借助几何直观教学乘法分配律

朱东妮

[摘要]乘法分配律不仅有乘法计算，还涉及加法，学生在应用时常出现错误，如“（axb）xc”与“（a+b）xc”张冠李戴，“（a+b）x c”错写成“a+bxc”。借助几何直观教学乘法分配律，可逐步揭示乘法分配律和结合律的根本区别，有效突破教学难点。

[关键词]乘法分配律;几何直观;位置效应

[中图分类号]G623.5  [文献标识码]A  [文章编号]1007-9068（2020）02-0059-02

一、乘法分配律的教材编排

乘法分配律与乘法结合律在表现形式上十分相近，加上人教版教材编排乘法分配律在前，乘法结合律在后，两种定律的引入材料和模式也如出一辙，学生自然容易混淆。系列位置效应指出：“如果学习材料中各元素出现的位置不同，最终的学习成效也会有所差异，一般而言，中间段位的材料学习收效最低。”人教版教材中，乘法分配律处于该单元的中段，理论上讲，它处于成效最低的位段（如表1）。

其他版本的教材，都是顺应系列位置效应理论进行编排的。北师大版教材将关于简算的五大运算律统统收编在第七册，编排顺序是“乘法结合律→乘法交换律→加法交换律和结合律→乘法分配律”;苏教版教材第七册的编排顺序是“加法交换律和结合律→乘法交换律和结合律”，第八册学习乘法分配律;浙教版教材则将五大运算律打散，乘法、加法的交换律和结合律贯穿于多位数乘法计算中，包括两位数与一位数、三位数与一位数的乘法;乘法分配律则是与长方形形的周长公式、两位数与两位数相乘糅合到一起。

人教版教材对乘法分配律的练习设计过于保守，没有突出重点，仅在第36页概括出乘法分配律的概念，配套的巩固练习题也只有“做一做”中的判断题，从第37页起，全都是初级阶段的乘法和加法的交换、结合律与中级阶段的乘法分配律的综合性练习，甚至于后面综合性的解决问题中，乘法结合律占了大多数。这与北师大版教材中占两页的专项巩固训练、苏教版教材中多达五页的专项巩固训练及浙教版教材整整拿出一个单元，不可同日而语。人教版教材的设计客观上增加了学习的难度。

人教版教材第八册第三单元囊括了整个小学全部的可以用来简算的运算律，学习素材彼此相似，通常会进行大量确认练习来提高学生的鉴别力。在课堂上，如果单单是让学生通过认识数字变化和计算结果的相等来构建乘法分配律，仅仅让学生用“数”充当“数”的表征，用“计算”充当“计算”的表征，那么学生对乘法分配律的认识就会陷入重现和套用的死胡同，既给学生造成记忆负担，又会导致学生在学了所有定律后产生交叉混用的不利局面。

二、运用几何直观改进教学

乘法分配律虽是代数分支的内容，但可把它和几何图形有機结合起来，以长方形的周长公式为生长点，用直观的线段图来反映和展现乘法分配律，利用几何直观来降低和化解用代数方法学习乘法分配律的困难。

概括长方形的周长公式，引出几何直观上的乘法分配律。先让学生采用两种方法求得同一长方形（如图1）的周长如5x2+3x2=16，（5+3）x2=16，并利用图形理解数据变化，结合原有的经验总结形成新的算法;再让学生数形结合说一说式子中每一步计算得到的数据对应图形中哪部分的长度，让学生明确每个算式的几何意义，真正理解（5+3）x2=5x2+3x2。

随后，隐去图中的具体数字，用代表元素名称的汉字“长”和“宽”表示（如图2），让学生再次写出长方形周长的公式。在学生写出“（长+宽）x2=长x2+宽x2”后，提问：“式子左边只乘了一个2，右边却乘了两个2，怎么会相等？”让学生通过画图来分析问题。还可有效利用学生的错误引导学生反思（长+宽）x2=长+宽x2错在哪里，让学生在辨析错误的过程中弄清算理。

学生原本对“（长+宽）x2=长x2+宽x2”中的数据安排并不在意，对有几个“2”也不在乎，但是他们可以断定利用“（长+宽）x2”和“长x2+宽x2”计算得到的周长一定相等。可现在他们就必须聚焦于唯一的常数“2”，通过图形表征明白“（长+宽）x2”“长x2+宽x2”“长+宽x2”所表示的几何意义。通过数形结合（如图3），学生彻底搞懂了“（长+宽）x2=长x2+宽x2”的几何含义，这样一来就可以有效防范和杜绝“（5+3）x2=5+3x2”这类低级错误的发生。

三、以形引数，逐步抽象，形成经典模型

“（长+宽）x2=长x2+宽x2”这一直观模型是以长方形的周长公式为基础构建的，指向性很明确。对此，教师可让学生思考：当长方形的长和宽抽象成字母a和b时，怎么计算周长？a和b可以是数字几？让学生尽情举例。再假设：如果常数2也变了，变成数字3，两个式子边还相等吗？让学生猜想并作图证明（如图4）。

从长方形的周长公式拓展引申出（a+b）x3=ax3+bx3，（a+b）x4=ax4+bx4，（a+b）x5=ax5+bx5……由此顺利归纳推理出（a+b）xc=axc+bxc这一通用公式。最后，揭示从线段图中总结出的等式，对应的代数定律就是乘法分配律。

应用几何图形，以形代数，以形示数，让学生经历了从线段意义模型到数字模型这一转化迁移过程，最后拓展引申为乘法分配律的固定模式。升华之后再回到起点，则是对抽象过程的巩固和加深，直击概念本质。

教师可先提供直观的香蕉图（如图5），让学生独立思考问题：如果按算式（a+b）xc的形式列式，怎么求出香蕉的总数？“axc+bxc”代表什么意义？再提供一套衣服的上衣和裤子的售价图，让学生试着利用乘法分配律求几套衣服的总价。这一次“找分配律”是按着基本模型的形式内涵倒推出原型的，对学生来说是一种前所未有的新体验。学生再一次经历形与数的对应，先数字后图形，进行二次提取与归纳。反复练习后，学生慢慢发觉乘法分配律总是隐含在份数相同的不同单数中，可以是求和，也可以是求差。自此，式子与图形也就水乳交融，纳人学生的认知系统。

改进后的教学把几何和代数两个分支的知识整合起来，让学生经历了一个数与形互相描述和刻画的过程。从学生最熟悉的长方形的周长公式到最常见的线段图，利用几何直观逐步揭示了乘法分配律与结合律的根本区别，有效突破了教学难点。