例谈数形结合在小学数学中的运用

冯秀芝

摘 要：数学教学中有多种多样的数学思想，其中数形结合思想是数学中最重要、最基本的思想方法之一。数形结合是连接“数”与“形”的“桥”，它是一种解题方法，也是一种重要的数学思想。以形助数、以数辅形、数形互译，可以使许多数学问题简易化。由形到数、由数到形、数形互助、相辅相成，有助于把握概念的本质，有助于化解学习难点，有助于理解数量关系，有助于探索数学规律。

关键词：数形结合;小学数学;教学策略

《数学课程标准》指出：数学是研究数量关系和空间形式的学科。数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。”数形结合思想是数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来解决问题的思想。可见，数与形是不分家的。如果能将数形结合思想作为学生的数学素养之一，在教学中运用恰当，坚持长期渗透，那定能让学生受益终身。

数学是一门严谨、抽象的学科，而儿童是以直观、形象思维为主的，两者之间就形成了矛盾。恰好数形结合就能很好地缓解这一矛盾。在小学阶段，数形结合通常是指通过数形之间的互相转化，把抽象的数量关系通过抽象，转化为几何图形，借助直观表象发现数量之间的内在联系，解决数学问题。

一、数形结合，还原数学本质

数的产生是源于对具体物体的计数。从数的概念的建立到数的运算，处处蕴涵着数形结合的思想。在学习整数、分数、小数及其加、减、乘、除法的运算时，教材都是借助直观的几何图形来帮助学生理解抽象的概念。生动形象的图形使得抽象的知识变得趣味化、直观化，让学生在学习时不再感到枯燥乏味，反而能够使学生从中获得有趣的情感体验，让学生主动去探索，把握数学本质。（附教学片断：二年级（上）：解决问题）

师出示例7中的第一个问题：

（1）有4排桌子，每排5张，一共有多少张？

师：仔细读题，说说你都知道了什么？

生1：有4排桌子，每排都有5张。

生2：一排有5张桌子，像这样一共有4排。

师出示例7中的第二个问题：

（2）有2排桌子，一排5張，另一排4张，一共有多少张？

师：读了第（2）题，你知道了什么？

生1：第一排有5张桌子，第二排有4张桌子，一共有多少张桌子。

生2：有两排，一排5张，一排4张。

师：比一比，这两道题有什么相同的地方？

生1：都是求桌子一共有多少张。

生2：都有4张桌子和5张桌子。

师：那解决这两个问题该怎样列式呢？

学生自主尝试列式后汇报：（1）5×4=20（张） （2）5+4=9（张）

师：为什么这样列式？跟大家分享一下你的想法。

生：第一题说每排5张，有4排，就是把4个5都加起来，可以用乘法5×4=20;第二题是一排5张，另一排4张，一共就只有9张了，所以是5+4=9。

师：你们听懂了吗？谁还能像他这样来说一说。

生反复表达。（至此，用文字表述，有些学生想得清楚，表达得也完整;有些学生知道，但是说不清楚;还有些学生不太明白，更不会表达。）

师：我们有些小朋友好像还不太明白，谁能帮帮他们。谁有好办法，让他们一下子就明白了？

生1：让他排一下桌子就知道了。

生2：太麻烦了，摆一下小方块就好了。

生3：也可以在纸上画画看。

师：画画这办法不错，简单易操作，我们可以用简单的图形表示桌子，动笔画一下吧。

几分钟后展示学生作品。

至此，每个上来展示的学生都能比较完整地表述自己是怎么画的，为什么可以这样列式计算。原来茫然的学生默默点头表示明白了，也能说出自己对题目的理解，以及为什么要这样列式计算。

在这个案例中，学生的难点在于如何提炼题目给出的数学信息，以及为什么4个5或5个4要用乘法计算，4和5的和要用加法计算。学生通过从数到形，提炼有用的数学信息，理清题意，再从行到数，验证猜想，提炼概括出思想和方法。通过数形结合的方式，还原了问题的本质。

二、数形互助，化难为易

数形结合这个过程实际上就是把题目中的数量关系转化成图形，再根据对图形的观察、分析，逐步转化成算式，实现问题的解决。

例1：一桶果汁，第一次倒出■千克，第二次倒出■千克，两次正好倒出这桶果汁的■，这桶果汁共有多少千克？

在解决这一问题时，全班一半以上的学生都错了。分析原因有二：一是学生不太理解分数表示数量，二是题意梳理不清，学生找不到相对应的数量和分率。

图1是一位同学的作业，笔者请这位学生上台交流了自己的理解和想法后，其他学生豁然开朗。有的还小声说：“早知道，我也画一下线段图嘞。”订正的时候要求在旁边都画了线段图，这样一来，学生就能找到一一对应的数量关系了。把抽象的文字转化成直观的图像，更易于学生理解题目，便于分析其中的数量关系。有时候借助形来解释，会有事半功倍的效果。

例2：小林、小强、小芳、小兵和小刚5人进行象棋比赛，每2人之间都要下一盘。小林已经下了4盘，小强下了3盘，小芳下了2盘，小兵下了1盘。请问：小刚一共下了几盘？分别和谁下的？

这个问题光看文字是很难分析出来的，因此教材也通过图片（如图2）的形式呈现出来，旨在提醒学生可以画图连线，讲究策略方法，使得题意更加清楚、明确，从而高效地解决问题。

例3：计算■+■+■+■+■+■

一看到这个算式，学生的第一反应就是先通分再计算。在通分的过程中有学生发现了这些数的规律，但是难以总结出来。通过画图，就能明确地表达意思了。

借助图3学生一眼就能看出■+■+■+■+■+■=1-■=■。通过这样的直观分析，便于学生总结方法。从直观到抽象需要一个台阶，一个过程。

在教学实践中，这样数形结合化难为易的例子不胜枚举。然而，需要强调的是在利用数形结合解决难题的过程中需注意：作图要准确无误，避免潦草作图而导致解题偏差;注意转化的过程要一一对应，即必须是等量的;注意观察、思考合理性，不能任意增减已知条件等。总之要客观地反映问题本身。

三、数形互译，发展思维

数学学习的过程不仅仅是接受知识、积累知识的过程，还是一个探索知识、创造知识的过程。数形结合的思维方法是儿童构建数学模型的基本方法，在数学教学中，让学生学会构建模型来直观描述数学问题，这样不仅可以发展学生的形象思维能力，还能通过数形结合达到锻炼思维，激发创造性的效果。

例4：用一个杯子向一个空瓶里倒水。如果倒进3杯水，连瓶共重440克。如果倒进5杯水，连瓶共重600克。想一想：一杯水和一个空瓶各重多少？

该题最早出现是在三年级，面对该问题，多数学生表示无从下手。他们来来回回读了两三遍题目，始终不知道找出其中的差量。图4就能看出差量了。

用大长方形表示空瓶子，用小长方形表示倒进了几杯水，左右一对比，相差了两杯水，相差了160g。学生可以借助数形结合将文字信息与实际问题整合，把数用形表示出来，由形抽象出数和数量关系。既培养了学生的能力，又促进了学生思维的发展。

总之，抽象的思维要有形象思维的支持，“数”的思考、“形”的创设要有机联系起来。在小学数学教学中，数形结合能给学生提供丰富的形象素材，结合学生的认知特点、认知规律，对其进行概括、抽象、提炼、再创造。使得数学学习不再枯燥、乏味。由形到数、由数到形、数形互助、相辅相成，有助于把握概念的本质，有助于化解学习难点，有助于理解数量关系，有助于探索数学规律。要不失时机地为学生提供机会，让学生在数与形的世界里尽情畅玩，不断提高数学能力。