关注知识生长 引导深度学习 培养核心素养

油鹏英

[摘要]从小学到初中，“三角形的内角和”这一同样的课题出现了三次，前有孕伏、中有突破、后有发展。由于学生的认知与理解水平不同，每一次教学对学生的要求也不一样，教师应根据教学要求引导学生进行不同程度的深度学习，从而培养学生的数学核心素养。

[关键词]知识生长;深度学习;核心素养

[中图分类号]G623.5  [文献标识码]A  [文章编号]1007-9068（2020）02-0026-03

核心素养是使学生在进行相应学段学习的过程中，逐步形成的适应个人终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力，是所有学生应具有的最关键、最必要的共同素养，是知识、能力、态度等的综合表现。

从小学到初中的教学过程中，有些知识内容看似相同，实际上目标定位不同，知识的起点、生长点，以及知识生长的走向、路径等也不相同，对此，教师应该怎样引导学生对话思辨、深度学习？又该怎样体现数学核心素养？……这一连串的问题值得探究。下面以“三角形的内角和”这一学材为载体，谈自己的一些拙见。

一、小学阶段三角形内角和的学习（人教版教材四年级下册第67页）

【教学片段1】猜想三角形的内角和

师（课件出示不同的三角形卡通图片）：猜一猜这三种三角形中哪个三角形的内角和大？还是都相等？是多少度？

【案例剖析：让学生猜想三角形的内角和是多少度这一环节的教学属于直觉顿悟，要求学生不是毫无根据地瞎猜，而是在观察的基础上有根据地推测和判断。这一过程是通过卡通图片渗透几何直观的思想，还渗透推理思想。】

【教学片段2】操作验证，得出结论

1.测量法。通过用量角器测量可能得到180°、181°、179°……教师指明测量的结论有误差，但接近180°，因此需要进一步验证。

2.撕拼法。

【案例剖析：学生动手操作，把锐角三角形的三个角撕下来后拼在一起，正好拼成了一个平角，平角是180°、分别把钝角三角形和直角三角形的三个角撕下来，拼在一起，均为180°。从而得出三角形的内角和是180°这一结论的正确性。

这一环节采用探索学习的模式，教师通过不断追问“你是怎么验证的？”“有什么思路与大家分享？”，引导学生围绕问题（三角形的内角和的度数）一步一步地展开探索，教师只做适当的提示，不把结论强塞给学生，让学生展开想象的翅膀，通过交流思辨形成结论，在学生的思维碰撞中生成精彩的课堂。在教师的引领下，学生不但知其然，而且知其所以然，同时培养了自身几何直观、转化思想和推理思想等核心素养。知识生长路径的关键点是如何把内角和转化为平角，即如何利用已经学过的知识来解决新问题。】

二、初中阶段三角形的内角和的学习

【教学片段1】北师大版教材七年级下册

师：大家在小学已经学习过三角形的内角和是180°，回忆一下当时是怎么推导的？主要思路是什么？

师：如果只撕、拼一个角，能否证明三角形的内角和是180°呢？

师：在以往验证的思路上，你能否利用平行线的知识来证明呢？

【案例剖析：首先让学生回忆小学所学知识的来龙去脉、主要思路，然后让学生思考：如果只撕、拼一个角能否证明三角形的内角和是180°。这里通过回憶旧知，找准了知识的生长点，并在此基础上给学生留有思考的空间，引领学生进行深度学习。】

小学是通过撕、拼的方法验证三角形的内角和是180°，此处与小学撕、拼的方法不同的是，小学是将撕下的三个角，拼成一个平角。而这里的处理方法只是撕、拼一个角，二者拼法不同，源于思考的角度不同。教师可引导学生思考：从图4可知，只撕下了∠1，而没有撕下∠3，那边b和∠3的一条边a平行吗？为什么？学生在深度学习后能根据“内错角相等，两直线平行”这一条件推出直线b//a;教师可接着追问：“∠3和∠4的大小有什么关系？为什么？”显然，根据“两直线平行，同位角相等”这一条件可推出∠4和∠3相等，而∠1、∠2和∠4拼成了一个平角（180°），从而推出∠1、∠2和∠3的度数和就是一个平角的度数，即三角形的内角和是180°。

与小学阶段的探索方法一样的是，都是把三个内角转化成一个平角，不过这里利用了平行线的判定与性质推出∠4和∠3相等，并不需要把∠3撕下后摆放在∠4的位置，这就是知识的生长点，尽管两种不同操作的共同点都是将直观操作与说理结合起来，但是初中阶段的方法实现了从直观操作到推理思辨的转化与升华，不仅复习、巩固了平行线的有关内容，而且为以后证明三角形的内角和定理积累了经验。虽然只是要求学生口头说明理由，不要求书面证明，但已为八年级上册的进一步证明做足了理论支撑，是一个很好的铺垫。

【教学片段2】北师大版八年级上册

师：小学阶段已经学习过“三角形的内角和是180°”，七年级又通过活动再次验证了这一结论，你能回顾这些验证过程吗？

师：以前我们都是通过直观操作与口头说理得出的结论，如果不移动∠4，你还能有什么方法来证明吗？（引导学生深度思考）

师：对，用我们学过的平行线的知识。你能用比较简洁的语言写出这一证明过程吗？

生：（证明过程略）

【案例剖析：和小学以及七年级知识相比，证明的基本思路仍然是利用平角的知识，只不过在深度理解知识的基础上，学生站在理论的高度用作辅助线的方法进一步证明而已。七年级是只撕下∠1并摆放，知道了边b和∠3的一条边a平行，而这里利用这一知识点直接作射线CE平行于边AB，这样就相当于把∠A移到了∠1的位置，把∠B移到了∠2的位置。根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”和“两直线平行，同位角相等”，得出∠1和∠A相等，∠2和∠B相等，真乃一箭双雕，顺理成章地推导出三角形的内角和是180°。这里摆脱了拼摆的低级验证过程，上升到理论高度的深层探究，证明过程及结论具有普适性。】

在学生真正理解知识的情况下，教师可以继续追问：“你能把三个角“凑”到点A处吗？过点A作直线PQ//BC，据此，你能证明三角形的内角和是180°这一结论吗？”

“同理，你能把三个角“凑”到B处吗？过点B作直线MN//AC，据此，你能证明三角形的内角和是180°这一结论吗？”

这样的追问能让学生举一反三，茅塞顿开：无论何种方法，其基本出发点都是根据平行线的判定和性质，把三个角“凑”到一起，利用“平角是180°”的旧知推导出“三角形的内角和是180°”。可见，结论的得出需要教师在学生真正理解教材的基础上引导学生深度学习，利用知识的迁移找准知识的走向和关键点，从而解决所提出的问题。在此，也充分体现了对学生空间观念、推理等核心素养的培养。

三、关注知识生长给我们的启示

从小学到初中，“三角形内角和”这一同样的课题进行了三次学习，由于学生的认知与理解水平不同，教材对学生的要求也不同。小学阶段是通过猜想、验证得出结论，其思路是把三个角撕下来凑在一起拼成一个平角，利用了转化的思想，结论的得出属于浅层次的直觉顿悟;七年级的学习是在小学的基础上进行了提升，只是撕、拼一个角，用既有剪纸摆放又有半推理证明过程的方式说明“三角形内角和等于180°”，提出边b和a是否平行以及∠3和∠4大小是否相等的问题，这样既起到了承上启下的作用，又找准了知识的生长点，让学生深度思考，并通过活动验证所提问题，真正起到了桥梁作用。八年级的学习是在七年级的基础上，不用撕、拼，用作辅助线的方法严格证明了这一结论。显然，三次学习三角形的内角和，尽管前有孕伏、中有突破、后有发展，但都用到了转化、几何直观、推理的思想。这些核心素养的渗透是教学的重点，教师一定要重视。因为，学生的核心素养是在数学学习过程中形成的，具有综合性、整体性和持久性等特征。

综上，同一知识点在不同学段的结论都是探究“三角形的内角和等于180°”。但是，仔细分析知识的生长过程，思维的深度、宽度和高度是不同的，都是让学生在理解和记忆的基础上养成深思、认真、乐学的习惯，并能举一反三，灵活运用所学知识解决问题。因此，即使是教学同一知识，教师也应把握其不同的教学目标，在知识的生长过程中培养学生相应的数学核心素养。