利用函数的不动点法求解数列的通项公式

卢良琦

【摘要】利用函数的不动点法求解数列的通项公式是高中数学常用的方法之一，该方法适用于数列中后一项与前一项存在关于项数的数量关系再求通项公式的情形，本文证明了在含有后一项与前一项的单项式中且两者在次数相同（单调性函数的不动点问题）情况下的三种情形并给出了规律性的结论.把后一项与前一项都看成同一未知数再转化成一元二次方程后，当Δ>0，通项公式既可能为常数列，也可能为分子与分母都有指数形式的分式，当Δ=0，通项公式既可能在某项中不存在，也可能是常数列，还可能是基于反比例函数的某种平移的结果，当Δ<0，通项公式既可能为周期数列，也可能是相对其他情况下最复杂的数列.通项公式在形式上的不同不仅取决于Δ，还取决于首项与一元二次方程的根的大小关系或一元二次方程的两根的乘积是否为一.

【关键词】高中数学;函数的不动点;通项公式;周期数列

結论一：

当Δ>0，通项公式会因首项与一元二次方程的两个根是否相同而有形式的明显不同！

当首项与一元二次方程的两个根相等，通项公式全是与首项相等的常数列.

当首项与一元二次方程的两个根不相等，通项公式是分子与分母都为指数函数的分式，且后一项的分母是前一项的分子（不通分的情况下）.

结论二：

当Δ=0，通项公式会因首项与一元二次方程唯一的根在大小的较量上不光有形式上的不同，还有不存在的可能！

当首项小于一元二次方程的根，通项公式在某项中不存在！

当首项等于一元二次方程的根，通项公式全是与首项相等的常数列.

当首项大于一元二次方程的根，通项公式是通过反比例函数偏移后的函数，且后一项的分母是前一项的分子.

结论三：

当Δ<0，通项公式会因两根乘积是否为一有明显形式上的不同！

如果两根像两个互为倒数的实数一样的乘积是一，不区分因比较首项与一元二次方程的根的大小的情况，通项公式是分子与分母都为三角函数的分式且是最小周期为正整数的周期函数！

如果两根乘积不是一，规律在三种结论中最不明显.

【参考文献】

[1]林国夫.利用函数的不动点求数列的通项公式[J].数学通报，2008（12）：44-45.

[2]司志本.关于基本初等函数不动点问题的一点探讨[J].中学数学教学，2017（5）：13-15.

[3]陈永明.关于函数的不动点[J].高中数学教与学，2005（2）：48.

[4]王良成.关于单调函数的不动点问题[J].数学通报，1994（3）：32-34.