两种非同质食品捆绑销售的捆绑订购模型研究

(1.浙江工业大学 管理学院，浙江 杭州 310023；2.浙江工业大学 经济学院，浙江 杭州 310023)

捆绑销售往往是将几种不同的商品捆绑在一起销售给顾客，因此零售商可以采用一种捆绑订购手段，就是同期按捆绑销售的比例订购捆绑物品。易腐产品的捆绑销售最早起源于20世纪70年代[1]，已有大量学者从多角度研究时鲜食品的捆绑策略、定价方案等[2-6]，但大多以单一产品为对象，这可能低估了非同质食品的捆绑订购研究在现实市场上的作用。而订购研究是捆绑销售领域新兴的研究方向。首先，有关易变质产品的订购研究，不少以EOQ模型为依托[7]，最典型的则是报童模型。在现有研究中，不仅有利用报童模型求解不确定需求下单一产品的最优时间决策及最佳订购决策[8]，还有根据某单一产品易腐烂的特性考虑随机需求和价格折扣问题并构建报童模型求解[9-10]。此外，为追求研究的多元化，更有在研究某种西红柿的订购时间和数量的同时为其设定合理的存储时间[11]。上述研究成果是近年来捆绑销售订购研究方面较有代表性的成果，但其研究对象大多性能简单且单一，由于非同质食品的捆绑销售须考虑易腐性及不同产品的性能，获得合理的建模结果难度较大，而当前的非同质产品捆绑研究在充分供应产品的隐含假设下通常不考虑库存问题[12]，这是笔者试图解决的问题。

因此笔者考虑了一个需求不确定条件下的零售商主导的非同质食品捆绑销售的订购问题，以畅销食品捆绑滞销食品为非同质食品这一研究对象为具体表现形式，并为这两组件的纯捆绑订购模型假定了一个单周期的背景，采用的建模方法与不确定市场需求环境下的经典报童模型有关。

1 模型建立

下面建立两组件单周期单决策变量的主动捆绑订购模型，假定两产品中一种为畅销食品(简称畅销品)并默认为产品1，该种产品捆绑失败后返厂加工以获取残差w1；另一种产品为滞销食品(简称滞销品)并默认为产品2，该种产品捆绑失败后则直接当垃圾处理且处理费为w2，为加速滞销品的销售，两种产品通常以1∶n的捆绑比例销售。由零售商决定捆绑产品的订购量，不同的捆绑比例会对消费者产生不同的吸引力，因此引入销售影响因子α来表示由于捆绑实际销量占总订购量的比例，由于两产品捆绑作为整体销售，α对两产品的影响效果一致。此外，为促进销量，零售商引入折扣系数γ,η作为两产品的价格折扣参数，使捆绑产品的定价更具吸引力。而关于成本部分，c1,c2是零售商订购两产品的购入成本，而c0则表示将两产品捆绑起来的人工等费用。最后，为了使分析更具可靠性，假定顾客需求D服从正态分布，这种分布能使捆绑产品需求量更接近实际特征[13]。表1展示了各个参数变量以及决策变量q。

表1 参数符号以及含义表Table 1 Parameter notation and meaning

为了使模型表达的含义更清晰简明，对下面两图进行可视化表达，图1展示了捆绑产品的构成图，图2展示了供过于求时的处理方案，图2中D1与D2成比例。

图1 捆绑产品构成图Fig.1 Bundled product composition diagram

图2 供过于求时的处理方案图Fig.2 Processing plan diagram of oversupply

将两产品捆绑销售以提高销量及总利润。且零售商订购产生利润公式为

(1)

其中，由于仅将两产品纯捆绑销售，因此两产品按相同比例1∶n进行捆绑订购以及捆绑销售，因此有q2=nq1，D2=nD1,此时原始模型等同于

π1=ED1[γp1-c1]min(αq1,D1)+n(ηp2-
c2)min(αq1,D1)+r(αq1-D1)++
ng(αq1-D1)+-(1+n)q1c0

(2)

式中：ED1[(γp1-c1)min(αq1,D1)]项表示零售商实际销售出去的捆绑产品中产品1的净利润；ED1[n(ηp2-c2)min(αq1,D1)]项表示零售商实际销售出去的捆绑产品中产品2的净利润；ED1[r(αq1,D1)]+项表示产品1捆绑失败后返厂产生的净残值；ED1[ng(αq1-D1)]+项代表产品2捆绑失败后产生的净损失费；(1+n)q1c0项表示零售商需支付的将产品捆绑起来的人工费用。

上述利润公式可以改写为

(3)

合并同类项，得最优模型为

(4)

由于r=w1-c1，g=w2-c2，因此有

s.t.q1≥0

(5)

对q1求偏导，则有

(6)

可以得出以下定理：

定理1两种产品的最优订购策略为

(7)

(8)

(γp1-c1+nηp2-nc2)α≤(1+n)c0≤
(w1-c1)+n(w2-c2)

(9)

如果(1+n)c0=(γp1-c1+nηp2-nc2)α或等同于(w1-c1)+n(w2-c2),则F(αq1)=0或1。假定(γp1-c1+nηp2-nc2)α<(1+n)c0<(w1-c1)+n(w2-c2)在下文中恒成立。

从上述公式中，可以得到如下推论：

2 结果与讨论

前提假设：本研究讨论捆绑比例为1∶n的最优订购问题，实际中n一般不超过5，在此处仅讨论n=1～5的情况。根据调研实际市场假设基本参数如下：p1=55 元，p2=35 元，c1=20 元，c2=15 元，c0=0.8 元，w1=10元，w2=5元，γ=0.7，η=0.7，μ=1 000，σ=100。此外，数值仿真实验中主要涉及总利润、总订购量和单位利润这三项指标，不同的指标组合分析能获得多个最优订购策略，在本研究中可以按零售商的不同销售目的来对应选择最优订购策略，其中总利润和总订购量两项指标的组合分析能得到零售商以倾销为目的时的最优策略，而总利润和单位利润两项指标组合分析能得到零售商以高利润为目的时的最优策略。具体分析在下面展开。

2.1 销售因子α变动对订购策略的影响

随着捆绑比例中n值的增加，捆绑产品的吸引力逐渐下降。换言之，当n为正整数时，销售因子α应为递减函数。根据市场规律假定α分别服从线性函数与非线性(开口向下的抛物线)函数：α=b1-0.1×(n-1),α=b2-0.025×(n-1)2。b1,b2的值分别依次取1.0，0.85，0.70，0.55。并将不同α表达式下，n=1～5对应的总利润、总订购量，以及畅销品、滞销品的单位利润进行对比分析得出最优订购策略。

图3(a，b)代表α为线性函数时的总利润、总订购量、单位利润及最优捆绑比例的变化情况。首先，同一捆绑比例下，随着α的增加，总利润显著提高，但总订购量却下降，说明α越大，产品的售出率越高，捆绑失败后需要处理的产品数量越少，因此利润上涨。其次，在同一个α表达式下，随着n的增加，总利润增长速度减缓，当α小到一定程度，如图中的α=0.55-0.1×(n-1)曲线上，n大于4以后，总利润负增长，一方面说明n增大到一定值，捆绑促销的效果反而变差，另一方面也说明α过小对总利润的消极影响较大。然而，总订购量在同一α表达式下加速上涨，此时总订购量在增加，单位利润却平滑下降，说明α的表达式不变时，单纯增加单位捆绑产品中产品2的数量不能提高利润。最后，当α表达式中的常数b1不同时，最优捆绑比例也发生了变化。比较图3(a，b)发现：两图代表了两种不同目的下的最优订购策略，图3(a)中总利润和总订购量均较高时可以实现倾销滞销品的目的，α较大时，最优订购比例为1∶5，当α极小时，最佳订购比例中的n会逐渐减小；而图3(b)中对应的曲线交点代表总利润和单位利润两者均较高，此时可以实现高利润的销售目标，随着α表达式中b1值的增加，最优订购策略逐渐从1∶2变化到1∶3，这表明当α较大时，随着n的增加，捆绑产品对消费者产生较大的吸引力且价格更优惠，零售商也能实现较高的出售率和较低的订购量，是比较理想的订购策略。图3(c，d)代表为非线性表达式下的总利润、总订购量、单位利润以及最优捆绑比例的变化情况。图3(c，d)曲线的整体走势与图3(a，b)相似，但细节部分存在差异。首先，在b2的不同非线性表达式下，当n较小时，总订购量增长缓慢，但总利润却增长较快，这导致了单位利润的减速下降，而当n较大时，则出现了相反的情况。将α为非线性与线性表达式的利润与订购量相比较，在整体上，非线性表达式下的利润更可观，但总订购量更少，尤其是当n处于中间值的时候。这是由α值在非线性表达式下随n的增加加速减小与均匀减小的差异带来的，但在现实中，销售因子α随n的线性增加而线性递减是不符合逻辑的，在滞销品与畅销品的捆绑产品中，每增加一个滞销品的数量都会加速消费者对该捆绑产品的厌恶。

图3 参数α变化的最优捆绑策略变化趋势图Fig.3 The optimal bundling strategy with changes in parameter α

结果表明：销售因子α呈非线性变化更贴合实际。在数值实例中，以倾销为目的的最优订购策略为在α=1.0时，按1∶5订购，以利润为目的的最优订购策略为在α=0.8时，按1∶3的比例进行订购。在理论上α值越高对零售商越有利，但这与实际不符。有关销售因子的分析是前人研究未涉及的，笔者认为以一种产品为主导的捆绑，其实际销量必然不同于两产品的单独销售的销量，且不同捆绑比例下产品对消费者的吸引程度不同，因此在研究中引入参数α的非线性表达式代表不同捆绑比例下的实际销量占总订购量的比率十分有必要，这将捆绑销售的订购研究向实际化推进了一步。

2.2 不同捆绑比例对最优订购策略的影响

为了得出不同α背景下，捆绑比例变化对订购策略的影响，并结合在实际中α值不会低于0.5(否则对滞销品进行捆绑销售将失去意义)，假定α分为1.0, 0.85, 0.7, 0.55，并在此背景下改变捆绑比例，得出相对最优的订购策略。

从图4(a)中可以看出：随着n的增加，总利润线性增长，但观察右纵坐标轴，总订购量却缓慢下降。在α表达式与之相同的图3(a)中，随着n的增加，总利润与总订购量均显著增加，两图的结果形成鲜明对比。说明在同一α表达式下，若α为固定值，随着n的增加，总利润会呈线性增加且基本不影响总订购量，若α与n同时发生变化，α的减小会对总利润和总订购量分别产生消极影响和积极影响。从管理学意义上讲，当α较小时，代表捆绑产品的实际销量占捆绑产品的总订购量的比例越小，此时需要订购更多的产品达到计划中的实际销量，由于大比例的捆绑产品要在失败后被返厂处理或直接当垃圾处理，此时会让产品的平均利润大大下降，因此会对利润和订购量分别产生消极影响和积极影响。图4(b)中的畅销品，滞销品的单位利润呈减速下降趋势，递减的速度明显低于图3(b)中，原因同上。

图4 捆绑比例(1∶n)变化的最优捆绑策略变化趋势图Fig.4 The optimal bundling strategy with changes in bundle ratio (1∶n)

结果表明：总利润高不代表产品的单位利润高，在实际中单位利润更能代表零售商的盈利率，但不同的销售目标对应不同的目标参数分析和最优捆绑策略，两者均高是比较理想的。观察图4可知：若以倾销为目的，在总订购量的变化极小的前提下总利润越高越理想，此时订购比例1∶5，α=1.0的订购策略是理想的。若以利润为目的，需保持总利润和单位利润均最高，此时，随着α从1.0降低到0.55，最优捆绑比例从接近1∶4变化到接近1∶2，因此将捆绑比例设定为1∶3左右比较理想，而α则是越高越理想。在现实中，零售商需要根据滞销品的数量以及临期的时间先明确捆绑销售的目的是倾销还是盈利，据此给定合理的捆绑订购方案。虽然少有研究关注不同捆绑比例下的订购研究，但确定合理的捆绑目的和捆绑比例有助于得到合理的订购策略。

2.3 两种产品在不同价格方案下对最优订购策略的影响

选取图4(b)中利润与销量均较为理想的参数值α=0.8，n=3，产品价格定位为35～55的中档零食。价格变化有如下4种情况：仅产品1价格变化(递增)；仅产品2价格变化(递增)；产品1，2价格同时变化(递增)；产品1，2的价格一个递增、一个递减，价格变化均以价格折扣参数γ,η表示，下面简称折价参数。结果如图5所示。

图5 折价参数γ,η变化的最优捆绑策略变化趋势图Fig.5 The optimal bundling strategy with changes in discount parameter γ,η

对比图5(a)中滞销品折价参数保持0.7不变，畅销品的折价参数从0.5增加到0.9的曲线以及畅销品保持折价参数0.5不变，滞销品的折价参数从0.5增加到0.9的曲线，可以发现：由于n的存在，滞销品价格的变化能够引起总利润的快速上涨；当两种产品的价格参数同时递增时，利润曲线的增速最快；当畅销品的折价参数线性递减，滞销品的折价参数线性递增时，总利润平缓递增，表明n份滞销品折价参数的递增抵消了1 份畅销品折价参数的递减对总利润产生的消极影响；当畅销品的折价参数递增，滞销品的折价参数递减时，由于1 份畅销品折价参数的递增无法抵消n份滞销品折价参数的递减，总利润呈下降趋势。图5(a)中，滞销品的价格变化比畅销品对总利润的影响更大，且n越大，差距越明显。

图5(b)中，随着两产品价格折扣参数的改变，曲线整体呈非线性变化，当两产品价格较低时，价格变化对总订购量影响较大，且变化剧烈，但当价格折扣参数的值大于0.7时，价格变化对总订购量表现为平缓的积极影响。图5(c)的曲线均为线性递增曲线，说明仅当两种产品中的任一种或两种产品的价格折扣参数均发生变化时，畅销品和滞销品的单位利润均呈正相关线性变化。

结果表明：由于单位捆绑产品中滞销品有n份，价格折扣参数变动时，滞销品对总利润、总订购量以及单位利润的积极影响较大。将畅销品与折后价较高的滞销品捆绑销售能获得较大的利润和订购量。在该固定条件下，当两产品价格折扣系数均为0.9，α=0.8，捆绑比例为1∶3是理想的订购策略。有关价格方面的分析是历来订购研究的分析要点之一，现有的研究大多以价格与其他参数同时变化的双参数分析[10,14]，且价格均为由小到大变化，而笔者研究了非同质产品的捆绑销售，使两产品服从两种不同的价格变化趋势并得出最优捆绑策略，笔者认为两产品的价格同时独立变化可以为实际中的价格决策提供参考。

3 结 论

笔者研究了单周期单变体共享两组件的纯捆绑销售订购问题并建立了相应的模型。数值仿真结果显示：最优订购策略不具有唯一性，在现实生活中，唯一的最优订购策略不能适用于产品所处生命周期不同、零售商的销售目的不同以及市场内替代产品的上市等情形，考虑研究的复杂性及困难程度，笔者暂时只考虑了销售目标不同时采用非唯一最优订购策略。可以说，最优订购策略具有非唯一性能使得订购策略具有灵活性，可以根据不同时期不同的销售目标及时调整订购策略，有效减少时间延误，加快销售进程。此外，由于滞销品在单位捆绑产品中所占份额较大，与滞销品有关的参数变量对订购策略与利润的影响较大。本研究的主要贡献是研究了非同质食品捆绑销售的订购策略，并引入了新参数：由于捆绑对产品实际销量产生的消极影响因子α以及价格折扣参数γ,η，使捆绑销售的订购研究细致化，更贴近实际，为未来的研究工作提供了参考。但本研究涉及的角度较窄，在未来还有很多方面值得进一步研究：1) 可以将捆绑销售的订购研究置于与同行竞争的市场环境中；2) 将捆绑销售的零售商明确为市场中处境艰难的中小企业，研究成果会更具现实参考价值；3) 在捆绑环境下采用零售商与消费者博弈的方法来探寻双方均获利的均衡解；4) 考虑产品的互补性；5) 考虑多阶段的情况。