符号意识的内涵、偏颇及教学要领

王强国

（宝应县实验小学，江苏 扬州 225800）

数学符号是数学抽象性特质的最重要的表征。无法获得符号所蕴含的丰富的数学意义，成为学生对数学学科产生“畏惧”心理的主要原因之一。帮助学生感知、发现、领悟数学符号的意义，提升对符号意义的获取能力，是数学教学无法回避的课题。实践中，一线教者由于认知不力，时常出现偏颇，效率低下，同时也影响着学生与数学的情感，需要引起重视，深入解读，理性反思，探寻更为有效的路径，以更好地落实课程目标。

一、“符号意识”的内涵解读

（一）“课标”的诠释

教育部《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》认为：“符号感主要表现在：能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示；理解符号所代表的数量关系和变化规律；会进行符号间的转换；能选择适当的程序和方法解决用符号所表达的问题。”[1]

教育部《义务教育数学课程标准（2011年版）》修改为：“符号意识主要是指能够理解并运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。”[2]

“课标（实验稿）”主要从行为表现的角度陈述“符号感”，“课标（2011年版）”的解释还突出了符号意识的对象与功能。两者都采用描述性的定义方式，便于一线教师理解与践行。从“符号感”到“符号意识”，不仅仅是词的变化，更是认知的更新。“符号感”更多地表现为对能力的要求，“符号意识”突出了数学符号的本质内涵——“使用符号可以进行运算、推理，得到的结果具有一般性”。另一方面，数学符号对于学生而言主要的不是潜意识、直觉或感觉，而是一种主动地使用符号的心理倾向[3]。“课标（2011年版）”的表述中使用的“抽象”“表示”“理解”“选择”等词都是表示自觉思维活动的词语，因而更准确。值得注意的是，“课标（2011年版）”增加了“符号表示数”，可以认为它既指用字母表示数，又包括用阿拉伯数字符号表示数，按照这样的解读，小学数学对“符号意识”的培养从一年级教学第一个数字1 就已经开始。综上可见，修改后的表现性刻画，内涵更全面，更贴近小学数学教学的实际。

（二）相关的解读

在国外，匈菲尔德等人认为：“符号意识包括能够给符号、表达式和公式赋予意义，并感受到它们的结构。”[4]阿凯菲在将符号意识与数学意识类比的基础上，给出符号意识的一些基本特征，“其中包括：建立公式的技能，确认等价表达式的能力，以及怎样通过这些公式和表达式去表示数学的意义。同时，他还指出，符号意识是学习代数的必要条件。”[5]上述两位学者分别从能否理解符号意义和用符号表示数学对象的角度对符号意识进行了描述，细致入微。费尔（Fey，1990）认为符号意识是一种非正式技能，包括：“认识与鉴别能力、估算能力、验算与预告能力、选择能力。”[6]相比于匈菲尔德和阿凯菲，费尔提出的见解更加全面，对一线教师进一步理解符号意识具有较高的参考价值。佐恩则把符号意识看作“从符号中抽象出数学意义和结构，用符号有效地表达数学意义和结构，以及通过符号的操作发现新的数学意义和结构的一般化能力”[7]。这一解释更为具体，对一线教师从实践的角度来培养学生的符号意识具有指导意义。

在国内，朱立明和马云鹏认为，所谓“数学符号意识”，即学习者在思维（具体表现为数学思维）的引导下，对数学知识与数学符号之间抽象对应关系的一种积极主动的心理认知活动（内隐性），在通过数学符号的感知与理解、运算与推理、交流与表达等数学思考方式解决数学问题的过程中所表现出来的与数学符号相关的一种数学核心素养（外显性）[8]。鲍建生和周超认为符号意识应包括以下几个层面：“运用符号去表示数学的意义和结构；能够理解符号所表示的意义和结构；对符号进行演算（包括等价变形）；运用符号进行思维，从而发现新的数学意义和结构。”[9]重庆师范大学黄翔教授指出符号意识的要求体现在四个维度为“符号理解、符号操作、符号表达、符号思考”[10]。国内学者基于课标的解读，给出自己的观点，为一线教师落实“符号意识”的实践提供了思路，有助于课程相关目标的落实。

二、“符号意识”的偏颇略述

罗素说过：“数学是什么？数学就是符号加逻辑。”在数学教学中，符号如影随形，虽没有“符号意识”一词，一线教师对其背后的本质，是有所把握的。实践中，不乏有益的尝试，但由于认知的不足、理解不透，一些偏颇的行为时常遇见。

1.生活符号等同数学符号

符号在日常生活中广泛使用，学生进入小学之前，已经具备了一定的符号意识，小学教学不能只是简单地重复学生已有的认知过程，而应该以此为起点培养学生数学的符号意识。课堂中，针对“符号意识”的培养目标，许多教者都习惯于将生活中的各种符号引进课堂，花费大量时间与精力予以解释。如“用字母表示数”教学时，引进肯德基的符号、麦当劳的符号、汽车标志符号以及交通信号符号等，让学生一一辨识，因课堂气氛活跃，被一度热捧，冷静思考，不禁生疑，这是数学课吗？事实上，生活中的一般符号和数学符号部分功能相同，如表述与理解、交流与传达，以及简化思维等。但数学符号有其特殊之处：一方面，数学符号是精确的、严谨的。生活符号的多变性，对数学来说是可怕的，数学符号许多年不变是正常的，这也体现出数学符号的通用性。另一方面，数学符号是可以参与运算的。无论是算术运算还是代数运算，亦或微积分运算和逻辑运算，几乎所有的运算都表现为符号的推演。正是数学符号的这些特点，使数学思维成为可视的符号操作，简洁且可忽视符号背后的东西。由生活符号引入，激活学生相关的认知经验是可取的，如果热衷流行元素，详略不分，将非数学的符号作为教学的重点，不加区别，显然不妥。

2.规律表征视为符号意识

在“符号意识”培养过程中，教者自主开发课程，将之渗透到相关内容的教学中，形成教学的合力，这是有益的，值得倡导的。当界定为培养了学生的“符号意识”的目标追求时，需要慎重考量。如图1，在学生观察思考的基础上，教者引导学生用自己喜欢的方式表示出发现的规律。

图1

以“盆花”的规律表示为例，学生想到了以下方式：

情境中，学生个性化的表示方式，体现着“一一对应”的思想，也有助于规律的发现与表达，但如果上升为培养学生的“符号意识”就有些牵强了。因为，这些表现方式都只是一种记号，所反映出的符号感与生活中的符号感类似。这种符号感在音乐课中也有，如学生用标点符号、长短线等表示节奏。充分发掘教学内容中蕴含的“符号意识”的素材，是行之有效的教学对策，但如果硬贴标签，就有偏颇之嫌。

3.自创符号替代现有符号

在“符号意识”的培养中，实时适度地安排学生自创符号，这对学生数学学习兴趣的激发、创新能力的培养有裨益。教学中，教者在学生自创之后，满足于学生的创造成果，往往忽视对现有符号意蕴的揭示。如“圆周率”的教学，在学生操作实验的基础上，教者介绍圆周率用字母π 来表示，有学生问：“可以用字母a 表示吗？”教者答：“你想用这个字母表示，理论上可以。”更多学生举手：“老师，我想用字母b 表示”“我想用三角形来表示”……教者始料未及，只好草草收场：“数学上，我们用字母π表示”。类似这样的情形，时有发生，学生畅所欲言，教者“万问归宗”：“数学上，我们通常用……来表示”。事实上，数学符号，犹如象形文字，不仅内涵深刻，且有不可低估的育人价值及教学法功能。以案例中的圆周率“π”为例，公元480年左右，数学家祖冲之将之精确到小数点后7 位，其密值比西方早1000多年，让学生感叹祖先的智慧；公元263年，中国数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”包含了求极限的思想，让学生感受方法的妙绝……这些内涵的揭示，会使学生透过符号的表象，产生敬畏之心，避免形式上的纠结。

三、“符号意识”的教学要领

（一）彰显符号自身的优美性

1.简洁美

符号都是简洁的，简洁的符号便于识别，容易记忆，数学符号用简洁的语言表达出丰富的数学思想，也使得数学符号系统与日常的语言系统区别开来，是一种十分重要的数学美。符号的简洁美主要表现在三个方面：其一是研究对象的表征。如“简单的搭配”问题，出示“小明有两件上衣和三条裤子，他有几种不同的搭配方法？”学生在表征时，用数学的符号（三角形、圆、正方形等）显然比画实物图更方便。同时，在用数学符号表征的过程中，也有利于学生抽象出算法的模型。其二是探究结果的表述。如“加法的结合律”，语言表述为“三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变”。符号表示为“（a+b）+c=a+（b+c）”，简洁明了，便于理解与运用。其三是解题思路的明晰。如“列方程解应用题”，用符号表示未知数，由于未知数的代入，使得学生可以从“理解数量关系（算术法解答）”转变为“寻找等量关系（列方程解答）”，思维难度降低的同时，促进学生解题思路的明晰。

2.意象美

数学及其推理都是抽象的（且比逻辑之抽象更为高级），而符号是意象的。这种意象性使得数学符号和文学语言一样，呈现出美的意境，表达人们对美的向往与追求。符号的意象美，可以从两个角度来彰显：一是由外及内。比如“圆的认识”，教学时，在生活原型抽象出圆之后，可以借助圆规在黑板上画一个圆，引导学生鉴赏圆之美，外形很饱满，没有棱角，在探究中进一步引领学生感受体会“圆之饱满”的内在逻辑，即：在同一个圆里，所有的直径都相等，圆心到圆上的任意一点的距离都一样，直径等于半径的2倍等。二是由内至外。如数字符号“外形的美感不显现，内在美却很丰富。“表示把“单位1”平均分成两份，这样的一份就是“也就是生活中所说的一半，这里不管是一个桃，还是一箱桃，还是一车桃，或是半个桃等，都可以表示出它的“

3.文化美

“数学课程标准（2011年版）”指出：“数学是人类文化的重要组成部分。”符号是数学文化的载体之一。在小学数学的教材内容中，符号的文化美至少体现在以下两个层面：一是精神美。如“可能性”教学中，将一枚硬币抛向空中后落下来，可能是正面朝上，也可能是反面朝上，任何一面朝上的可能性都是这个结论很容易被接受被认可，但是许多的科学家却对此进行多次的反复试验，德·摩根抛币次数4092次，浦丰抛币4040次，费勒抛币10 000次，皮尔逊抛币24 000 次，罗曼诺夫斯基抛币80 640 次……这就是数学的求真务实的态度与理性精神。二是智慧美。如前文中提到的圆周率“π”，刘徽以极限思想为指导，用“割圆术”求圆周率，通过对圆内接正多边形的面积的计算，并由此而求得了圆周率的两个近似数值：3.14和3.1416。如此巧妙的方法，既大胆创新，又严密论证，也为圆周率的计算指出了一条科学的道路。

（二）突出符号理解的过程性

1.低起点，丰富体验

符号意识的形成是一个不断体会、不断累积、不断重建的过程，不可能一蹴而就。虽然学生在幼儿园时期有一定用符号表示事物的经验，生活中符号随处可见，但并不能表明学生已经具有符号的意识。在教学中，我们立足学生已有的知识经验，遵循学生的认知规律，采用“低起点、稳扎根”的方式，丰富学生的体验。要正视学生对“情境”的依赖。要允许学生将符号与具体的情境联系起来。如“几和第几”的教学，教材中以小朋友排队买票的情境介入，这是学生熟悉的，便于理解。但在教学中，我们会发现一些学生认为“第几”就是买票排队时从前向后排列的位置，换做几本书，让学生从一定的方向（尤其逆向）指出第几本，有一定困难。事实上，对于小学生而言，尤其是接触符号的初期，借助情境理解符号的意义是正常的，符合学生的认知规律。随着年级的递增，学生对符号情境意义的丰富，再理解其外延就简单多了。

2.慢进程，理解内涵

对数学符号所蕴含的意义的理解，是“符号意识”的形成基础。教学中，应当“慢进程”，一方面，符号意义的获取需要一定的抽象概括能力，小学生抽象思维的发展，有一个过程；另一方面，符号内涵的建构是一个逐步丰富、完善的过程。“慢”不是简单的过程拖沓，而是对认知过程的细化与深化。如“用字母表示数”教学。可以做如下分解：第一步，从“像”到“快。”教者让学生快速地画一只小鸟，学生不约而同画出简笔画的鸟。教者小结：“（画的时候）把最简单的东西给它拿出来，就变成了一个符号一样的东西”。第二步，从“清晰”走向“模糊”。快速地画出教师的包里一样东西，有学生画手机、皮夹、笔等简笔画，有学生则画出一个圆圈。教者追问：“画手机和画圆圈有什么不同？”引领学生感知符号可以表示不确定的物体。第三步，从“物”到“数”。出示一个黑袋子，让学生思考袋中球的个数怎样表示。学生想到“？”“△”等。教者顺势引导：“数学上我们可以用a、b、c 等字母表示”，并追问：“这里用来表示球的个数的字母可以表示哪些数？”明确字母可以表示数且可以表示不确定的数。第四步，从“数”到“关系”。再出示一个袋子（红色）：“红袋里的球比蓝袋里的球多2个，怎样表示呢？”学生联系前面的经验，得出红袋里有（a+2）个球。进一步讨论得出：a+2 既可以表示红袋里球的个数，又可以表示红袋与蓝袋中球的数量关系。

3.重转换，沟通联系

数学符号是数学存在的具体化身。“转换”是符号教学中必不可少的环节，是促进学生理解、沟通数学与生活联系的纽带。这里的“转换”主要包括三个层面：一是“符号”系统的内部转换。数学符号有多种分类，常见的按照符号的用处分为：对象符号（如数字符号、圆周率等）、运算符号、关系符号、结合符号（如小括号、中括号）、性质符号（如正号、负号）等[11]。“符号”系统的内部转换主要指同一类型的符号间的转换，如运算符号“+”与“×”，“3×2”既可以表示两个3相加，又可以表示3个2相加等。二是自然语言与符号语言的转换。其一是将自然语言转换为数学符号语言。如“一辆汽车每小时行驶80千米”，数学符号语言可表述为“80 千米/时”等。其二是将数学符号语言译为自然语言。即让学生用自己的话语描述符号所表示的意思，个性化的解读与认知，往往也标志着学生对某一符号的通彻理解。三是思维方式的转换。小学数学解题中，主要指算术思维与代数思维，算术法的重点是理解数量关系，代数法关键是寻找等量关系。两种思维方式各有优势，相对而言，寻找等量关系简单一些。在教学中，两种思维方式常常可以并用，如计算15-7，学生可以用“破十法”，也可以用“想加算减”的方法思考7+（）=15 等。教者应该予以充分的把握，为学生后续的符号应用的技能与意识的培养奠定基础。

（三）渗透符号背后的思想性

1.变元思想

变元思想是根据小学生的年龄特点和知识水平，采取不同的形式进行渗透，旨在让学生逐步了解变元的思想[12]。以苏教版小学数学教科书为例，在第一册第22 页的数的大小比较中就有“□”的出现：4＞□，2＜□；第68 页“（）”出现在等式中：8+（）=10，（）+6=10，这里用“□”和“（）”代替变元符号“x”，让学生在里面填入合适的数，使式子成立。表面看，这些题目就是要求小学生在其中填进一个合适的数，身为教师应当明白，如果将“□”换成“x”，4＞□等就成为不等式，如果将“（）”换成“x”，8+（）=10 等就是一元一次方程，并且“x”都有一定的取值范围，这就是变元思想。教学中，可以采用“瞻前顾后”的方式给予强化，比如在教学“用字母表示数”时，让学生回顾低年级学习的填括号，在教学“方程”时，引领学生思考未知数在以前学习中的运用等，这样不仅有利于学生认知结构的重组，也有利于学生深刻感知变元思想。

2.代数思想

代数思想，就是用字母来代替具体数值进行思考的思维形式。具体的数值刻画的是某一种情况，而用字母表示数之后，就可以表示一类情况，从而实现从特殊到一般，从具体到抽象的跨越。“数学课程标准（2011年版）”中第二学段内容中，明确要求学生能“在具体情境中会用字母表示数，结合简单的情境，了解等量关系，并能用字母表示”。从研究一个个特定的数到用字母表示一般的数，是学生认识上的—次飞跃。小学阶段，“用字母表示数”是学习数学符号的重要一步。符号既可以用来表示一类事物，也可以表示两类事物之间的关系，同时符号也是表示一类我们要研究的事物的方法。一线教师通常会关注前两种功能，忽视符号所具有的方法论的价值。在实践中，可以通过符号表示的需求性的体会来感悟。一是表达的需求。如“用数对确定位置”，当学生用生活经验表示第几排第几列时，会发现同一位置有多种表述方式，从而引出数对。二是思考的需求。符号的引入，有助于压缩思考的过程，提高学习的效率。如长方形面积公式用字母表示为：S=ab，当学生将这三个字母看作数时，容易思考得出这个公式的变式，即由S=ab得出：a=S÷b，b=S÷a。

3.方程思想

在小学高年级安排了方程以及列方程解应用题的内容，用方程的方法解决实际问题，符号化思想蕴含在解法之中，主要体现在如下三个方面：（1）代数假设，用字母代替未知数，与已知数平等地参与运算。（2）代数翻译。把题中自然语言表述的已知条件，译成用符号化语言表述的方程。（3）解代数方程。把字母看成已知数，并进行四则运算，进而达到求解的目的[13]。列方程解应用题的思想需要上述用字母表示数的思想的支撑，更需要我们在教学中关注细节，引领学生感悟方程的魅力，在方法的自主运用中感知方程思想。值得注意的是，实践中，方程解题时较大的书写量与课本习题的较低难度值往往使得学生的方程意识淡薄，出现“平时用不到，用时想不到”的状况。因此，一方面要精选习题让学生感知方程解法的优势，在学生熟练掌握方法与步骤后，可以适当安排一些数量关系更为复杂的习题让学生解答；另一方面，要教给建立等量关系的技巧，如抓关键词、抓关键句、抓不变量等，教给学生相关技巧，提升正确列方程的能力。

综上所述，符号意识的培养，是一个循序渐进、逐步提升的过程，发展学生的“符号意识”是在培养和发展更高层次、更高水准的数学素养。深刻地认知、智慧地实践，必将促进学生数学学科素养的提升。▲