高中数学教学类型的理论探析：数学学科核心素养视角

朱立明

基础教育教学研究

高中数学教学类型的理论探析：数学学科核心素养视角

朱立明

（唐山师范学院 教育学院，河北 唐山 063000）

以学生核心素养与数学教学关联一致性的程度为标准，提出基于数学学科核心素养进行数学教学类型划分的三个研究视角，视角1：数学教学目标是否蕴含核心素养的育人价值；视角2：数学教学内容是否与核心素养建立实质联系；视角3：数学教学评价是否以发展学生核心素养为依据。基于此，将当前的数学教学分成四种类型，类型1：未关联的数学教学；类型2：“双基”关联的数学教学；类型3：“问题解决”关联的数学教学；类型4：“理性思维”关联的数学教学。

数学学科核心素养；教学类型；一致性

《教育部关于全面深化课程改革，落实立德树人根本任务的意见》（以下简称《意见》）于2014年3月30日正式印发。在该《意见》中，“核心素养体系”一词语备受关注：提出各学段学生发展核心素养体系，明确学生应具备的适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力，突出强调个人修养、社会关爱、家国情怀，更加注重自主发展、合作参与、创新实践，“立德树人”成为我国教育的根本任务。

《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《课程标准（2017年版）》）提出高中数学课程要培养学生的数学学科核心素养，具体包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算与数据分析[1]。

随着核心素养体系的提出，在教学中渗透数学学科核心素养成为高中数学课程的主旋律，这在一定程度上决定了数学课程改革的价值取向。

1 数学学科核心素养观测维度

数学学科核心素养的观测点是数学教育领域研究的热点问题，无论从何种视角出发，数学学科核心素养测评都绕不开知识、能力与思维，《课程标准（2017年版）》也指出数学学科核心素养是具有数学学科基本特征的思维品质关键能力以及情感、态度价值观的综合体现，涉及情境与问题、知识与技能、思维与表达、交流与反思四个层面。“数学知识”既包含了对已有数学知识的理解与运用，也包括学生从自身经验出发而定义的数学概念及其相关的“命题”，因此，在一定程度上涵盖了数学交流以及交流后的反思，尤其是在课堂教学中，教师与学生、学生与学生的交流过程，也是知识产生、传递、理解的过程。而在数学思维中也涉及数学交流与表达，情境是问题不可或缺的一部分。因此，可以将数学学科核心素养观测点概括为数学知识（Knowledge-K）、问题解决（Solving-S）与数学思维（Thinking-T）三个层面。

1.1 数学知识是数学学科核心素养的基础

数学知识指向数学学科核心素养的知识层面，是其形成与发展的基础。数学知识是对数学概念、原理、命题、法则、公式的基本表达，这种表达是借助符号语言、图形语言与文字语言来完成的。数学知识可以刻画数学中的数量关系与空间形式。因此，数学知识本身具有一定的逻辑性，例如数学概念、数学命题之间的传递性，逻辑性保证了数学知识的科学、合理与严谨。除此之外，数学知识包含数学家在其创造过程中的价值取向，数学学科核心素养中的数学知识，强调其中蕴含的数学思想与通性通法，不仅要关注“点”的分布，需要借助“线”贯穿，以“面”为支撑，形成“数学核心知识群”，以解决知识的无限与学习时间有限的矛盾。

1.2 问题解决是数学学科核心素养的主旨

问题解决指向数学学科核心素养教学能力层面，是其形成与发展的主旨。从波利亚（G. Polya）的《怎样解题》到哈尔莫斯（P. Halmos）提出“问题数学的心脏”，再到国际数学教育改革一直把问题解决作为重要议题来研究，《课程标准（2017年版）》中也强调问题解决的重要性。数学学科核心素养中的问题解决，首先需要注意问题解决与情境密不可分，好的问题情境能够唤起学生对知识的回忆，刺激在情境中寻求问题解决的思路。其次，问题解决需要解题策略，问题设置最好能够实现解题策略的多样化。在设计问题时，优先考虑一题多解的问题，保证学生可以从自己的角度解决问题。最后，问题解决需要兼顾解题回顾。解题回顾是一种对解题过程与结果的反思，是为了阐明自己对数学事实的理解。

1.3 数学思维是数学学科核心素养的本质

数学思维指向数学学科核心素养的思维层面，是其形成与发展的本质。数学学科核心素养涵盖了理性思维、逻辑思维、创新思维、直觉思维、大数据思维。其中理性思维主要指向数学抽象素养，逻辑思维主要指向逻辑推理素养与数学运算素养，创新思维指向数学建模素养，直觉思维指向直观想象素养，大数据思维指向数据分析素养。数学思维是数学学科核心素养的内隐品质，数学知识与问题解决最后会内化成数学思维。因此，数学思维是学生通过参与数学教学活动，发现数量与数量关系、图形与图形关系中的数学规律，并借助数学语言进行表征，将外显的数学知识与问题解决能力进行内化的一种数学思考模式。

2 数学学科核心素养是高中数学教学类型的核心标准

艾斯纳和麦克尼尔（J. D. McNeil）对课程取向进行归纳，认为学术理性主义取向的课程以永恒主义和要素主义为基础，以学科知识和教师为中心，培养有知识、有智慧的人，促进智力的发展，要求学生掌握永久性知识、技能和价值观，强调传统学科知识的价值；人本主义取向的课程以进步主义和人本主义为基础，关注学生的经验、兴趣和需要，重视促进学生的自我激励和支持，强调人的整体发展，尤其是自我概念的形成[2]。对于数学学科本身而言，其本质是程式化和秩序化，以演绎推理和机械构造为途径，展现现实世界的数量关系和空间形式。高中数学课程不是以学术理性为倾向，也不是单纯抛弃学科内容，忽略学科知识，以人本主义为倾向，而是理性与人本相互融合的价值取向，其目的在于将数学的学术形态转变为学习者能够接受的教育形态。高中数学课程应该重视数学中最本质的内容，以学生发展为本位，帮助学生形成正确的世界观、人生观、价值观，最终让学生具备能够实现其终身学习的数学知识、数学能力、数学思想和方法。

2.1 指引数学教学目标的方向与价值

高中数学课程的总目标指出[1]：“使学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要。”数学素养是个体确定和理解数学在现实世界所起的作用，做出有充分根据的判断和从事数学，以此来满足一个当前和未来生活中作为积极的、参与的和反思的公民之需要的能力。PISA2021提出数学素养的八项能力：沟通、阐述、设计策略、数学化、推理与论证、使用符号、正式的或技术性的数学语言并运算、使用数学工具[3]。人们用来有效处理生活与工作过程中所需的技能、知识、信念、气质、思维习惯等是核心素养学科化后的具体表现。数学核心素养是数学知识、数学技能、数学思考等综合能力，其中蕴含着数学的基本思想方法。基于核心素养的视角审视高中数学课程目标，能够更好地培养学生从数学的角度看待问题，用数学的思维思考问题，用数学的方法解决问题，从而使高中数学课程目标得以实现。

2.2 决定数学教学内容的宽度与深度

数学课程内容主要由直接经验和间接经验两种性质的数学知识构成，如何从浩如烟海的知识宝库中精选出学生必备的数学知识，成为当今数学课程实践中最复杂的问题，是选择“知如何”（knowing-how）的知识，还是选择“知什么”（knowing-what）的知识？是更多的数学史介绍，还是数学运算与证明？联合国教科文组织曾如此感叹：教育内容的确定问题大概从来没有像今天这样复杂和迫切[3]。传统教育是以数学知识结构及其发展逻辑为依托来确定课程内容的，这样会使所选内容难度过大，对学生发展没有保障。在核心素养思想的指导下，从学科本位转向学生的核心素养本位，决定了数学课程内容的选择，通过遴选那些能够提升学生核心素养的知识，来实现知识与能力的融合，核心素养成为课程内容的宽度与深度选择的重要依据，保证了学生健康、全面地发展。

2.3 影响数学教学评价的功能与方案

数学课程评价是对整个数学课程的监控与反思，包括课程资源和教材的评价、学生学业评价、教师施教评价等。传统的课程评价在功能与方案的选择上，更倾向于总结性评价。评价过程中的价值判断都无法避免主观性。要得到一个固定的、客观的、标准化的答案并不现实。当课程评价方案体现学生中心时，必然会遭到学科中心主义者的反对，反之也是如此。那么如何在学科要求和学生兴趣之间寻求一个平衡点，就可以从培养学生的核心素养出发，来确定评价的功能与方案。核心素养是学科知识的“盟友”，同时也是学生要必备的关键品质，它可以更好地引导数学课程评价，实现其评价功能。例如，对数学教材进行评价，就要关心教材内容是否反映数学的基本结构和发展方向，是否能够为培养学生核心素养而服务。对教师的施教评价，关注其能否在教学活动中渗透核心素养的培养，是否关心学生的参与程度，因为核心素养的形成依赖学生参与其中的数学活动。这样基于核心素养的数学课程评价可以启发学生独立思考能力，积累学习经验，从而养成良好的学习习惯。通过以上三个视角的阐述，核心素养体系如何与不同学段学生发展进行衔接，成为核心素养落实和培养的重要环节。

图1 核心素养三层结构模型

核心素养与各数学课程的有机结合是我们划分数学教学水平的主要标准。李艺等（2015）指出，学科核心素养由三个层面构成，如图1所示，最底层的“‘双基’指向”（称为“‘双基’层”），以基础知识和基本技能为核心；中间层的“问题解决指向”（称为“问题解决层”），以解决问题过程中所获得的基本方法为核心；最上层的“学科思维指向”（称为“学科思维层”），指在系统的学科学习中通过体验、认识及内化等过程逐步形成的相对稳定的思考问题、解决问题的思维方法和价值观[4]。数学核心素养体系可划分为由低到高的四个层面：数学双基层、问题解决层、数学思维层、数学精神层，这四个层面逐次递进，构成了一个相互联系、密不可分的整体[5]。结合数学学科核心素养的观测维度与三个视角，以上述核心素养与数学学科核心素养的层次划分为基础，对数学课堂教学类型进行划分。

3 基于数学学科核心素养的数学教学类型划分

数学核心素养是数学课程改革的新指向，是数学教育的培养目标[6]。我们将当前的数学课堂教学划分为如下4种类型。

3.1 类型1：未关联的数学教学

这种数学课堂教学没有基于学生数学学科核心素养，这样的数学教学可以很容易辨认，追求高分数，过于重视知识的机械记忆与解题技巧的训练，很少考虑学生的数学学科核心素养的提升。此类教学聚焦于考试内容，几乎“考什么，学什么”，以考试内容为准则进行教学内容的组织，题海战术成为取胜法宝，熟能生巧成为教学宗旨，采取了“表面看来清晰利落的手法迅速教懂学生这套凝聚了数千年人类智慧的特别语言”[7]。对学生评价，往往是“成绩决定一切”的终结性评价，仅侧重对知识、事实的记忆的考察以及操作性训练，忽视学生对知识的理解，以及学生学习数学的态度、情感以及心理行动能力的培养，不关注学生在教学活动中的情感性、创造性、发展性、可塑性。造成该水平数学教学的原因有很多。主要是现实生活中教师、学生、家长、社会受制于传统教育文化观念的影响，很难将学生全面发展置于教学活动的中心地位[8]。学生的数学学科核心素养集中体现为数学的应试能力，在未来发展所需要的数学核心素养上缺少锻炼机会。

3.2 类型2：“双基”关联的数学教学

这种数学课堂教学不再缺失核心素养，但是仅仅予其于“双基”层面，在基础知识与基本技能的教学中蕴含核心素养。与传统的数学课程相比，“双基”关联的数学课程不再将“双基”作为静止的技能和工具进行传授，更关注数学的文化活动属性。该教学类型，将数学基础知识与基本技能融入数学文化之中，从数学文化的视角观察数学课程，用数学课程来审视数学文化，追求数学知识的来龙去脉，重视培养学生对数学的过去、现在与未来的了解，感悟数学知识的产生是一个“去繁存简”的抽象过程。例如著名的“七桥问题”就是从具体“路”与“桥”的现实情境中抽象出拓扑性质。这些源于现实、高于现实的课程内容，体现出数学知识的逻辑性、生成性、完整性和连续性，既有利于学生对于知识的理解和掌握，又能提高学生的数学观念，让学生在数学学习中获取能够融入社会生活所必需的核心素养[9]。

3.3 类型3：“问题解决”关联的数学教学

这种数学课堂教学不仅关注学生的基础知识与基本技能（“双基”），还重视培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力，并在问题解决过程中帮助学生形成数学思想方法。这里的“问题”包括“数学学习问题”，也包括除了学习问题之外的，数学课程所面对的“待解决问题”。学生数学学习过程就是整个数学发展历程的缩影，数学是经历千年的发展才从简单的记数到如今分支繁多的学科，学生也是从一无所知到具备数学素养的合格公民。从数学史来看，问题是促进数学发展的核心力量，问题解决在数学课程中具有重要地位，以学生身心发展规律为基础，通过数学知识的内在逻辑顺序，借助数学问题的解决，感悟蕴含其中的数学思想方法。这些数学思想方法不是具体的解题技巧，是数学基本思想的具体化，是从数学角度提出问题、解决问题（包括“数学学习问题”和“待解决问题”）的过程中所采用的各种方式、手段、途径等。在高中课程中包括数形结合的思想方法，分类讨论的思想方法，转换的思想方法，等量替换的思想方法，具有一定可操作性。核心素养正是在对数学内部和数学外部之间各种关系进行深入理解和各种问题的解决过程中形成的。

3.4 类型4：“理性思维”关联的数学教学

这种课堂教学蕴含数学理性思维，数学理性思维不只是静态的数学知识与技能，也是某类解决问题的方法，它是一种探寻数学问题解决与评价的思维模式，其植根于数学教学内容之中，是数学教学的灵魂，也是数学教学与“人的必备品质与关键能力”相联结的本质之所在。该种类型的数学教学重视学生数学理性思维的养成，追求对学生思维模式的培养，不只是停留在数学知识与数学方法层面。因为数学理性思维之于数学内容的严谨性始终是数学的一个鲜明特征。正如费马猜想让历代数学家花费358年的时间才证明其真实性，而费马数仅产生5个素数就被欧拉送上“断头台”，这便是数学理性思维与逻辑推理的“功劳”。当今科学技术日新月异，知识形态更是丰富多彩，人们需要理性思维，用批判的眼光来审视知识。因此，缺少理性思维的数学课程教学犹如人无灵魂，黯然失色。也只有联结数学理性思维的数学教学，才能使核心素养产生价值和意义。

[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(2017年版)[S].2018-02-07.

[2] 钟启泉.课程论[M].北京:教育科学出版社,2007: 64-65.

[3] 董连春,吴立宝,王立东.PISA2021数学素养测评框架评介[J].数学教育学报, 2019,(4): 6-11.

[4] 李艺,钟柏昌.谈“核心素养”[J].教育研究,2015,(9): 17-23.

[5] 吕世虎,吴振英.数学核心素养的内涵及其体系构建[J].课程·教材·教法,2017,(9):12-17.

[6] 朱立明,胡洪强,马云鹏.数学核心素养的理解与生成路径——以高中数学课程为例[J].数学教育学报,2018, (1):42-46.

[7] 中国教育学会中学数学教学专业委员会.面向21世纪的中国数学教育[M].杭州:浙江教育出版社,1997:261.

[8] 李臣之,郭晓明,和学新,张家军.西方课程思潮研究[M].北京:人民教育出版社,2012:377-339.

[9] 戴风明.数学文化在数学教学中的缺失与对策[J].数学教育学报,2011,(6):74-77.

High School Mathematics Curriculum Level Research Based on the KeyCompetences

ZHU Li-ming

(School of Education, Tangshan Normal University, Tangshan 063000, China)

Three research perspectives were put forward on the classification of mathematics teaching types based on the key competences of mathematics. Perspective 1: whether mathematics teaching goals contains the key competences education value; 2: whether the content of mathematics teaching is to establish substantial connection with key competences; 3: whether mathematics teaching evaluation is based on developing students’ key competences. The current mathematics teaching is divided into four types, type 1: not associated mathematics curriculum; type 2: “double-base” associated mathematics curriculum; type 3: “problem solving” associated with mathematics curriculum; type 4: “rational thinking” associated with mathematics curriculum.

mathematics key competences; teaching design; alignment

G622.0

A

1009-9115(2020)03-0148-05

10.3969/j.issn.1009-9115.2020.03.033

河北省教育科学研究“十三五”规划课题一般资助项目（1903130）

2019-09-15

2020-04-05

朱立明（1986-），男，满族，河北承德人，博士，讲师，研究方向为课程与教学论。

（责任编辑、校对：赵光峰）