并联弹簧式准零刚度系统的静态分析与低频隔振区间优化

李 静 时培成

(安徽工程大学 汽车新技术安徽省工程技术研究中心，安徽 芜湖 241000)

1 问题研究现状

随着社会的发展和科学技术的不断进步，人类对于隔振设备的隔振性能要求越来越高，尤其是低频隔振。被动隔振系统结构简单，能耗很小，可靠性强，是最主要的隔振手段。由线性隔振理论可知，线性隔振的起始频率为系统固有频率的倍。要实现低频、超低频隔振，系统的固有频率要很低，但系统固有频率与系统的刚度呈正相关关系，减小系统的固有频率会导致系统的承载能力降低，会限制隔振系统的承载力、应用场合。

大量的研究发现准零刚度隔振系统具有“高静低动”特性，即具有较大的静刚度和极低的动刚度，克服了低频隔振与承载力不足的矛盾。因此，在国际学术界，已成为重要的研究内容[1]。柴凯等[2]在综述中详细地的介绍了准零刚度隔振器的隔振原理及其实现方法，以及对隔振器的应用前景进行了展望。徐道临等[3]提出一种由五个线性弹簧并联组成的准零刚度隔振器，经过试验研究结果表明，其低频隔振性能明显优于相应的线性系统。蓝双等[4]提出一种由拉伸弹簧作为负刚度机构与正刚度线性弹簧并联组成的隔振系统，其仿真结果表明，拉伸式准零刚度隔振系统在超低频隔振中的性能优于线性系统。聂高法等[5]设计一种新型可调节准零刚度系统，当隔振物体质量变化时，通过调节可使系统处于平衡位置附近，通过仿真验证，该系统能克服低频隔振与系统刚度之间的矛盾。刘兴天等[6]提出将有负刚度特性的欧拉屈曲梁与线性隔振器并联使用，通过对隔振器进行动态建模，分析激励幅值和载荷对隔振器性能的影响，其结果表明，隔振器具有低频隔振能力。张建卓等[7]提出实现超低频隔振的新方法，经大量试验表明：隔振系统固有频率从6Hz降低到0.75Hz，隔振能力显著提高。赵强等[8]介绍正负刚度相消的原理，设计新型汽车座椅隔振系统，仿真试验证明，隔振系统内加入负刚度元件，人体加速度减小，舒适度得到有效改善。

目前，绝大多数,文献都是对准零刚度系统设计、研究其静力学、动力学特性进行讨论，而准零刚度系统进行优化以获得更优的隔振特性并没有给予过多的讨论。

本文基于并联弹簧机构设计了一种准零刚度系统，并对其进行低频隔振区间优化。根据准零刚度模型的特点，以及需要优化的参数数量，采用均匀优化设计法，确定试验目标与因素水平，选取均匀设计表，获得一组最优解，经matlab仿真验证，本文设计的准零刚度系统的准零刚度区间长度得到了有效拓展。

2 准零刚度隔振系统设计

本文设计的准零刚度隔振系统，如下页图1所示，由n+1个线性弹簧并联组合，其中n个弹簧倾斜放置，1个弹簧竖直放置，弹簧两端分别连接底座和隔振平台。斜置线性弹簧在竖直方向上可呈现负刚度特性，由并联弹簧的刚度计算公式可得，合理设计弹簧参数，可在竖直方向上构成准零刚度系统，即在静平衡位置附近，实现准零刚度特性。根据图1所示的准零刚度系统，其主要由3个部分组成：支撑装置(底座，支撑架)，减振装置(水平弹簧、竖直弹簧，导杆，导向装置，直线轴承)，被隔振对象(载物平台)。各个部分之间的连接关系为：底座固定水平放置，支撑架安装于底座上，相对位置可以调节，即对应图2准零刚度系统结构示意图上的尺寸a进行调节，水平弹簧及其导向装置分别与支撑架和载物平台铰接。为防止弹簧受力后发生失稳，采用导向装置引导其形变方向。直线轴承相对导杆的位置可以调节，调节竖直弹簧初始长度，用以适应质量不同的被隔振对象，使系统在静平衡位置工作。载物平台同时受水平弹簧和竖直弹簧的力的作用。底座调整支撑架半径大小轨迹上均刻有半径大小刻度尺，以保证三支支撑架在同一圆周上，并且可以准确调节上下平台的半径差。

本文设计的准零刚度隔振系统，其力学平衡图如图2所示，载物平台由n个刚度为k0的倾斜弹簧和一个刚度为kv的竖直弹簧支撑，其中倾斜弹簧的原长为L0，竖直弹簧的原长为L1，倾斜弹簧底部距离中心点的距离均为a，倾斜弹簧上端距离中心点的距离均为b，载物平台与底座的距离为h。未加载时，即初始状态倾斜弹簧与水平面的夹角均为β。

3 隔振系统力——位移、刚度——位移特性及部分选择参数

3.1 隔振系统力-位移、刚度-位移特性

设y定义为系统从初始位置开始竖直向下位移，如图2a、b所示，设准零刚度系统在被隔振对象作用下产生位移y，则系统的力—位移之间的关系为：

则：

假设定义x为从平衡位置o点，即y=h处的位移，则有x=y-h,则上述力-位移方程(2)为：

为方便后续的分析与应用，将力-位移方程(3)进行无量纲化后得：

根据刚度的定义，可由力-位移方程式(4)对 微分，得到系统无量纲刚度-位移方程式：

3.2 确定平衡条件

当倾斜弹簧处于水平位置时，即倾斜弹簧与水平面之间的夹角β=0时，隔振系统达到静平衡状态，水平弹簧对被隔振对象的作用相互抵消，被隔振对象完全由竖直弹簧支撑。当载物平台稍微偏离平衡位置时，倾斜弹簧的负刚度与竖直弹簧的正刚度在竖直方向上相互抵消，可实现在竖直方向上的准零刚度，依此可求得实现准零刚度的条件，即当x=0时，k=0，则刚度比为：

后续进行优化设计时，所选取的a、b、n、y值，均要满足(6)式

3.3 选择隔振系统部分参数

在满足准零刚度条件前提下，选取不同的n值，利用matlab编制程序，可得出相应的无量纲力-位移和无量纲刚度-位移曲线，如图3和下页图4所示。由图3可见，当倾斜弹簧数量n分别取2、3、4、5、6时，并且系统其他参数取值满足准零刚度条件，系统在静平衡位置可以实现一段稳定的刚度为零的区间，即准零刚度区间。由下页图4系统的刚度—位移曲线，可以得到 ： 当倾斜弹簧数量n分别取2、3、4、5、6时，并且系统其他参数取值满足准零刚度条件时，均可使系统在平衡位置实现准零刚度，但随着倾斜弹簧数量的增加，准零刚度有效区间随之减小，这对于系统对低频和超低频的隔振是不利的，应尽力避免。由上述分析可见，倾斜弹簧数量n为2时，系统具有最大的零刚度区间，考虑当倾斜弹簧数量小于3个时，系统在竖直方向的振动可能会产生失稳现象，故选用倾斜弹簧的数量n=3，则可确定系统无量纲力-位移、无量纲刚度-位移和刚度比表达式为：

图3 无量纲力—位移曲线

图1 a准零刚度系统初始位置模型图

图1 b准零刚度系统平衡位置模型图

图2 a准零刚度系统初始位置结构示意图

图2 b准零刚度系统平衡位置结构示意图

图4 无量纲刚度—位移曲线

能实现系统产生准零刚度特性的几何参数 和刚度比y的组合见图5。

图5 几何参数与系统刚度比关系曲线

4 刚度、力特性的近似表达

由上页图3可以看出，该准零刚度隔振系统的力—位移特性曲线符合三次曲线的特征。在选择适合系统的前提下，可使用某个三次曲线来近似拟合该隔振系统的力—位移特性曲线。由于该隔振系统弹性恢复力在平衡位置附近具有(n+1)阶导数，故式(7)可用泰勒展开，仅取前三阶。

根据前述条件可得：F(0)=0、F｀(0)=0、F"(0)=0，则式(10)可以化简为：

则，系统经简化的刚度—位移表达式为：

将式(11)、(12)确定的系统的近似力—位移、刚度—位移表达式与其精确表达式比较，如图6 、图7所示。从图6、图7中可以看出，在平衡位置 附近的小范围内满足精度要求，因此，在下文计算中均以此近似解代替精确解。

图6 系统刚度—位移曲线精确解与近似解比较

图7 系统力—位移曲线精确解与近似解比较

由图6可知，刚度表达式近似解与精确解的误差在平衡位置附近随着系统位移的增加而逐渐增加，精确刚度与近似刚度之间的误差可用相对误差来衡量。定义相对误差表达式为：

图8 刚度精确解与近似解相对误差随位移变化图

由图8可知，当无量纲位移较小时，刚度近似解与精确解的误差较小，因此，利用刚度近似表达式来分析系统特性是合理的。但当系统位移量较大时，相对误差迅速增大，在此情况下，近似解则不能代替精确解。该准零刚度隔振系统在实际应用中，其振动位移均为小位移，所以，可以应用三阶泰勒展开式代替精确解。

5 基于均匀设计法的隔振系统优化

5.1 确定试验目标与因素水平

如上页图3所示，该准零刚度系统在其平衡位置附近有一段稳定的刚度极低的区间。根据振动理论可知，当被隔振对象的振幅位于这一段区间内时，该隔振系统可对频率极低的振动进行隔离。当振幅超过这段区间，隔振系统的刚度值就会大幅度地增大，无法对低频和超低频振动有效隔离。一个性能优良的隔振器应具有一个较大的低频隔振区间，以适应不同工作环境对隔振器不同的要求。因此，在满足准零刚度条件下，尽可能地增大准零刚度的位移区间很有必要。

由式(12)可以得到优化的目标函数为：

由式(12)可知，当准零刚度隔振系统无量纲刚度值确定时，系统的有效隔振区间随之确定。由于当前对准零刚度隔振系统的刚度值没有明确规定，考虑到准零刚度隔振系统相比较于线性隔振系统的优势在于其低频及超低频隔振性能。为获得性能最好的准零刚度隔振系统，应使准零刚度系统准零刚度区间尽可能大，即准零刚度系统的低刚度区间尽可能大，因此，本文将隔振系统无量纲刚度值 对应的区间 值作为目标函数，对系统的参数进行寻优设计。

设无量纲刚度值 对应的位移区间长度为：

为了准确对该准零刚度系统中各参数值进行优化，应取有量纲刚度—位移表达式对应的位移长度值：

将式(16)等号右边的4个参数：刚度比、倾斜弹簧原长L0(mm)、隔振基座半径a(mm)、隔振平台半径b(mm)作为优化变量。由这四个参数即可确定该类型准零刚度隔振系统，因此，通过对这四个参数进行优化计算，即可得到性能最优的准零刚度系统，即准零刚度区间值最大的隔振系统。选取不同的3组参数值，可得到不同的目标函数值，如图9所示。

图9 不同L值的比较，其中

由图9可以看出，其中 ，随着目标函数取值的不断增大，曲线越来越趋于平坦，曲线位于无量纲刚度值小于1的部分越大，准零刚度隔振系统的准零区间越大，即准零刚度隔振系统低频和超低频隔振性能越优越。

与正交试验法相比，均匀设计减少了实验次数，可以适当增加试验参数的复杂性。选择无量纲刚度值 对应的位移区间长度作为试验优化目标，使该区间最大。适当增大因素取值范围，增大试验因素水平，使试验结果更接近于最优结果，所选因素范围和步长，如表1所示。试验目标为系统无量纲刚度 对应的位移区间长度的极大值，在其他条件相同的情况下，影响试验目标的因素有：弹簧刚度比γ，倾斜弹簧L0， 隔振平台半径b， 隔振系统基座半径a四个变量。

表1 所选因素范围和步长

5.2 选取均匀设计表

根据选择的因素单一优化目标等制定均匀设计表。共4个因素，取13个水平，在均匀设计手册中查找通用的均匀设计表。通过查表可得，供选择的均匀设计表有和。因4因素试验残差分别为0.2076和0.3107.，应优选带*号的均匀设计表，即选择残差较小的均匀设计表。表和使用表见表2、表3所示。

5.3 试验与分析

将所选的水平和因素按照均匀设计表 的顺序填入，可以得到13种不同的试验方案，对13种不同的情况分别计算，可得到13个不同的最大区间值，如表4所示。

综合考虑隔振器结构与参数的关系，根据准零刚度系统中零部件的空间布局及系统总体尺寸的约束，确定约束条件，试验3、9的试验参数不符合要求，符合条件的试验4获得的优化目标位移区间值最大，最大值为51.328mm，对应参数值γ、L0、a、b的值分别为：0.749、43.25、101.669、61.667。对此组优化值进行修正得：0.75、44、101、62，此修正参数下系统目标位移区间为：49mm，相对误差为：4.5%，符合精度要求，可以使用。

表2 均匀设计表

表3 使用表

5.4 对比优化前后结果

将经优化后的取值结果与初选值(初选弹簧刚度比γ=1，倾斜弹簧原长L0=40mm，隔振平台半径b=70mm, 隔振系统基座半径a=100mm)比较，初选值对应的目标位移区间长度为：30mm，经修正优化后的目标位移区间长度49mm，增大比例超过60%，优化效果明显。下页图11所示为优选方案与初选方案的隔振区间值曲线，由下页图10可知，经均匀设计法优化后，系统准零刚度区间明显变大，说明低频隔振性能显著增强。

表4 终选均匀设计表

图10 优化前后无量纲刚度—位移曲线对比

6 结语

(1)本文提出基于并联弹簧的准零刚度隔振系统，对该隔振系统进行静力分析，得出系统在平衡位置附近具有准零刚度的特性，并给出系统在平衡位置处实现准零刚度的条件。

(2)对系统的倾斜弹簧数量进行优化，获得系统具有最大的准零刚度区间和最好稳定性的倾斜弹簧数量。

(3)基于均匀优化设计的适用范围及本系统的结构特点，优化本准零刚度隔振系统的参数。根据优化目标和因素水平，确定均匀设计表，试验结果表明，经优化后的参数能使系统获得更大的准零刚度区间，更好的低频隔振性能。