一类四阶非线性系统的全局渐近稳定性

徐 静

一类四阶非线性系统的全局渐近稳定性

徐 静

（安徽师范大学 数学与统计学院，安徽 芜湖 241000）

分析一类四阶非线性系统Liapunov函数的零解全局稳定性充分性准则。

非线性系统；全局渐近稳定性；Liapunov函数

1 引言

2 主要结果

考虑系统

的零解的全局稳定性。这里，约定函数

得到其等价方程组

系统(2)对应的线性系统为

对线性系统(3)取Liapunov函数

如下：

其中，

文献[1]利用类比法给出系统(2)的Liapunov函数

如下：

其中，定义：

于是文献[1]给出如下结果：

（4）矩阵是半负定的。

则方程(1)的零解是全局渐近稳定的。

事实上，注意到：如果

则矩阵中存在一阶主子式

由文献[6]知，矩阵不是半负定的；

如果

则矩阵中存在三阶主子式

由文献[5]知，矩阵不是半负定的；取

如果按文献[1]中所述方法构造出非线性Liapunov函数，也不能保证定理中矩阵是半负定的。事实上，不难证明，此时的特征方程

的特征根分别为

但对于非线性系统(1)中一些特殊情形，如果我们构造出适当的非线性Liapunov函数，则其零解全局稳定性是存在的。例如，取

即

或

或

分别构造出其适当的非线性Liapunov函数，则其零解是全局稳定性的[2-4]。

4）

系统(6)对应的价系统为

取其对应线性系统(3)Liapunov函数，利用类比法，得到系统(6)的Liapunov函数如下：

于是有：

定理B 对于系统(6)，若常数

且满足：

则其零解是全局渐近稳定的。

[1] 朱红英,冯春华.一类四阶非线性系统的全局渐近稳定性[J].高校应用数学学报,2010,25(3):307-312.

[2] 沈家骐,卢亭鹤,金均.一类四阶方程Liapunov函数的作法[J].上海师范学院学报,1982,11(2):10-15.

[3] 沈家骐,卢亭鹤,金均.一类四阶方程Liapunov函数的作法[J].上海师范学院学报,1983,12(3):1-9.

[4] 梁在中.关于一类四阶非线性系统李雅普诺夫函数构造的研究[J].应用数学和力学,1995,16(2):181-188.

[5] 王联,王慕秋.非线性常微方程稳定性分析[M].哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,1987:381-482.

[6] 李秀英.负定二次型与半负定二次型[J].通化师范学院学报,2002,23(2):19-21.

Global Asymptotic Stability of a Class of Fourth Order Nonlinear Systems

XU Jing

(School of Mathematics & Statistics, Anhui Normal University, Wuhu 241000, China)

Sufficiency criteria for global stability of zero solutions of Liapunov functions for a class of fourth-order nonlinear systems were analyzed.

nonlinear system; globally asymptotic stability; Liapunov function

O175.13

A

1009-9115(2020)03-0006-03

10.3969/j.issn.1009-9115.2020.03.002

安徽省高校省级自然科学研究重大项目（KJ2012ZD01）

2019-10-19

2020-04-09

徐静（1962-），男，安徽芜湖人，硕士，副教授，研究方向为微分方程稳定性。

（责任编辑、校对：赵光峰）