高中数学集合知识的有效教学研究

（重庆市永川中学校 重庆 永川 402160）

集合是高中数学教学的基础，19世纪末德国数学家康托尔首先系统地对集合理论进行了研究。现今数学中所说的集合就是指数学的一些对象，比如函数、面、线等，这些都可以用集合下定义。事实上，数学上的集合是对某些或某类事物的研究，比如说，几何是对点集合的研究；代数是对数集合的研究；函数是特殊类型的集合等。集合的特性简单、概括性强，能够准确表达数学的相关内容，其有三个特性包括确定性、互异性与无序性。高中生刚接触集合的相关特性与知识点存在一些不足，比如说：对描述性的集合概念不清楚；不能有效地判断出集合与非集合，无法举出合理的集合例子；有的学生对集合的确定性理解有难度；有的学生对关系符号有些问题；有的学生对交集、并集等变换形式的运算有一定的难度等。针对这些问题，教师应进行有效地分析，提出有效的策略进行完善，最终将有效的集合教学应用到高中数学其他章节的知识。

1.高中数学集合的相关情况

首先，高中数学集合的含义、特征与表示方法。第一，集合的含义。集合是高中数学中最原始的概念，教师不能用点、线或面等原始概念来给集合下定义，只能运用描述性的语言说明。集合是教师直觉中比较确定却又不相同的一个汇集，是一个整体单位，那么这类事物的总称就是集合，集合中的每个个体就是元素，元素包含于集合。用数学专业术语表示，研究对象也就是元素组成的总体就是集合。比如：钢笔、水、A、1等组成的就不是集合，其元素间没有共同的属性；而“1、2、3、4”组成的共同体就是一个集合。第二，集合特征。集合具备确定性、互异性与无序性。所谓确定性就是集合内的元素必须是确定的对象，比如说C是集合，那么a是某一个对象，属于C的，那么a就只能属于C，不能是A的元素；“优秀的学生”这不是集合，其元素不确定。互异性是指集合中的元素是互补相同的，同一元素不能重复出现。如：集合 C=｛1，2，3，1｝，其集合中出现了重复元素，不能作为集合的正确表示，应该写成｛1，2，3｝。无序性是指集合中元素不需要按顺序排列。比如：集合A=｛1，2｝和集合B=｛2，1｝，这两个集合的顺序不一样，但是元素一样，这两个集合就是相同集合。第三，表示方法。例举法就是把集合的元素一一列举，元素放在大括号里。如：把方程（x-1）（x+2）=0的根用集合表示出来，就是｛1，2｝。描述法就是指同一集合中的元素有共同性质，这共同性质可以用某种方式描述，如：不大于100的正整数的全体集合，能用省略号表示：｛1，2，3……100｝。图示法就是通过画图表示，这图形叫韦恩图。

其次，高中数学常见的集合。第一，数集。对于由初中刚升高中的学生，对自然数、整数和无理数比较了解，高中数学集合里又出现了复数集C、实数集R、有理数集Q等，这些都需要高中生掌握。第二，方程或方程组的解集。如：在高中数学里，方程的解集可以看作是满足某种性质O数学的有限集。第三，不等式的解集。不等式的解可以看作是满足某种性质P的数学的一种无穷集合。第四，点集。人们习惯研究数集和几何图形，并没有把几何看成是由点组成的集合。而根据康托尔的集合思想，可以把高中数学的任何一个几何图看作是三维空间点集的某个子集。

最后，高中数学中的并集、交集、补集与空集的教学。第一，并集。属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，比如说：集合 A=｛1，2，3，4｝，集合 B=｛2，3，5｝，那么集合 A和集合 B的并集为｛1，2，3，4，5｝。第二，交集。也就是说这个集合的元素既属于集合 A，又属于集合 B。如：集合 A=｛1，2，3，4｝，集合B=｛2，3，5｝，那么集合A和集合B的交集为｛2，3｝。第三，补集。补集是总集合除去应有的集合。如：总集合为 C=｛1，3，4，5，6｝，集合 A=｛1｝，那么集合 A的补集就是｛3，4，5，6｝。第四，空集。不含任何元素的集合为空集。比如：｛｝就是空集。｛｝=空集，但不等于｛0｝。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

2.高中数学集合中学生存在的问题及原因分析

第一，问题。大部分高中学生在学习集合时，对集合的概念理解不够清楚，不会运用集合的概念去解决实际问题；有的学生不能举出例子来表示集合；有的不理解集合的特征与性质；有的学生混淆空集的性质，不能正确解题；有的学生错解集合的表示方法等。

第二，问题分析。首先，集合概念本身较为抽象。集合的抽象性需要学生具备抽象的思维能力，集合的一些符号术语，让高中生不能很好地适应，容易让学生忘记或混淆，导致错误的出现。其次，高中生的思维发展产生了变化。有的高中生思维发展还不够成熟，进而影响了他们的理解能力。最后，数学教师的教学不足。由于数学教师对集合的概念引入简单，没有做好习题练习的充分准备，没有让学生深刻理解集合相关的定义，更不能很好地做好练习题。

3.高中数学集合教学的反思

首先，注重构建高中生的集合概念过程。数学教师应该从学生的实际思维发展水平出发，为学生设置合理的教学情境，让其新旧知识得到联系，通过合理教学，运用实例引入集合的概念。

其次，在数学教学中，及时纠正高中生的错误理解。比如：让学生清楚知道空集是｛｝，而不是｛0｝，不能让学生混淆。

最后，在数学教学的过程中，教师要引导高中生反思。比如：价值反思、思想方法反思、数学概念与符号的反思。

4.高中数学集合知识的应用

首先，高中数学集合知识与各章节知识的联系。第一，集合知识与不等式的联系。这两者的联系主要体现在：不含参数的问题，可以直接求解；含参数的问题，进行等价转换，根据数形结合进行分类讨论。第二，集合与函数的关系。通过集合的形式，利用这个载体解答函数知识。第三，集合与数列、排列组合的关系。如：数列与排列组合的问题可以通过一些应用题型进行考查，进而考察其方方面面的知识。第四，集合与圆锥曲线、三角函数的关系。运用集合的语言和符号来设计圆锥曲线和三角函数的题型，进而全面考查数学的知识点。

其次，运用集合概念构建数学概念的系统。第一，用集合的包含关系构建数学概念。可以通过概念的转换，或者说这个概念是另一个概念的特殊情形，如：正方体、正四棱柱、长方体等存在一个概念系统。第二，通过集合关系建立数学的概念系统。

总之，要想学好高中数学集合的知识，不仅要掌握其相关情况、问题与反思教学，而且还要学会将集合知识运用到数学的其他章节中，这样利于高中数学的教学。