大摆角单摆“周期”变化的解析解及其实验应用

柴聪聪，凤飞龙，王公正，卫芬芬

(陕西师范大学 a.物理学与信息技术学院，陕西 西安 710119; b.基础实验教学中心，陕西 西安 710062)

对于单摆的大摆角非线性振动，已有许多文献进行了研究，但是许多模型忽略了空气阻尼的作用，并不能解释单摆周期测量中摆动“周期”随摆次的变化[1-3]；文献 [4-6]研究了空气阻尼作用下的非线性运动方程，但只考虑了摆角对于准周期的影响，未对摆动“周期”随摆动次数的变化做进一步的研究；文献[7]采用实验数据拟合的办法对这种“周期”-摆次关系给出了经验公式，但只适用于特定摆长. 由于大学物理实验教学中大摆角单摆实验[8]摆长不定，理论上忽略空气阻尼造成实验系统误差，而测量时采用累计测量求平均周期的方法不仅仅会减小随机误差而且会影响系统误差，因此有必要对“周期”-摆次关系进行进一步的研究以期改进实验教学.

本文首先在弱阻尼大摆角单摆运动方程的基础上推导累计“周期”随摆动次数变化的关系式，分析“周期”的变化规律. 然后利用已有实验数据验证公式的准确性以及利用它进行实验系统误差修正的设想.

1 弱阻尼大摆角单摆运动方程与“周期”解

对于摆长为l、摆角为θ的单摆，在空气阻尼系数为c的条件下，根据角动量守恒得

(1)

(2)

将sinθ泰勒展开，忽略高次项，取

(3)

得

(4)

根据文献[5]可得该方程的解为

(5)

2βT′(n)+γe-2βT′(n)=p.

(6)

解之可得

(7)

式中W即朗伯W函数又称为“欧米加函数”或“乘积对数函数”，在Matlab和Mathematica软件中均有对应函数可以直接求解.

随着βt增大，但增大不多时，e-2β t取二阶近似e-2β t≈1-2βt+2β2t2，沿用以上计算过程可得θ=θ0e-β tcos {[1-γ(1-βt)]ωrt+φ0}. 解[1-γ(1-βT2′)]ωrT2′=2nπ并取正实根可得

(8)

2 “周期”解的实验验证与应用

基于文献[7]中已知的实验数据，首先对以上公式进行实验验证. 取摆长l=75 cm,g=9.794 07 m/s,β=0.005[5]，不同摆角下第1个周期的实测与理论结果对比如表1所示.

表1 不同初始摆角下单摆第1个周期的测量值

表1中无阻尼振动的周期由

(9)

计算. 由表1可见，考虑阻尼由式(7)计算所得结果比无阻尼情况下按式(12)计算所得结果偏差小了将近1个数量级(偏差平方和分别为0.001 2%,0.000 1%). 由此一方面可以验证式(8)结果的准确性；另一方面也说明即使只测量1个周期，大摆角下无阻尼公式也存在较大系统误差.

此外，根据文献[7]，如果采用累计测量求平均的方法测量周期，则结果如图1所示，显然随着累计次数增加，实验系统误差更加明显.

图1 累计不同摆次时的平均周期

参照式(7)和式(12)引入系统误差计算公式

ΔT=T-T′(n)/n,

(10)

并利用式(13)对实验结果进行修正，如图1所示，实验结果可以更好地吻合理论设定而基本上不受累计次数的影响. 然而，由于文献[7]中“累计”周期实际上是将每个周期测量结果累加后求平均得到的，所以随着累计次数的增加，图1中随机误差并无明显变化，没有体现累计测量提高修正数据精度的作用. 但如果实验中直接对多个周期累计计时求平均，则周期测量的随机误差会进一步减小. 这种结合系统误差修正和累计周期测量的方法可以减小实验误差，尤其是在用秒表计时，随机测量误差较大的实验中.

3 结 论