建构逻辑连贯的学习拓展数学思维的深度

摘 要：受教学研讨活动启发，仔细解读教材编写意图，建构逻辑连贯的学习过程，使学生在探究勾股定理与图形面积的关系中，学会有深度的数学思考。

关键词：勾股定理;图形面积关系;逻辑连贯;数学思维

勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，要把它作为一粒“知识种子”去种植，去启迪学生的智慧，要发掘它的人文历史，理顺它与图形面积的关系。笔者为学生搭建前后一致、逻辑连贯的学习过程，使学生在掌握勾股定理与图形面积关系的过程中学会思考，现整理成文与读者分享。

一、 研究缘起

笔者有幸参与一次教学研讨盛会，深受展示课的设计理念和课堂实践的启发，盛会之后从整体上对《勾股定理与图形面积关系的拓展》进行设计和实践，以它为知识“源”进行再生长。

（一） 亮点呈现

李老师所授的《勾股定理与图形面积关系的拓展》，采用“自主探究、合作交流”的教学模式，从注水法实验展示，到以长三角南京、上海和杭州为顶点构作三角形的形状判断，从借助教材内容剪影回顾到张景中院士的无字证明，从神奇勾股树欣赏到勾股定理与图形面积关系的拓展，行云流水，一线展开。立足教材起点，从熟悉的基本图形为切入点，在学生最近发展区里提供一个有探究价值的问题，在探究中点燃学生的思维火花，注重知识、思想的自然生长。

（二） 课堂评价

李老师不管从设计理念，课堂组织，调控驾驭，数学理解，可圈可点之处很多，但总体上学生是被老师牵着鼻子前行，没有离开老师精心预设的轨道。对《原本》第六卷命题31进行深入学习，随着时间的推移，学生对命题学习的内容早晚会流失。而教学不仅仅要对事实和技能学习，还有必要使学生揭示隐藏在事实背后的发生发展的历程，挖掘隐含其中的数学精神、思想和方法等“缄默性知识”。

二、 从逻辑连贯的视角对教学进行设计

《大学》有云：“物有本末，事有始终，知所先后，几近道矣！”把握教学内容的前后连贯性，帮助学生将零散知识网络化，促进数学的认识和理解，生长出高阶思维的“翅膀”。

（一） 勾股定理为何如此招人“青睐”？

学生已经学习勾股定理，明白它是直角三角形三边之间的关系，是最著名的定理之一，为什么是最著名的？它在图形研究、生产实际中有广泛应用，“广泛”体现在那些地方？赵爽弦图为什么能作为在北京召开的第24届国际数学家大会的会标？为什么有那么多名人去研究勾股定理，对它如此的痴迷？在教学中老师对它为什么如此重视？从课本中获得一定的认识，但并不是所有的学生会产生上面的质疑和反省。

（二） 几种版本教材编者都安排“阅读材料”有何用意？

综观几种不同版本的教材，1. 人教版从毕达哥拉斯对地板花纹的观察、思考，在格点中计算等腰直角三角形三边向外作正方形，计算正方形的面积，得到三边关系，然后从特殊到一般三角形的思考，最后用赵爽弦图证明。北师大版通过画图、测量、数格子、计算等方式得出勾股定理，再对大正方形割补来证明。浙教版从四个全等的直角三角形剪拼引出勾股定理，然后用面积进行证明。编者的意图大同小异，为什么？2. 人教版在阅读材料中安排勾股定理多种证法，北師大版在课后的“数学思考”中编排直角三角形三边上半圆面积之间的关系。浙教版在阅读材料中介绍勾股定理与面积拓展，以及月牙定理。教材受篇幅限制，不能面面俱到，安排这些阅读材料有什么用意？想让学生认识勾股定理从人类生活实际测量面积中来，再回到“形态各异”的图形面积应用中去，不仅要从思想、方法角度，还要从文化的角度欣赏勾股定理的全貌和魅力，向他们昭示数学是人类文化的重要组成部分。

《易经》云：“取法乎上，仅得其中;取法乎中，仅得其下。”以学生已有的勾股定理知识为出发点，挖掘知识发展的起源，使知识、思想和文化互相贯通。

1. 确定预期的教学结果

（1）了解勾股定理历史文化，认识勾股定理来源和流向。

（2）探究《原本》第六卷命题31对勾股定理进行面积拓展。

（3）绘制勾股定理的思维导图，揭示勾股定理与图形面积之间的关系。

2. 确定合适的评估证据

（1）以任务驱动形式，利用网络或书籍课前查阅、收集勾股定理的历史文化知识，并在课堂上请学生对材料进行解释、阐明、应用、洞察等，体会勾股文化的博大精深。

（2）用动手操作、独立思考、合作交流和逻辑推理等学习方式，探究《原本》第六卷命题31。

（3）师生一起对所收集的材料进行探讨，并绘制思维导图，理顺勾股定理的源与流。

三、 基于逻辑连贯的教学实践

查阅环节：课前请学生用网络和书籍，查阅、收集勾股定理有关历史文献，备注文献的来源，遇到疑惑查资料解惑，也可以和身边的人交流释疑，并整理成文。（提示：可以从勾股定理来源、命名、证法、推广和应用等方面收集。）

展示环节：课上请学生先在本小组内交流自己收集的文献，然后推荐代表展示自己小组内的研究成果，组员协同完成。最后师生对展示成果进行分析、归纳、综合和概括，对学生存在疑问的地方集体探讨。

师：我们已经知道“勾股定理”是世界上最伟大的发现之一，国内外很多人对勾股定理一直保持着极高的热情。请你们把课前收集的成果按来源、命名、证法、推广和应用五方面在小组内交流展示，并说明来源。

生1：我们是从命名上收集的，来源于网络。勾股定理是中文名，在中国古代人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”，并有“勾三股四玄五”的简单说法，据说在《周脾算经》最早由商朝时期的商高提出，又名为“商高定理”。在西方最早提出并证明此定理为公元前6世纪古希腊的著名数学家毕达哥拉斯，世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯定理”。为庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，这个定理又叫做“百牛定理”。

生2：我们从勾股定理的证法上去收集的，来源于书本和网络。三国时期赵爽为证明勾股定理作“勾股圆方图”，即“弦图”，如图1，前面我们新课中探究过，就不再啰唆。2002年第24届国际数学家大会在北京召开，中国邮政发行一枚邮资明信片，邮资图，如图2就是这次大会的会标中国古代证明勾股定理的赵爽弦图。

生3：我们组推荐的是古代数学家刘徽用拼出的青朱出入图，如图3来证明勾股定理，其大意为：一个任意直角三角形，以勾宽作红色正方形即朱方，以股长作青色正方形即青方。将朱方、青方两个正方形对齐底边排列，再割补——以盈补虚，分割线内不动，线外则“各从其类”，以合成弦的正方形即弦方，弦方开方即为弦长。亲爱的同学们，你会证明吗？钻研它我没有少花时间！

生4：在欧几里得的《几何原本》一书中给出欧几里得的证法，设△ABC为一直角三角形，其中A为直角，从A点划一直线至对边，使其垂直于对边，延长此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等，如图4。为了弄明白此证明过程，我在家琢磨好久，很有意思的，其中要用到全等三角形的SAS判定，还要使用面积进行转化，有兴趣的伙伴们可以尝试。

生5：我们还有美国总统证法，张景中院士的无字证明法，还有看不懂的平面向量法……

师：同学们是否发现，上面的证明方法都是从计算图形的哪个角度来证明的？

众生异口同声：面积。

师：到目前为止，勾股定理的证明方法已有400多种。由于时间关系，在这里就不请同学们一一来展示，有兴趣的同学可在你的认知范围进行思考，整理。除了证明方法外，还有其他吗？

生6：我们从网络上收集到毕达哥拉斯树，又叫“勾股树”，如图5，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形，因为重复数次后的形状好似一棵树，所以被称为毕达哥拉斯树。通过观察和思考，发现一个很有趣的性质，同一次衍生出所有小正方形面积之和等于最大正方形的面积，你能说出图6，图7中，这些图形面积之间存在的等量关系吗？

生7：我们在课本的阅读材料里还发现一个有趣性质：在一个直角三角形中，在斜边上所画的任何图形的面积，等于在两条直角边上所画的与其相似的图形的面积之和。有点似懂非懂……

点评：利用信息化的便利，学生亲身经历勾股定理相关知识的收集、整理，学会对信息进行过滤，吸收，学会在阅读中思考，在思考中阅读，在课堂上进行交流、沟通、合作和解决问题，学会共处，促进多元化发展。其实，人的大脑是个四通八达的交通网络，每两个点都被若干条道路连接，有足够多的道路联结的地点是核心知识，要以这些知识为“内核”，与其他知识彼此贯通，构成一张知识网络，勾股定理就是这种核心知识，学生理解它需要经历知识还原于下层，体验与探究，反思与上浮的“U型”学习过程，才能获得知识的意义增值，而不是性质的简单占有。

探究环节：学生动手操作、独立思考、合作交流和逻辑推理等方式，探究《原本》第六卷命题31。

师：那我们就一起研究学生7提出的问题。在前面已经知道，分别向直角三角形三边向外作正方形，图8中得到结论S1+S2=S3。

师：既然外作正方形有这样规律，分别以直角三角形的三边向外任意画三角形，行吗？请同学们试试看。（学生画图出进行观察、思考。）

生8：这一结论不一定成立。

师：为什么？谈谈你的理由。

生8：这三个三角形只是固定了AB，AC，BC的长，而对应边上的高没确定，根本没法计算它们的面积，所以没法确定S1+S2=S3是否成立。（在黑板上画出一个图形9解释。）

师：反例构造得非常好！这些三角形满足什么条件结论才能成立呢？请大家试试。（小组进行交流、讨论，老师巡视参与小组讨论。）

生9：设BC，AC，AB边上的高为h1，h2，h3，令BC=a，AC=b，AB=c，要使S1+S2=S3成立，只需ah12+bh22=ch32，即有ah1+bh2=ch3，而根据勾股定理有a2+b2=c2，对比这两个式子，要求h1a=h2b=h3c就可以。

师：对这位同学见解是否有异议？大家试试看。（学生认真地思考，验证想法，很多同学同意他的想法。）我们想请教刚才提供这么好的想法的同学说说，你是如何发现的？

生9：我主要是对比ah1+bh2=ch3，a2+b2=c2这两个式子，刚开始只要让h1=a，h2=b，h3=c这两个式子一样，这时大胆的猜想，能否让h1，h2，h3在a，b，c的基础上缩小（或者扩大）相同的倍数，即h1a=h2b=h3c=k（k>0），然后代入到a2+b2=c2演算一下，发现是正确的。（该生一边抓着自己的脑袋，一边回答说。）

师：这种对比方法太厉害！希望同学们以后多学习他这种大胆猜想的思考方法！上面问题中，我们要求四边形是正方形，若这三个三角形为……

学生异口同声说：正三角形。

师：请同学们对这个结论进行验证试试看。如图10，分别以Rt△ABC三边a，b，c為边向外作正三角形，则S1+S2=S3成立吗？请说明理由。

生10：老师，正三角形的高线怎么求？

师（面带狡黠的笑容）：独立思考后发现不会，来寻找帮助很好！由于二次根式的知识还没学到，推理比较困难，我们可借用几何画板进行度量验证，如图11，请同学们仔细观察。（打开几何画板，拖动C点观察三角形面积之间的等量关系。）

图11

△CAD的面积=10.42厘米2

△CBE的面积=3.45厘米2

△AFB的面积=13.86厘米2

众生异口同声：真的相等！

师：上述结论是否适合其他图形？比方说，向外画正六边形是否成立？画半圆呢？大家试一试！（让学生进行练习，老师巡视，适当地进行指导。）

师：我们知道正三角形与正三角形、正方形与正方形、正六边形与正六边形以及半圆与半圆都是形状相同的图形，在九年级学习相似三角形时把它们都称为相似图形，通过以上的研究，归纳出性质：在一个直角三角形中，在斜边上所画的任何图形的面积，等于在两条直角边上所画的与其相似的图形的面积之和。

点评：把课堂真正还给学生，给足学生交流的时空，在交流、对比和思考中体验勾股定理与图形面积关系的自然生成。巧妙地将学生置于研究者的状态，自主地参与到学习活动中来，动手实践、自主探索与合作交流，这与弗赖登塔尔“再创造原理”有异曲同工之妙，不把数学知识作为预先确定的、正确的东西直接塞给学生，这些东西主要还是靠学生自己的探究和创造来完成，以学生积累的数学活动经验，数学思考方式来发现问题，提出问题，分析问题和解决问题。

梳理环节：请学生绘制勾股定理与图形面积关系的思维导图。

师：前面同学们对展示成果进行交流，收集整理的资料非常详细，阅读理解文本非常认真，很会动脑思考！特别是，探究《原本》第六卷命题31对勾股定理进行面积拓展时，思考得十分深入，非常好！其实“勾股文化”丰富多彩，值得我们好好去学习，多多去研究。查阅的资料可归结为：定理的命名和证明，发展历程，从形状和表达式的两个方面进行推广，还有应用等。

点评：人的智能核心成分是思维，而概括既是思维的第一特征，也是智能的首要特点。绘制勾股定理思维导图，使得学生站在系统的高度对信息进行概括、压缩和整合，把握数学知识间的联系，体会数学思想方法，扩大“元”知识和“元”方法，形成良好的认知结构。

四、 基于逻辑连贯的教学反思

虽然数学的发展极其不合逻辑的，但是学生学习数学的过程与数学发展的历程具有“同构性”，建构逻辑连贯的学习过程，目的是使学生缩短多元联结知识的时间，拓展有深度的思维空间，为学生的生长谋求长远利益的发展。

（一） 回归本源性知识的教学

要教给学生什么层面的知识，是知识层面，是思维层面，还是文化层面？思考此问题是教学设计的起点，也是课堂教学实践的着力点。备课时老师要回归学生思维的起点，前后贯通地挖掘教材中一节课的价值。此节课中，深入解读编者意图，拓宽学生阅读的视角，让学生在收集、查阅文献中领悟勾股文化的灿烂，在交流过程中将显性的勾股定理知识与缄默的思维、方法、文化有机联合，在交流互动中达到师生思维场的同频共振。

（二） 让学体验知识的生成

哲学家海德格尔说过：教难于学，乃因教所要求的是让学。让学要老师理解何为让学？什么地方让？怎么让？把知识的发现权，知情权让给学生，让学生去收集资料，让学生去查阅勾股历史文化，让学生自己去理解，让学生去展示交流，让学生大胆地讲述自己的奇思妙想，让学生去整理知识，体会知识的形成和深化，老师学会倾听，追问，留白，忘记预设，顺应学情。

（三） 探究关注知识的生长点

1. 先行组织查阅，激活知识“固着点”

以任务驱动形式，利用网络或书籍课前查阅，整理成非连续的引导性材料，了解勾股定理的历史文化，架设新旧知识间的“认知桥梁”，为后续学习提供理想的“固着点”，激发有意义学习的心向。

2. 探究数学问题，建构合适“潜在距离”

利用先行组织者植入或激活的基础上，对勾股定理与图形面积关系的探究进行自然而然的生长，建构合适的新旧知识联结的“潜在距离”，对知识进行同化，使得新知识获得意义，旧知识得到巩固、修正而获得新的意义。生9解决的问题，知识固着点与新问题的潜在距离比较远，探究的难度比较大，很多学生只能满足验证结论的状态。生10不能解决的问题，也属于潜在距离比较远。短距联接能渐进分化完成，长距联接更多靠学生的创造智慧。

參考文献：

[1]章建跃.数学教育随想[M].杭州：浙江教育出版社，2017.

[2]顾泠沅.教学改革的行动与诠释[M].北京：人民教育出版社，2006.

[3]卜以楼.“再探幂的运算”教学设计[J].江苏教育，2017（2）.

作者简介：

王黎明，浙江省杭州市，浙江省杭州滨和中学。