“数学理解”背景下的数学概念立体式教学

马慧娟

摘  要：初中数学概念立体式教学是在传统教学体系只注重对概念对象进行数学操作这一平面模型之上增加了分层次教学，有助实现有的放矢的概念学习，从而使数学知识的建构与数学学习核心素养的培养从概念教学这一源头上打下扎实基础。

关键词：数学理解;概念;立体式;反思;图式

中图分类号：G633.6    文献标识码：A    文章编号：1992-7711（2020）36-100-02

在数学教学中，概念犹如数学知识大厦的砖块一样不可或缺。然而由于教师没有引起足够重视，加上受传统教学观念的影响，概念教学始终缺乏充分的研究与可借鉴的模式，学生对数学概念的全面理解往往难上加难。其实，数学教育家斯根普早在1976年就提出了数学理解的两种类型——工具性理解与关系性理解。工具性理解是一种以“知其然”为目的的理解，即把数学理解当作掌握知识、促进思考的工具。关系性理解是一种“知其然，且知其所以然”的理解，它需要具有对知识意义及结构上的认识，具备完整的探究过程。传统概念教学从二维的角度观察：其中概念、符号、命题等显性内容与技能、方法、思想等隐形内容构成了数学理解的对象，而对上述对象进行的数学操作包括数学运算、几何直观、抽象思维、逻辑推理、对比分析、随机调查等等。北师大綦春霞教授认为，数学理解更应体现从表象理解、解释理解到建立联系、进行思想运用的过程。基于此，我们把概念领域的数学理解对象具体分成语词、定义、内涵、外延四部分，然后保持原操作方式不变，结合五个理解层次对数学概念教学的结构模型作了描绘（图1）。以下结合实践具体探讨：

一、操作形成表象理解

在一元二次方程概念教学中，教师首先出示一道题：学校开教代会要制作一个投票箱，现有长55cm、宽30cm的厚纸板一块，需要在它的周边切去四个小正方形，留下的五块正好搭成一个无盖方盒，然后再外加盖子才能糊成纸箱，如果要使无盖方盒的底面积是900cm2，那么纸板各角应切去边长为多少的正方形？

“操作”二字在这里的含义并非一般意义上的手工活动，而是指针对现实问题的阅读、实验、画图、列式、运算等准备性活动。由于问题都来自校园生活，能增强操作的兴趣。由于数量关系比较简单直观，学生能很快列出方程：（55-2x）（30-2x）=900，化简后得到：2x2-85x-450=0，教师提问：我们所列的方程与大家以往所学的方程有什么不同呢？应该叫做什么方程呢？这样可以促进回顾并形成初步的表象理解。

二、归纳形成语言理解

在上述表象理解的基础上可以板书“一元二次方程”，那么能否马上得出一元二次方程的定义呢？當然不能，因为此时学生的认识只是停留在表象阶段，不能真正界定一元二次方程的内涵与外延。

定义是对概念的语言界定，必须具有严格的逻辑规范。对照现行教材的定义“象……这样方程两边都是整式，只有一个未知数，且未知数的最高次数为2的方程叫做一元二次方程。”可以发现，刚才的探究并未强调“整式”这一特殊条件，尽管学生在八下年级学习该块内容时早已接触整式与分式，但对于为什么要有这一条件界定且并未清楚。所以教师可以继续提问：除了“①只有一个未知数、②未知数最高次数为2”这两个关键特征外，大家还有什么发现？学生可能会说：“③都用等号连接。”④等式两边可以是二次式，一次式，或者一个数;⑤都是整式，⑥两边最多只含有一个字母。于是教师可以把这些零散的信息串联起来读给学生听，学生发现非常啰嗦。逗乐之余，学生明白了应该用简洁直白的语言来概括，通过不断修整，最终就能得出一元二次方程的定义了。都说“语言是思维的外壳”，组织学生用语言概括并不断调整字词的过程不就是思维训练的过程吗？

三、辨识形成图式理解

在前两步操作的基础上，我们把概念的处延作为重点研究对象可以进一步深化概念的内涵理解，这需要关注学生的最近发展区，通过有计划的训练把探究引向深入，把表象与语言的理解进一步修整，最终在学生头脑中建立概念的图式。

1.辨析

辨析一列对象是否在概念的外延范围内，从而进一步明晰概念内涵。比如让学生辨析：

下列函数关系中是反比例函数的是（    ）。 A.三角形面积一定，底边与底边上的高的关系。B.长方形的长与宽的关系;C.三角形底边一定，面积与高的关系。 D.长方形在周长一定时长与宽的关系。

2.模仿。让学生模仿写出更多属于概念的对象并加以辨析，有助于进一步明确概念的外延范围。比如：请写出4个大于11、小于12的无理数。有位学生就写了  5  +9，4π-1，  10  +8， 10  2 -3四个数，原来他是按照老师给出的方法来写的，即估算一个无理数然后加一个整数来调整大小。

3.变式。变式是指通过改变概念呈现的非本质属性而加深对本质属性形认识的思维过程。实际教学中，为了加深学生对概念变式的理解，也可以呈现非概念的变式。如圆周角概念的变式训练：如图2所示的左图中共有11个角（平角不在内），请将所有角的名称写入右图。这一题几乎包括了所有圆周角概念的变式，也列入了非圆周角的变式。

四、联系生成结构式理解

现代认知心理学认为，学习者组织一个知识的联系性网络将有助于减轻大脑认知的工作强度，促进知识被科学理解、合理存储与顺利提取。

1.纵向联系。纵向联系是指当前所学概念与它的前概念及衍生概念间的联系，还包括与之相关的同类概念间的联系。比如学习反比例函数，就要联系学生在小学学过的反比例，还要与初中学过的一次函数进行比较，同时还要与“平面直角坐标系”、“双曲线”等概念相联系。

2.横向联系。横向联系是不同范畴的概念间的联系，这种联系使我们可以看到两种概念存在性质、学法上的异同。比如一元二次方程的解与二次函数函数图像上的点存在相通性，一元二次方程与今后要学的一元二次不等式间的联系。轴对称与在“距离和最短”问题间的联系。

当然，概念的联系是一种不断联系与被联系的过程，需要我们在日常教学中不断教会学生形成这种意识。

五、反思促进思想性理解

教师引导学生在经历纵横联系后进行及时反思，进一步促进概念学习的相关方法与思想的升华，培养学生的创新意识与创新能力。

总之，数学概念立体式教学是在传统教学体系的平面模型之上增加了分层次教学，从而使概念教学的过程呈三维立体状分布，这样可使概念学习的过程性更加清晰，每一步的目的更加明确。尽管数学理解为我们理解数学概念教学打开了一扇窗户，但是要真正获得教学的自由与学习的高效，还需要教师不断学习相关理论，并在实践中总结与提高。

参考文献：

[1]李士琦.数学教育心理[M].华东师范大学出版社，2001.

[2]林武. 数学概念教学的误区分析及对策研究[J].教育评论.2014（08）.

[3]王瑞霖，綦春霞，李孝诚 .数学活动理论探求与实践反思[J].数学通报.2012（07）

（作者单位：浙江省绍兴市柯桥区安昌中学，浙江   绍兴   312000）