激光介质热沉积百分比精确解析模式及其应用

王垚廷，张艳超，时文嘉

(西安工业大学 理学院，西安 710021)

固体激光器的发展历程，也是研究者不断认识和解决激光介质热效应的过程。激光器运转过程中，激光介质吸收泵浦能量，并经光和原子相互作用，除转化为受激辐射和自发辐射之外，以无辐射跃迁的形式转化为介质内部的热量，随之表现出热相关的效应，包括透镜效应、损耗效应、双折射效应及退偏振效应等。热量的多少直接影响热效应的强弱，进而影响激光器件整体性能。因此，热效应的定量研究，要清楚耗散在介质内部的热量占总的被介质吸收的泵浦能量的百分比，即热沉积百分比，包括理论上的精确计算和实际中精确测量。长期以来，理论上热沉积百分比只是简单地近似为受激辐射光子能量和泵浦光子能量之差同泵浦光子能量的比值。近年来，部分研究工作把能量传输上转换效应引入激光介质内部热量的产生过程[1]，但依然没有区别自发辐射过程和受激辐射过程中热量产生的异同。实验方法中，对热沉积百分比的测量包括：二次谐波退偏振法[2]、光束歪曲法[3]、功率猝灭法[4]和热计量法[5]等。这些方法测量装置复杂，且测量结果误差较大。因此，理论模型的高度近似，以及实际测量方法的较大误差，导致理论结果和实际测量结果不符，不能相互验证。在前期研究工作中提出了通过测量流经热电制冷片的电流来反推热沉积百分比[6]，方法简单易行，且测量精度较高。

迄今为止，人们对激光产生过程的本质可认识为光与原子相互作用过程，主要包括：泵浦吸收、自发辐射和受激辐射。近年来，为深入研究激光产生和运转机制，逐渐把能量传输上转换效应[1](Energy Transfer Up-conversion,ETU)和激发态吸收效应[7-8](Excited-State Absorption,ESA)引入激光整个运转过程，并通过速率方程[7-8]进行表现。能量传输上转换效应是指处于激光上能级的任意两个粒子，其中一个向较低能级跃迁，同时释放能量；另一个粒子吸收该能量，从而跃迁到较高能级，然后两个粒子快速地以无辐射跃迁的形式分别到达基态和激光上能级。从高能级向低能级无辐射跃迁的过程会将两能级之间的相对能量全部转化为热量。激发态吸收是指处于亚稳态的粒子，通过吸收泵浦光子或受激辐射光子而跃迁到更高能级，然后以自发辐射或无辐射跃迁的形式到达较低能级或者基态。可以看出，ETU效应和ESA效应会直接导致激光上能级粒子数减少，从而降低激光转化效率；同时会产生热量，加剧激光介质的热效应。需要指出，在ESA过程中，无论是吸收泵浦光子还是吸收受激辐射光子，其结果均为降低激光转化效率，因此两个过程可以用一个等效的吸收截面参数σESA来表示。本文将在速率方程中引入ETU和ESA，理论上给出热沉积百分比的精确解析模式，并指出热沉积百分比和激光介质吸收的泵浦功率相关联。将该理论模式应用到激光二极管端面泵浦的Nd:GdVO41 342 nm激光器中，并对热沉积百分比进行相对精确地测量。

1 理论推导

如前文所述，为深入研究热效应并推导热沉积百分比的精确解析表达式，文中在常用的速率方程中同时引入ETU效应和ESA效应。以激光二极管端面泵浦的掺Nd四能级激光器为例，其稳态时的激光上能级粒子数密度Nb(r，z)和激光谐振腔内受激辐射光子总数Φ的速率方程[7-8]可分别表示为

(1)

(2)

式中:τ为自发辐射时间常数;c为真空中光速;σem为受激辐射截面;σESA为等效激发态吸收截面;n为激光介质对应的受激辐射波长折射率;W为能量传输上转换参数;fb为激光上能级占据亚稳态粒子数百分比;τc为谐振腔内受激辐射光子时间常数;V为速率。泵浦速率R，腔内受激辐射光子总数Φ可表示为

(3)

式中：Pp为泵浦功率;ηa为激光介质对泵浦光的吸收效率;Pabs为被吸收泵浦功率，即被激光介质吸收的泵浦功率;Pout为激光器输出功率;T为激光谐振腔输出耦合透射率;hυp和hυl分别为泵浦光子和受激辐射光子能量。rp(r，z)和φ0(r，z)分别为泵浦光束和谐振腔内振荡激光场空间分布函数，表示为

(4)

式中:α为激光介质对泵浦光的吸收系数;L为激光介质长度;ωpa为激光介质内泵浦光斑半径平均值;ω0为激光介质内振荡激光光斑半径;Lc为激光介质光程;r,z为空间位置坐标。

如前文所述，激光产生过程的本质为光与原子相互作用，则速率方程中每一项对应的光与原子相互作用物理过程分别为泵浦吸收、自发辐射、受激辐射、激发态吸收和能量传输上转换。泵浦吸收过程可以使激光上能级粒子数增加，但其余过程均使激光上能级粒子数减少，当然激光器稳态运转时两者会达到动态平衡。为深入研究热效应，需详细分析每一种物理过程所产生的热量。

自发辐射过程：以掺钕(Nd)激光介质为例，自发辐射过程是指处于亚稳态的粒子通常在四种波段分别以自发形式向较低能级跃迁。具体到Nd:GdVO4晶体，四种波长分别为1 880 nm，1 350 nm，1 060 nm和900 nm，且相对应的每个波长的自发辐射跃迁量占总的自发辐射量的比率βi(i=1,2,3,4)分别为0.005 0(1 880 nm)，0.106 6(1 350 nm)，0.519 5(1 060 nm)，0.368 9(900 nm)。通过自发辐射跃迁到达较低能级的粒子均以无辐射跃迁的形式快速地返回到基态，而无辐射跃迁过程即为转化为激光介质内部热量的过程。因此，自发辐射过程产生的热量相对于泵浦能量的百分比ξfluo可以表示为

(5)

式中:λp为泵浦光波长；λ1，λ2，λ3和λ4分别为1 880 nm，1 350 nm，1 060 nm和900 nm。

受激辐射过程：该过程是指处于激光上能级的粒子在激发光子的作用下，跃迁到激光下能级同时辐射同激发光子状态完全相同的光子，即受激辐射光子的波长完全相同。跃迁到激光下能级的粒子均以无辐射跃迁的形式快速返回基态，因此，受激辐射过程产生的热量相对于泵浦能量的百分比为

ξem=1-λp/λl。

其中λl为受激辐射波长。

能量传输上转换过程：如前所述，参与该相互作用的两个粒子分别到达更高能级和较低能级后，立即以无辐射跃迁的形式分别返回激光上能级和基态。因此，该过程产生的热量相对于泵浦能量的百分比ξETU为100%，即1。

激发态吸收过程：该过程较为复杂，为简化物理模型，假设该过程仅吸收受激辐射光子，且粒子从更高能级均以无辐射跃迁的形式返回基态。因此，该过程产生的热量百分比ξESA=1+λp/λl。很明显，此过程中的热量产生百分比大于1，原因在于已经吸收泵浦光子到达亚稳态的粒子，还将吸收受激辐射光子到达更高能级，因此该过程产生的热量为泵浦光子能量和受激辐射光子能量之和，而热沉积百分比是热量相对于泵浦光子能量之比值。

通过速率方程可以得到参与自发辐射过程、受激辐射过程、能量传输上转换过程和激发态吸收过程的粒子数占激光上能级粒子总数的比率Ffluo，Fem，FETU和FESA，并分别表示为

(6)

综上所述，激光器件运转过程中，转化为激光介质内部热量占总的泵浦能量的百分比，即总的热沉积百分比表示为

(7)

结合式(1)～(7)可以看出，总的热沉积百分比同受激辐射波长、受激辐射截面和被吸收泵浦功率等诸多参量相关。泵浦功率为激光器件研制过程中最容易变化的参量，因此本文重点研究总的热沉积百分比和被吸收泵浦功率之间的关系。

2 实验测量及分析

为实际测量热沉积百分比以验证上述理论分析，设计了如图1所示的激光二极管泵浦Nd:GdVO41 342 nm激光器。泵浦源为光纤耦合的808 nm激光二极管，其芯径和数值孔径分别为300 μm和0.08。光纤耦合输出的泵浦光经透镜按照1∶1的成像比例聚焦到激光介质Nd:GdVO4中。激光介质为单端复合结构，即一端不掺杂，另一端掺杂，且不掺杂部分长度为3 mm，掺杂部分长度为15 mm。介质横截面为2.5 mm×2.5 mm，该尺寸小于常用的激光介质横截面尺寸(3 mm×3 mm)，其目的在于降低激光介质本身温度和温度梯度，从而减弱热效应。激光谐振腔由平面镜M1和平凹镜M2组成，其中M1为输入镜，镀膜参数为1 342 nm高减反(R1 342 nm> 99.8%)、808 nm高透(T808 nm>99%)和1 064 nm高透(T1 064 nm>95%)；M2为输出耦合透射镜，镀膜参数为T1 342 nm=5%。介质两端面镀膜参数为1 342 nm减反(R1 342 nm<0.2%)、808 nm高透(T808 nm>99%)和1 064 nm高透(T1 064 nm>95%)。实验过程中，整个激光介质侧面用高热导率的金属铟包裹，并置放于热导率更高的紫铜夹具中，因为介质侧面磨砂，从而可以保证良好的散热效果。紫铜夹具被热电制冷片制冷，并结合控温电路精密控温，且控温精度为0.1 ℃，实验中激光介质和夹具整套装置温度被控制在20 ℃。如图1所示，激光介质首先被尺寸相同的热电阻取代，测量流经热电制冷片的电流和热电阻热功率之间的关系；然后将热电阻换回激光介质，测量泵浦功率和流经热电制冷片电流关系；结合前两次测量结果反推激光器运转过程中激光介质产生的热量，而激光介质产生的热量和其吸收的泵浦功率之间的比值即为热沉积百分比。

图1 实验装置示意图

为说明热沉积百分比同泵浦功率之间存在必然关系，根据式(6)分别计算了参与自发辐射、受激辐射、能量传输上转换和激发态吸收四种过程的粒子数占激光上能级粒子总数的比率Ffluo，Fem，FETU和FESA同被吸收泵浦功率Pabs的关系，如图2所示。

由图2可以看出，随着被吸收泵浦功率的增加，参与受激辐射和激发态吸收过程的粒子数越来越多；但参与自发辐射和能量传输上转化过程的粒子数随被吸收泵浦功率增加而减少。另外，任意功率条件下，各物理过程百分比总和均为1，从而证明数值计算的正确性。既然参与各物理过程的粒子数随泵浦功率变化不再是常量，加之各物理过程产生的热量也各不相同，因此总的热沉积百分比ξ必然随着被吸收泵浦功率Pabs的变化而变化。结合式(7)计算热沉积百分比ξ,其和被吸收泵浦功率Pabs的关系如图3所示(实线)。

图2 Ffluo，Fem，FETU和FESA同被吸收泵浦功率Pabs的关系图

图3 总的热沉积百分比和被吸收泵浦功率的关系图

如前文所述，近些年的研究工作中引入了ETU过程对热沉积百分比的影响。作为比较，图3中也给出了仅引入ETU效应的热沉积百分比和被吸收泵浦功率的计算曲线(虚线)。为证明本文理论分析的合理性，实验通过测量流经热电制冷片的电流反推出被不同吸收泵浦功率条件下热沉积百分比的实际值，如图3中方点所示。很明显，实验结果和式(7)计算的理论结果符合的更好，且总的热沉积百分比和被吸收泵浦功率呈增函数关系。计算过程中用到的相关参数[7-8]为τ=120 μs，σem=1.8×10-19cm2，σESA=1.5×10-20cm2，W=1.0×10-19cm3·s-1，fb=1(亚稳态能级简并)，α=2.1 cm-1(实验测量的激光介质相对于泵浦波长的吸收系数)，往返腔长d=0.005(内腔损耗)。

3 结 论

1) 本文分析并推导出激光器件运转过程中参与各类物理过程粒子数的解析表达式，计算表明：参与受激辐射和激发态吸收的粒子数同被吸收泵浦功率呈增函数关系；参与自发辐射和能量传输上转换的粒子数同被吸收泵浦功率呈减函数关系。

2) 理论计算和实验测量均表明总的热沉积百分比同被吸收泵浦功率呈单调递增关系。