复变函数教学策略与内容改革探析

陈莉 王鹏

【摘要】复变函数课程是工科专业尤其是电子、网络、计算机、机电等专业的必修课，在整个课程体系中占有非常重要的地位与作用.该课程原理、规律多，内容抽象、枯燥，且需要理解的概念、定义多，是学生较难学的课程之一.随着计算机的飞速发展，传统复变函数教学已不能适应高校现代化教学.本文从教学改革和培养应用型人才的全局出发，结合复变函数课程的特点提出了复变函数教学改革的必要性，给出了几点复变函数教学策略和教学内容上的调整.

【关键词】教学策略;教学改革;理念创新

【基金项目】2018年广东省教学质量工程项目（GDJX2018004）;2018年广东省教学改革项目（GDJX2018015）.

复变函数是综合性大学和高师院校数学专业的一门重要课程.它在数学的其他分支中也有着重要的应用，而且作为一种强有力的工具，还被广泛应用于自然科学的众多领域，如理论物理、空气动力学、流体力学、弹性力学、自动控制学、信号处理、电子工程等领域.因此，该课程的学习对理工科学生而言是他们进一步学习不可或缺的内容.复变函数理论也是我国数学工作者从事研究最早也最有成效的数学分支之一.经过几十年的努力，复变函数课程的建设及发展取得了令人瞩目的成绩，但随着我国教育体制以及教学内容与教学方法、教学手段的改革，对复变函数课程的教学提出了更高的要求[1].如何合理利用有限的课堂时间，调动学生的学习积极性，熟练掌握复变函数的理论知识，真正掌握复变函数这门课程是目前教学中要探讨的主要问题.通过这几年的教学实践，对复变函数的教学进行了思考与探索，通过以下几个方面谈一下自己的认识.

一、将类比的思想融入复变函数的整个教学过程

复变函数作为实变量函数的后继课程，很多概念都继承了实变量函数的定义方式，如极限、连续、导数、积分等.因而，在教学中，首先要让学生对实变量函数中这些基本概念有准确的把握，尤其要厘清连续、导数、积分等都是采用极限来定义的;同时，在处理和掌握这些概念时，应类比出这些概念的定义所采用的方法是从实变量到复变量，讲解时应用“已知”解决“未知”的教学思想方法.如，复函数w=f（z）是自变量z的一元函数，而实一元函数y=f（x）是学生很熟悉的，因而，与实一元函数的极限进行类比，易于理解和掌握.一元复变函数极限与实变函数极限的定义的形式一样，都是利用“ε-δ”定义的，但复变函数中z→z0是指z在复平面上沿任何方向或方式趋向于z0，而实变函数中x→x0是指x沿实轴从左右两方向趋向x0，也就是说，这里的z→z0与x→x0的方式是不同的.又如，讲复变函数导数定义时，与实分析的一元实导数和二元函数的导数（即偏导数）概念做对比，三种导数的定义，其实质是相同的，皆为因变量增量与自变量增量比值的极限.在教学中注重与实变量函数相似类比的同时，更要抓住不同点，如复变函数中的指数函数是周期函数、三角函数的正余弦函数不再有界等等.不仅要比较与实函数中概念的异同，而且要比较复变函数概念间的相互联系，真正把理解和掌握基本概念作为学好复变函数的首要任务，做到灵活应用相关的基本概念[2].

二、更新教学内容，融入建模实例

考虑到复变函数在很多领域中都有广泛的应用，因此，在教学中我们可以把当前的一些比较成熟的、前沿的成果或具体应用拿出来作为教学实例融入教学中，同时要考虑到学生的心理认识水平与课程的内容、思想、方法，故实例的选取不宜过于复杂.选取的每一个实例不仅要反映出复变函数相关知识的本质，还要简明易懂，能激发学生的学习兴趣，更能让学生感受到这个例子就在我们身边，就在日常生活中，消除“复变函数没什么用”的观点.这就要求教师恰当选取模型实例，优化教学内容，突出课程应用性，从而达到培养应用型人才的目的.如，在讲第一章复数的辐角时就可以引入照相机的例子，通常照相机分为两种，一种是普通相机，一种是数码相机，若同学们仔细对比两个相机所照的照片就会发现，数码相机照出的照片更有立体感，其原因就在于数码相机不仅反映出复数的模（距离），同时还反映出复数的辐角（点的位置）.这样的实例将学生对复数的认识与生活对接，既能开阔视野又能对后面章节的学习起到铺垫的作用.在讲第三章复积分之后，给出一个模型实例让学生探讨“如何测量地心温度”，并启发、引导学生发现“以通过测出地球表面各点的温度，再结合柯西积分公式，最终计算出地心温度”，这不正是柯西积分公式的实际应用吗？通过融入这样的建模实例，帮助学生摆脱了只会用柯西积分公式计算的状态，而提高了应用柯西积分公式去解决实际问题的能力[3].在讲解幅角原理时，可简单介绍它在电学中的应用;在讲授共形映射这一内容时，亦可介绍它在分形几何中的应用以及复动力系统研究方向的最新动态.总之，坚持实用性与前瞻性原则，既熏陶了学生稚嫩的学术情结，也符合教育部本科水平教学评估中关于课堂教学中要加大信息量以及教学内容要反映或联系学科发展的新思想、新概念、新成果的理念[4].

三、增开复变函数实验课

伴随着计算机的飞速发展和数学软件的迅速成长，许多与数学相关的实际问题的解决都需要通过计算机来完成.结合以往的实践教学改革，认为在复变函数的教学过程中可增开实验课，这样不但可以提高学生对复变函数的学习兴趣，还可以增强他们的实际动手能力.复变函数的实验一般要结合物理应用背景，以数学软件为工具，模拟实际环境进行教学.在复变函数教学中可开设2～3次实验课，主要是让学生利用类比的方法来解决复变函数方面的一些实际问题，从而提高学生的积极性、创造性和解决问题的能力.也可以融入课后作业，在以往的复变函数教学过程中，给学生布置的作业基本上是出自书中的课后习题，然而课后习题陈旧、形式缺乏、应用性严重不足，这严重地影响了复变函数的教学效果.因此，为改善这种局面，在作业的布置上可适当增加一些开放性的课后作业，如可以安排一些与高等数学知识相关的复变函數问题，这样可以培养学生的迁移能力、创新能力;也可以增加一些利用数学软件能完成的复变函数方面的应用题，从而达到对学生的实际应用能力的培养[5].

四、合理利用多媒体辅助教学

数学是一门逻辑性非常强的学科，注重逻辑推理演算，若单纯采用多媒体进行教学，往往不能取得较好的效果，但作为辅助教学手段，会起到积极的作用.因此，在上课过程中，在传授与反馈知识等方面，传统的黑板教学能通过教师与学生的直接交流把数学思维的发展、形成“原味原汁”地传授给学生，更有利于培养学生的抽象思维能力;而理论叙述和实际应用则采用多媒体.例如，通过三维图形展示某些初等函数的实部与虚部、模与辐角;动态演示复积分的定义、解析函数导数的旋转角不变性和伸缩率不变性等.用直观的图形来演示，学生就会感觉很形象直观，易于理解，激发了学生学习的热情，变被动学习为主动学习.动静结合，教学效果大为提高.教师还可随时方便地使用投影仪将手头现有的文宇或图片资料投影于大屏幕上，包括用此方法来讲评学生作业，方便、快捷.

五、改革考核形式

以往复变函数课程的考核都是采取闭卷考试，考试题目大都出自书中的例题和课后习题，或是出自书中的某些基本概念和定理，都是注重理论推导、手工计算和证明.这样的结果是只能考查学生的识记能力，而无法考查学生的迁移和应用能力，从而直接导致很多学生高分低能，无法在复变函数学习过程中理解和提炼数学思想和方法.这种方式与我校所提倡的应用型人才培养模式是相违背的.考虑到这样的不足，我们可以尝试在考核方式上做出一些调整.可以把考核方式分为两部分：理论考试和上机考查.对理论考试部分，可适当增加一些开放型的简答题，需要学生比较复变函数和高等数学中一些知识点的异同;对实验上机考查部分，可主要考查学生利用已有的高等数学实验基础通过类比的方法解决一些与复变函数有关的实际问题.

六、结束语

复变函数教学方法与内容体系的改革应力求做到使教学具有生命力，富有时代性，能跟上现代科学技术发展的步伐，能更好地培养学生综合运用数学知识的能力，更好地满足现代科学技术对数学的要求，在教学过程中培养学生的创造性数学思维能力.但是体系的改革是一项巨大的系统工程，尽管前人已经做了很大的努力，但仍有很多方面不尽人意，还有待于我们进一步地探讨和完善.

【参考文献】

[1]刘小松.高师院校《复变函数》课程的教改[J].湘潭师范学院学报，2007（4）：175-176.

[2]陆平，刘转转，杨明.复變函数与积分变换课程教学内容改革探索[J].中北大学学报，2007（S1）：168-169.

[3]谷群辉，郑洲顺，何勇，等.本科应用数学专业复变函数课程教学方法的改革与实践[J].数学理论与应用，2002（4）：24-26.

[4]秋生，王丽.工科复变函数与积分变换课程教学改革初探[J].宜春学院学报，2008（2）：71-72.

[5]孙清华，孙昊.复变函数的内容、方法与技巧[M].武汉：华中科技大学出版社，2003.

[6]付爱玲.类比建构对复变函数教学的启示[J].中国科技信息，2010（18）：119.