利用平均值不等式解题的四个常见思维误区

2020-04-14 10:48曹宗明
中学课程辅导·教育科研 2020年6期
关键词:正数代数式定值

曹宗明

【摘要】平均值不等式是求解最值问题、证明不等式的重要工具,也是历年来高考的热点内容;但由于其约束条件苛刻,不少同学在应用时常常会出现错误,导致解题失误。

【关键字】平均值不等式 忽视 条件 错解

【中图分类号】G633.6

【文献标识码】A

【文章编号】1992-7711( 2020) 06-161-01

平均值不等式

当且仅当a=b时“=”成立)是高中数学的重要内容,是求解函数最值问题、证明不等式的重要依据,利用均值不等式解题时有四个制约条件:“一正”、“二定”、“三等”、“四同”,但同学们在解题中常常顾此失彼,出现各种错误的解法,下面略举数例加以分析说明。

一、忽视"a.b均为正数”的条件

例1:

错解:

剖析:由于

,不满足均值不等式中“a,b均为正数”的条件,因此需先对函数式进行符号转换后,才能运用平均值不等式进行求解。点评: “a,b均为正数”是平均值不等式成立的前提条件,因此在应用平均值不等式解题时,要先判断a,b是不是正数,如不是正数,则不能直接套用公式。

二、忽视“a+b或ab为定值”的条件

例2.

错解:

剖析:

点评:在应用平均值不等式

解题时,要明确只有当a,b各项的和(积)为定值时,其积(和)才有最大值(最小值)。

三、忽视“=”成立的条件

例3.

错解:

剖析:

正解1:

正解2:

点评:利用平均值不等式

求解最值问题时,一定要注意“=”成立的条件,当且仅当a=b成立时,“=”才成立。

四、忽视“同一代数式中若多次使用均值不等式时,前后变量取值须相同”的条件

例4.若x,y∈R+,x+y=16,求9/x+1/y的最小值。

错解:

剖析:

正解:

点评:在同一代数式中若多次使用平均值不等式时,要明确只有当前后变数取值相同时,等号才成立。

综上所述,我们在利用平均值不等式求解最值问题时,必须明确不等式成立的几个前提条件“一正,二定,三等,四同”,避免各種错误类型的发生。

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