深度处理教材 凸显知识本质 发展数学素养

江苏省无锡市堰桥高级中学 余金荣

数学教材不仅是“数学”材料，同时，它也是“教学”材料，是经过“教学法”加工的“数学”。在教学法的完善下，教材中的数学知识与学术形态有所区别，在教学内容的选择、内容的呈现形式、概念的形成过程、规律方法的揭示过程方面都进行了精心的设计。受学校教学课时、教材表现形式、学生认知水平及认知结构等诸多因素的影响，教材编写者相应地对数学知识进行取舍，转变形式，变换表达方式，以更适用于教师教学和学生阅读。当然，这种做法有时不可避免会掩盖数学知识的内在联系、数学规律的形成过程、数学理性精神的体验等与数学本质密切相关的内容。

教师如果照本宣科，简单地将教材上的内容重复一遍，“抄”在黑板上，课堂教学就会脱离数学本质，失去知识在培育学生数学素养方面的价值。因此，教师在处理教材时，应思考数学知识的内在联系，研究课堂上数学规律演变的表现形式，体验教学内容中所涉及的数学思想方法和理性精神，艺术地组织课堂教学，以明确学生应该“学什么”“怎么学”，让学生了解“有什么用”。

一、立足教材内容，明确知识的逻辑结构，实现重点的高效突破

我们非常清楚，课堂教学首先应该认真研读教材，明确内容的本质，在此基础上切实把握教学内容的内涵和外延，这有利于学生构建新的认知结构。另一方面，通过教材呈现的文本却掩盖了课堂教学内容的实质，教学任务和重难点没有明确地写在教材中。吴大任教授曾经说过：观点越高，事情越显得简单。学生学习的每个数学知识都不是孤立存在的，而是一个有机的整体。因此，教师在处理教材时，应站在数学学科知识系统性的角度，明确构建新知识结构的基础及学生新获取的知识，以把握数学起点的高低。

以“直线的方程（一般式）”一课教学片段作为案例：

问题：请复述直线方程的四种特殊形式，并说明它们各有什么限制。

教师：如果能够把方程y=kx+b 与x=x1形式上统一就好了。前面在求出直线方程的特殊形式之后，做了方程的变形（此处通过教材阅读进行复习）。你能写出它们的一般形式吗？

学生：Ax+By+C=0。

教师：关于Ax+By+C=0 的方程都表示直线吗？

学生：不是！A，B 都是0 的时候行不通（举例说明A，B 中有一个为0 的情况）。

问题：关于x，y 的方程Ax+By+ C=0（A，B 不全为0）都表示直线吗？请你利用所学的知识加以说明。

学生分组进行讨论交流。

问题：平面内任意一条直线是否都可以用形如Ax+By+C=0（A，B 不全为0）的方程来表示？（你能否把平面的直线用方程来表示呢？）

学生分组进行讨论交流。（完善图1）

从课题及教材内容上来说，本课题的主要任务是思考直线与一元二次方程Ax+By+C=0（A，B 不全为0）的联系，应该包含两方面：直线的方程、方程的直线，即图1 中的虚线所示，两者直接关联。需要注意的是，直线作为未定义的原始概念，无法像研究譬如曲线这种具有明确概念定义那样去验证。由此，本节课看上去是严格论证，实际上推理被分成了两个阶段，一段是不严格的，作为原有知识（直线与方程y=kx+b 及x=x1的关系）；一段是严格的，建立方程y=kx+b 或x=x1（数）与一元二次方程Ax+By+C=0（A，B 不全为0）的关系，其中严格证明的后一段才是本节课的重点。透过教材字面上的含意，本节课的知识涉及初中的几何与代数、高中的解析几何与代数。分析整个知识框架，我们便能清楚地知道教材将此部分内容归结为数与数之间的推导之用意，从而才能让学生得以明确，这一点对高中阶段曲线方程的研究非常重要，能帮助学生准确认识数学中的逻辑，体会数学真理的严谨性和精确性。

图1

二、理解教材数学，还原知识的演绎过程，完成知识的有效建构

德国数学家菲利克斯·克莱因指出：“科学的教学方法只是诱导人去科学地思考，并不是一开头就教人去碰冷漠的、经过科学洗练的系统。”

数学有三种形态：第一种，原始形态，即数学家发现数学真理、证明数学命题时进行的曲折的数学思考；第二种，学术形态，是数学家发表论文所采用的形态；第三种，教育形态，是通过教师的努力，启发学生高效地进行思考，使数学知识体系更容易被学生所接受。

专家采用教学法的加工方式，将高深的数学知识、复杂的逻辑演绎、深刻的数学思想通过教材的形式展现给学生，知识本质在教材表现形式的影响下则会趋于隐蔽。教学过程中，教师在考虑学生接受能力的前提下，应该尽可能挖掘显性知识背后的隐性知识，保证数学知识的发现过程与数学的原始演变保持一致或者相似。这样同步的思维，对学生认识数学知识的本质，培养提出问题、分析问题和解决问题的能力，从而提高数学素养至关重要。

以“导数在研究函数中的应用”一课的教学片段作为案例：

问题：对任意连续函数y=f(x)在区间I 上f′(x)＞0 恒成立几何意义是什么？

学生：函数图像在区间I 上任一点处切线斜率大于零。

问题：要证明函数y=f(x)在区间I 上单调递增，依据函数单调性的定义，我们研究什么？

学生：（1）任取x1，x2∈I，且x1＜ x2，有f(x1)＜f(x2)成立；

（3）函数图像在区间I 上连接任意两点割线的斜率都大于零。

教师：原来函数在区间上单调也具有类似的几何意义。

问题：如果函数y=f(x)的图像连续且在区间I 上f′(x)＞0 恒成立，则函数y=f(x)在区间I 上单调递增（见图2），你能说明原因吗？

图2

导数与函数、方程、不等式及解析几何等相关内容密切相关，但主要是扮演工具的角色。从教材编写的角度来看，通过大量的实例由浅入深逐层展示导数学习过程中所蕴含的数学思想及方法；从整个知识的发生发展过程来看，其与学术形态的导数有非常大的区别。教材在阐述导数与单调性的联系时，将单调性与平均变化率建立联系，然后借助图形进行直观理解。严格的数学证明需借助拉格朗日定理来完成，将严格证明思路图形化，让学生直观感受导数与单调性的关系，不仅减少了学生学习的困难，也有利于学生从数学本质的角度理解问题。

三、优化课堂教学，体验知识的数学价值，促进学生的深化理解

在数学课堂教学中不仅要关注数学活动获得的成果，还要关注学生的思维活动过程是否与数学知识的发生发展过程相一致，从而保证学生数学思维结构的形成与发展。教师经过数学学科专业的训练，能够从学术角度审视教学内容，并统一知识的表达形式，明晰研究对象的本质。而学生的思维过程则与知识应有的发展过程有着比较明显的差异。因此，要让学生经历知识的发生过程，增强课堂活动的开放程度，引领学生参与数学活动，让思维成为“可见”的存在形态。在思维的展现过程中，让学生的思维结构与知识的生成过程一致或者相似，这种一致或者相似的结构，对培养学生掌握数学思维、提高数学素养非常重要。

以苏教版选修2-2“空间向量的坐标表示”一课的教学片段作为案例：

通过“平面解析几何初步”这一章中的学习，在学生已经学习了空间直角坐标系，并能用坐标表示空间任意一点的位置的基础上，教师对学生提出两个问题。

问题1：你能类比平面向量的坐标表示，用坐标表示空间向量吗？

问题2：空间向量可以用坐标表示，空间中点的坐标是否与向量的坐标有联系呢？

在问题的引导下，教师围绕空间向量的坐标表示，引导学生进行类比学习，针对学生在解决问题过程中出现的思维缺陷暴露出的问题本质，组织学生进行交流、对话，及时捕捉他们存在的困惑及障碍点。同时，针对学生暴露出来的思维障碍点，利用更高层次的思维引领学生思考。另外，教师也要站在学术思维的立场上理解教材中的内容，从学生的思维出发，抓住教材突出的基底在向量研究中的重要地位与学生学习中产生思维偏差的问题根源，问题越探越明，思维越探越清，本质越探越透，把学生思维缺陷的本质完全暴露出来，在向更高层次的思维发展的同时加深对基底与坐标关系的理解。

教材是数学知识的呈现载体，我们要利用数学的专业修养，对数学内容所反映的理性精神有较深入的体会和理解，弄清数学知识的来龙去脉，区分体现数学核心本质的本源性问题与无关数学本质的“细枝末节”，挖掘数学知识本身的育人价值，伴随着学生的思考，使学生的数学思维得到训练与发展，以达到培养学生数学素养的目的。