过程中学生得以经历充分的实践操作、激烈的交流讨论，积累感性认识，碰撞出思维的火花。

本文系2017年浙江省大学生科技创新项目：小学数学教学具研制（2017R429011）的研究成果。

参考文献：

[1]义务教育数学课程标准（2011年版）[S]北京：北京师范大学出版社出版，2012：3.3.

[2]董巧丽.猜想教学在小学数学教学的实践探究[J]教育现代化，2018，5（20）：313-315

[3]杨娟.从“教动手”到“学探究”——小学数学实验教学的价值追求及实施策略[J]江苏教育研究，2018（Z1）：99-102

[4]张胤，胡菲菲.回归实践、回归问题、回归主体——论探究式教学的本质、特征及实施模式[J]江苏高教，2013（04）：67-70