具有拓扑稳定测度的非自治动力系统的复杂性

井 凯，尹建东

(南昌大学数学系,江西 南昌 330031)

1 引言与基本概念

拓扑动力系统的稳定性是动力系统研究的核心问题之一,最早是由Walters[1]引入,它揭示了定义在紧致度量空间上的同胚映射的结构稳定性质。关于拓扑稳定性的研究,目前已得到许多有趣的结论(见[2-4])。研究非自治动力系统的动力性状是目前关于动力系统研究的热点之一,虽然学者们在该方面的研究已经取得了一定的结论,但还不够完善,依然有很多动力性状值得去研究和探索。关于非自治动力系统测度稳定性理论的研究刚刚起步(见[4]),还有很多问题值得去研究。关于非自治动力系统的更多研究可参见文[5-8]。

本文主要针对非自治动力系统的测度稳定性进行研究,得到一个具有拓扑稳定测度的非自治动力系统与充分逼近于它的非自治动力系统具有相同的传递性和初值敏感依赖性。

对任意的n∈,记Fn=fn。fn-1。…。f1。f0,点x∈X在F作用下的轨道是指orb(x,F)={x,f1(x),f2。f1(x),f3。f2。f1(x)…}。显然{Fn(x)}n∈0=orb(x,F)。记C(X)为X上所有连续自映射构成的集合,定义C(X)上的一个距离为：

η(f,g)=sup{d(f(x),g(x)):x∈X}。

进而对于X上的自映射序列F={fn}n∈0,G={gn}n∈0之间的距离可定义为：

p(F,G)=sup{η(fn,gn):n∈0}

令P为0的所有子集构成的集合,称P的一个子集E是一个族,如果E具有向上遗传性,即如果F1⊂F2,且F1∈E蕴含F2∈E成立(关于族的详细介绍可见[9])。H:X→P称为X的一个集值映射,记Dom(H)={x∈X|H(x)≠∅}。如果对任意点x∈Dom(H),都有H(x)是X的一个紧子集,则称H是一个紧值映射。本文中d(H,Id)<ε意即H(x)⊂B[x,ε]。一个紧值映射H称为上半连续的,是指对任意x∈Dom(H)和H(x)的任意邻域O,都存在δ>0,使得对于满足d(x,y)<δ的点y,都有H(y)⊂O成立。

用β(X)表示由X的所有开子集生成的Borel-σ代数,β(X)中的每一个元素称为一个Borel-集。定义在β(X)上的每一个σ-可加测度称为X上的一个Borel-测度(关于Borel-测度的更多详细介绍可见[10])。不妨设每一个Borel-测度μ为概率测度,即μ(X)=1。

定义1.1([4])称X上的一个Borel-概率测度μ在F作用下是拓扑稳定的,是指对任意的ε>0,则存在δ>0,使得所有满足p(F,G)<δ的X上连续自映射列G={gn}n∈0,都存在一个上半连续的紧值映射H:X→P,满足下面条件：

(ⅰ)μ(XDom(H))=0;

(ⅱ)μ。H=0;

(ⅲ)d(H,Id)<ε;

(ⅳ)Fn(H(x))⊂B[Gn(x),ε],∀n∈0。

在(X,F)中,一个序列{xn}n∈0被称为是在F作用下的一条δ-伪轨,如果对任意的n∈0,d(fn+1(xn),xn+1)<δ。给定ε>0,一个序列{xn}n∈0称为在F作用下被ε-跟踪,如果存在y∈X,使得对任意n∈0,d(Fn(y),xn)<ε。此时称点y是序列{xn}n∈0在F作用下的一个ε-跟踪点。

称F具有初值敏感依赖性,是指存在δ>0,使得对X中的任意点x∈X以及点x的任意邻域Ux,存在n0∈和y∈Ux,使得d(Fn0(x),Fn0(y))>δ成立。其中δ被称为F的一个敏感常数。

设E是0的一个族。称F具有E-初值敏感依赖性,是指存在δ>0,使得对X中的任意点x∈X和点x的任意邻域Ux,都存在E0∈E,使得对任意的n∈E0,存在y∈Ux,使得d(Fn(x),Fn(y))>δ成立。

一个Borel-概率测度μ被称为是满支撑的,是指对任意x∈X和x的任意邻域Ux,都有μ(Ux)>0。称μ是非原子的,是指对任意点x∈X,都有μ({x})=0成立。

称(X,F)具有传递性,是指对任意的非空开集U,V⊂X,有

N(U,V)={n∈0|Fn(U)∩V≠∅}≠∅

设(X,F)和(Y,G)是两个非自治动力系统。称(X×Y,F×G)是传递的,是指对任意非空开集U1,U2⊂X,V1,V2⊂Y有NF(U1,U2)∩NG(V1,V2)≠∅。设r,s∈,称(X,F)是(r,s)-传递的,如果(X×X,Fr×Fs)是传递的,即对任意的非空开集U1,U2,V1,V2⊂X,存在n∈0使得Fnr(U1)∩V1≠∅且Fns(U2)∩V2≠∅。称(X,F)是弱混合的,如果(X×X,F×F)是传递的。

2 主要结论及其证明

本小节皆是在非自治动力系统(X,F)中进行探究,设(X,F)是一个非自治动力系统且X中没有孤立点。

命题2.1设δ>0。如果存在X上的连续自映射列G={gn}n∈0满足p(F,G)<δ,则对任意点x∈X,orb(x,G)是在F作用下的一条δ-伪轨。

证明任取X中的一点x,由条件p(F,G)<δ可知,对任意n∈0有

d(fn(x),gn(x))<δ

进而可得

d(fn+1(Gn(x)),Gn+1(x))=d(fn+1(Gn(x)),gn+1(Gn(x)))<δ

故orb(x,G)是F的一条δ-伪轨。

引理2.2设μ是一个在F作用下具有拓扑稳定性的Borel-概率测度,则对任意ε>0,都存在δ>0,使得对任意满足p(F,G)<δ的X上的连续自映射列G={gn}n∈0以及几乎所有的x∈X,均存在orb(x,G)关于F的ε-跟踪点。

证明给定一个具有拓扑稳定性的Broel-概率测度μ,取定ε>0,则存在δ>0满足μ的拓扑稳定的定义,若G是一个满足p(F,G)<δ的X上的连续自映射列,设H是μ的拓扑稳定性定义中给出的上半连续紧值映射,定义域为Dom(H),对于x∈Dom(H),任取y∈H(x),显然有

Fn(y)∈Fn(H(x))⊂B[Gn(x),ε],∀n∈0

这蕴含

d(Fn(y),Gn(x))<ε,∀n∈,∀y∈H(x),

即y是orb(x,G)关于F的一个ε-跟踪点。

定理2.3设μ是一个非原子满支撑的Borel-概率测度且关于F={fn}n∈是拓扑稳定的,常数e>0,E是0的一个族。如果对任意δ>0,都存在具有F-初值敏感依赖性的连续自映射序列G={gn}n∈0满足p(F,G)<δ且G={gn}n∈0的敏感常数大于e,则F也具有E-初值敏感依赖性。

d(Fn(y1),Gn(x1))<ε

(1)

因d(H,Id)<ε,故d(H(x1),x1)<ε,即H(x1)⊂B(x1,ε),因而有

y1∈H(x1)⊂B(x1,ε)

因为G具有E-初值敏感依赖性,所以存在E0∈F,使得对任意的n0∈E0,都存在x2∈B(x1,ε)，使得

d(Gn0(x2),Gn0(x1))>e1

(2)

d(Gn0(x2),Gn0(z2))<ε

(3)

和

d(Fn(y2),Gn(z2))<ε,∀n∈0,∀y2∈H(z2)

(4)

因此对任意的y2∈H(z2),有d(x1,y2)≤d(x2,z2)+d(z2,y2)+d(x1,x2)≤3ε<ε0,所以y2∈B(x1,3ε)⊂B(x0,ε0)。根据(1)、(2)、(3)和(4)式可得,对任意的y1∈H(x1)和y2∈H(z2)有

推论2.4设μ是一个非原子满支撑的Borel-概率测度且关于F={fn}n∈是拓扑稳定的,常数e>0。如果对任意δ>0,都存在一个具有初值敏感依赖性的连续自映射序列G={gn}n∈0满足p(F,G)<δ且G={gn}n∈0的敏感常数大于e,则F也具有初值敏感依赖性。

证明由定理2.3直接得到。

定理2.5设μ是一个非原子满支撑的Borel-概率测度且关于F={fn}n∈0是拓扑稳定的,r,s∈。如果对任意δ>0,都存在X上的连续自映射序列G={gn}n∈0满足p(F,G)<δ且G是(r,s)-传递的,则F也是(r,s)-传递的。

NGr(B(x1,ε1),B(x2,ε2))∩NGs(B(y1,δ1),B(y2,δ2))≠∅

其中

NGr(B(x1,ε1),B(x2,ε2))={n∈0|Gnr(B(x1,ε1))∩B(x2,ε2)≠∅}；

NGs(B(x1,ε1),B(x2,ε2))={n∈0|Gns(B(x1,ε1))∩B(x2,ε2)≠∅}

显然,

NGr(B(x1,ε),B(x2,ε))⊂NGr(B(x1,ε1),B(x2,ε2));

NGs(B(y1,ε),B(y2,ε))⊂NGs(B(y1,δ1),B(y2,δ2))

取

m∈NGr(B(x1,ε),B(x2,ε))∩NGs(B(y1,ε),B(y2,ε))

则存在x3∈B(x1,ε),使Gmr(x3)∈B(x2,ε),显然d(Gmr(x3),x2)<ε；又存在y3∈B(y1,ε),使Gms(y3)∈B(y2,ε)，故d(Gms(y3),y2)<ε。

因为{gn}n∈0都是连续映射,根据一致连续性,对于存在η>0,使得当d(x,y)<η时,则d(Gi(x),Gi(y))<ε,i=0,1,2,…,mr成立。显然存在0<η0<η,使得η0+2ε<ε1且B(x3,η0)⊂B(x1,ε)。取x4∈B(x3,η0)∩Dom(H),因为d(x3,x4)<η0<η,所以d(Gmr(x3),Gmr(x4))<ε。

因为x4∈Dom(H),根据引理2.2可得，当x5∈H(x4)⊂B(x4,ε)时,对任意n∈，有d(Gnr(x4),Fnr(x5))≤ε。又因为

d(x5,x1)≤d(x5,x4)+d(x4,x3)+d(x3,x1)≤ε+η0+ε<ε1,

所以x5∈B(x1,ε1)。综上可得,当n=m时,有

d(Fmr(x5),x2)≤d(Fmr(x5),Gmr(x4))+d(Gmr(x4),Gmr(x3))+d(Gmr(x3),x2)<3ε<ε2

这蕴含Fmr(x5)∈B(x2,ε2),而x5∈B(x1,ε1)，所以m∈NFr(B(x1,ε1),B(x2,ε2))。类似地,可得m∈NFs(B(y1,δ1),B(y2,δ2))。所以有

NFr(B(x1,ε1),B(x2,ε2))∩NFs(B(y1,δ1),B(y2,δ2))≠∅

故F是(r,s)-传递的。

定理2.6设μ是一个非原子满支撑的Borel-概率测度且关于F={fn}n∈0是拓扑稳定的,如果对任意δ>0,都存在X上的连续自映射序列G={gn}n∈0满足p(F,G)<δ且G是弱混合的,则F也是弱混合的。

证明与定理2.5证明过程类似,就不再赘述。