凸显概念本质 促进有效建构

刘文东

摘 要：图形与几何概念的教学中，老师借助直观手段时，学生思维活动的情况影响着他们对概念的理解水平，决定了他们对概念本质接近的程度，因此，要精心设计教学活动，激活学生思维，引导他们从概念表象顺利提升到理性认知。老师应该把握思维起点，引导经历多元表征的过程，夯实思考的土壤，抽象概念;或从结构化的视角，加强关联与对比，引导构建知识网络，拓宽思维广度，加深概念的理解;或凸显学科特性，引导探究在表面现象下隐藏的数学问题，提高思维深度，靠近数学本质。进行有思维的概念教学，也是培养学生数学核心素养的要求。

关键词：几何;教学;图形

概念既是思维的基本形式，也是思维的基本单元，图形与几何的概念也不例外。然而，有的老师把“教概念”变成“教定义”，学生的学习过程是模仿、记忆和强化训练的过程，日久则思维僵化。单纯、孤立地教学概念是没有意义的。只有了解学生的认知起点，精心设计教学过程，引导学生“经历图形的抽象、分类、性质的探讨、运动、位置确定等过程……”，进行深入思考和表达，在过程和思考中贴近知识本源，才能让学生把概念完美内化，建构概念体系，提升核心素养。在此，以“认识三角形”为例谈谈对图形与几何概念教学的一些思考。

一、 感悟概念的形成之理

每个概念有其形成过程，蕴含本源之理，即使是“司空见惯”“显而易见”的知识，也有其丰富的内涵，不可忽视。学生对于三角形的认识，基本来源于生活经验以及前期学习时接触的学具、图形等，关注了较浅层次的形状、大小等表层的物理现象，认为“三角形是三个角、三条边组成的图形”。但三角形“太常见”了，以至于教学时它的概念总是“告知”给学生的。当我们在情境中唤醒学生的已有经验后，如果再进一步，引导经历操作表征、图形表征的过程，体验概念形成的每一个环节，边看、边做、边思考，就是挖掘了概念背后的价值，让学生在过程中感悟概念的本质。教学案例如下。

（一）搭一搭

师：你会用小棒搭三角形吗？师：（先出示两根小棒）这两根怎样搭？生：连起来。师：（演示将一根小棒的一端与另一根上的任意位置搭在一起）是这样吗？生：不是，要把两根小棒的一端连在一起。师：（出示第三根）第三根又怎么搭？生：把这根小棒的两端和前两根的连在一起。师：连了一端。第三根小棒太短了，怎么办？生：旋转其中一根，角度变小就可以了。师：（搭成完整的三角形）

（二）画一画

师：画一个三角形，画好了和同桌互相说一说画法。要说出画的次序哦！师：点名展示学生画出的不同类别的三角形，说一说画法，而后课件演示与归纳，包含两个方面：不管形状有怎么样的差异，它们都是三角形;不管画法如何，最终三条线段都是端点相连。

（三）说一说

师：根据刚才的学习，谁能说一说什么样的图形是三角形？要求让人听了以后，一定就知道是三角形，而不会是别的图形。

……

上述小环节中，老师将概念解构，在演示與对话中，引导观察、思考和表达，亲历三角形概念的形成过程，对概念进行了实物、操作、图形等多元表征，突破概念中“点、线段、连接”这一关键点的理解，使得概念的抽象表达不断完善，培养了用数学语言进行概括与抽象的能力。

二、 追究概念的深层之因

引导观察，激发思考，用已有的知识、能力基础去解释、阐述新的知识，解决新的问题，是引领学生触摸和理解概念本质的常用方法。如果老师抓住机会，引导关注探究活动中观察到的现象，提出有价值的问题，激发认知冲突，展开思考与辨析，将有利于推动学生学习的深入，从而进一步理解概念的内涵。比如，对于“三角形具有稳定性”的教学。

教科书安排的例题中，要求学生用3根小棒围三角形，用4根小棒围四边形，看看各能围出几个。（小棒的长度都一样。）上课时，老师基本是在活动后引导讨论，以摆出四边形形状的多态性与摆成三角形形状的唯一性为对照，得出“平行四边形易变形，三角形具有稳定性”的特性。这样还不够，因为学生的经验无法将此“唯一形状”与彼“稳定”联系起来，这是数学语言与生活经验脱节问题。一般情况下，老师会安排“拉一拉”的教学环节：拉一拉平行四边形，形状会变吗？再拉一拉三角形，形状会变吗？然而，拉不动三角形，体现的应该是物理学意义上的“稳固”，不能很好地说明数学方面的特性，老师可以引导深入分析，从数学的角度解决问题。

师：（拉动搭成的平行四边形教具，使之变形）仔细观察，平行四边形的什么变了？什么没变？生：四条边的长度不变。角度变了，面积变了，大小变了……师：（拉动搭成的三角形教具）三角形呢？生：边、角度、面积都不变……师：（把围成的三角形教具去掉一条边）只有两条边的时候，它们可以随意转动。（再搭上第三条边）这样呢？生：第三条边把前两条边都固定住了。生：第三条边撑住了，转不动了，角度就不变了。师：三条边长度确定了，三角形的形状、大小就确定了。师：（引导观察平行四边形）怎样让它也稳定起来呢？生：去掉一条边。生：加一条小棒，连接对角。

……

以上过程关注了知识脉络与学生经验的连接，从数学的角度解释了“稳固”的原因，再结合“同样长度的三根小棒只能围一个三角形”的经验，学生对“稳定性”的理解就是有形又有质，对概念的理解由浅显步入了深刻，进入深度学习的状态。

三、 搭建概念的关联网络

小学数学概念的引入，一般可以分为两种情况：一是某一个知识模块中第一次学习的知识，没有基础;二是有了相应的已学过的知识与新概念关联与类比。由于数学学科特点和小学数学教材编排的逻辑性等原因，决定了大多数数学知识的学习都属于第二种类别。因此，我们要理清知识的关联、系统与结构，将概念融于关系和学科知识结构中开展教学活动，以便学生顺利完成知识的同化和顺应。

可以首先考虑纵向联系。在教学三角形的高时，直线和线段、点到直线的距离、平行线、平行四边形都是知识基础，因此，可以这样设计教学环节：

师：（出示点A和点B）请过AB点作一条直线。（学生操作）师：如果有第三个点C，它可能会在哪？生：可能在直线上，也可能在直线外。师：（出示直线外的一点C）C点到直线的距离是多少？你会画吗？（学生操作后，示范画法）生：过点C往线段AB画一条垂线，垂线段的长度就是点到直线的距离。师：（课件演示，并把垂足标为O，再用线段分别连接AC、BC，围成三角形）三角形内的线段CO有什么特点？生：是一条垂直于AB的线段。生：一端在三角形的顶点上，一端在三角形的边上。……

在一步步的动态引导下，将学生的思维从点、线的关系逐步深入到三角形的面中，从而以已有知识基礎为土壤，让高的概念茁壮生长。沟通知识间的纵向联系，就是将学生在不同时间里学习的碎片化分布的知识串联起来，构建对于概念的整体认知。

还要考虑概念间的横向联系。横向联系可以小到不同图形间的类比，也可以大到数、形的对照与互释，一般就是从不同的角度、用不同的方式对概念的外延与内涵进行阐释或深化。下面，是一位老师引入高的概念后安排的教学环节。

师：还有哪些学过的图形有高呢？生：平行四边形、梯形。师：（用完全一样的三角形与课件中的图拼成平行四边形）什么是平行四边形的高？生：从一条边上的任意一点向对边引一条垂线，点和垂足之间的线段就是平行四边形的高。师：（课件演示复制一个平行四边形，然后移动一个顶点位置，变成梯形）什么是梯形的高呢？

……

师：（课件演示将平行四边形、梯形和三角形并列摆放）这几种图形的高有什么相同点和不同点？师：（课件强调各图形上引出高的点、垂足、两点之间的线段以及垂足所在的边，然后去掉各图形的其他边，留下点到线段距离的图形。）现在呢？你认为三种图形的高和以前学过的哪些知识有关联？

……

通过不同图形中高的概念对比，学生理解了高的本质都是“点到线段”间的距离，同时，也为“三角形为什么只有三条高”的说理提供了直观参照。可以继续深入。在上述三角形中，出示经过C点并与AB边平行的虚线，然后逐步移动顶点C的位置，引导想象“顶点C位置变化时，高的位置会怎样变？”在这个过程中，整体把握，理解高的内外之分，或者借机观察角度变化与高的位置变化两者间的关系，锻炼空间想象能力，渗透“等底等高”的意义，在动态的对比、关联活动中，丰富对三角形知识的认识。

加强联系和对比，就是将新的知识与学生已有的知识基础纵横联系起来，将它们一起放进了“大数学”的背景里，让知识有条理，有脉络，有线的深度，也有面的广度。让学习紧紧跟着思考，提示生长与拓展空间，既增加知识，也锻炼思维。

四、 感受概念的实践价值

实践与应用是架起数学与现实世界联系的桥梁。通过实践应用，学生才能把概念作为思维工具，建立情境与数学概念的联系，在运用数学知识去发现问题和解决问题的过程中，体验应用之理，感受概念的思想价值和应用价值。王永春老师在他的论著中，将知识分为五类：“事实性知识、概念性知识、方法性知识、价值性知识、元认知知识”，他认为，其中方法性知识、价值性知识更能够体现学科知识的本质。因此，为了促进概念的有效建构，我们对课内、课外的知识要有较全面的认知，精心设计实践内容，落实“概念价值”的认知与体验要求。

掌握了三角形的概念、性质后，可以安排如下实践活动。

（一）解释生活现象

分别出示平行四边形、三角形篱笆，要求说一说哪种围法更牢固，为什么？出示自行车、篮球架、电线杆等图形，找一找哪儿有三角形，说一说它们有什么作用。

（二）解决实际问题

画一画，添加一条线段让长方形、正方形、平行四边形也具有稳定性;试一试，钉一根木条让椅子不再摇晃。

（三）拓展应用认知

简要了解三角形相关的数学史知识，观看牙签桥的趣味实验的微课等等。

课本上的知识是前人经过提炼而产生的，属于间接知识，对学生而言，就是间接经验。上述活动，在学生的观察、思考、操作中沟通了三角形与现实世界的联系，不但有效地促进直接经验和间接经验的有机结合，还有效地培养了学生运用数学语言进行思考后的表达、用数学方法构建模型进行解决问题的能力，促进数学建模。

概念知识是客观存在的，其本质包含了性质、思想、方法、作用、能力转化等等多个方面，但是，在教材中许多方面都是隐蔽的。课堂上，教师要挖掘隐性因素，补充学习材料，从引导感悟形成之理开始，组织观察、操作、想象、推理、表达等活动，逐步解决“为什么、是什么、怎么用”的问题，落实“四基”要求，才能真正凸显概念本质，促进有效建构。