把“理解性教学”贯穿复习课的每一环节
——对一堂七年级期末数学复习课的教学思考

王华民 丁 洁

一、问题提出

英国教育家马莎·斯通·威斯克认为，理解是指能够在给定的资讯以外有所超越，并且能够创造性地运用自己的知识。如果某人能够证明自己可以把知识正确、恰当地应用到新的情境中，而他又是在未得到任何特别指导的情况下自发地完成这项行动，那么我们就可以认为这个人已经达到了真正的理解。[1]可见“理解”的含义不仅是“明白、懂”的意思，也包含应用知识的能力，是创新的基础和前提，所以理解是教学的核心目标。本文的“理解性教学”强调通过教师的合理设计，让学生不是停留在知识的记忆与技能的操作层面，而是从联系、发展的观点，明晰知识的形成过程，并能把所学知识运用于新知并解决问题。

数学是一门抽象的学科，知识的获得与应用都是以理解为基础的，学习是在理解基础上不断深化的过程。因此，有必要从初一甚至从小学开始，加强“理解性教学”，不仅在新授课让学生理解知识形成和发展的过程，而且习题课、复习课也要让“理解”贯穿于教学的每一环节。下面以苏教版七年级下“二元一次方程组”和“一元一次不等式”两章的复习教学为例，谈谈笔者的实践。

二、教学内容摘录

1.介绍两章概况。

（1）弄清知识来源。上课伊始，教师引导学生回顾“二元一次方程组”和“一元一次不等式”两章教材的开头，让学生明晰生活中存在大量的等量和不等量关系，学习方程、不等式模型都是研究问题的需要。补充说明，我国航天技术的飞速发展，高铁的精密计算，其基础是方程和不等式，基础运算离不开等式、不等式。

（2）明晰两章知识对应着两个重要模型。引导学生回顾方程的概念：它是表达数量关系的“天平”，是解决实际问题的有效模型，它包括一元一次方程、二元一次方程（组）、一元二次方程、三元一次方程（组）等。不等式则是刻画客观世界不等关系的一个重要工具，它包括一元一次不等式（组）、一元二次不等式（组）等。从前面的学习，学生也能体会到这两个模型是思维训练的有效载体，所以需要认真复习，加强理解，掌握相关知识。

2.构建知识网络。

教师引导学生回顾两章的知识框图，可先由学生回忆，教师再逐步投影，并简要说明，具体内容如下图1、2。

（图1）

（图2）

3.方法回顾与问题解决。

期末复习课一般要在回顾旧知、构建知识网络的基础上强化重点，运用数学思想方法解决问题，并注重知识、方法的前后联系，实施有效迁移。

（1）类比、对比复习。首先是类比方程（组）与不等式（组）的定义，在其中引导学生学会抓住关键词——“元”“次”。

其次是类比解题步骤，参见表1。

最后，类比解题方法（依据）。在教学时提供两组练习题让学生解答，引导学生归纳方程组与不等式组在解法上的异同点。

表1 解题步骤类比

相同点是从结果上看，方程组的解是两个方程的公共解，不等式组的解集也是两个（或几个）不等式的公共部分。

不同点是解方程组是从两式的关系，从一个式子代入另一个式子消元，或对两个式子进行加减消元；而解不等式组则需要各自解一个不等式，再求解的公共部分。

（2）注重联系、紧扣概念解决问题。

例1：已知关于x，y 的方程4x3m+2n-7+5x2m+3n-11=3 是二元一次方程，求m+n 的值。

此题的解法有两种，一是加减消元法，二是整体法。两种解法还可对应下面两个变式。

变式1：条件不变，求m-n 的值。

变式2：条件不变，求4m+n 的值。

之后引导学生反思回顾：一道看似二元一次方程的问题，利用一次方程的概念列式，构成了一道二元一次方程组的问题。可见方程、方程组之间，方程与不等式之间，还有解方程（组）、不等式应用题一般步骤之间，解决问题的方法之间都是有联系的。

解二元一次方程组和一元一次不等式组小结：①紧扣概念、把握基本方法有益于解题；②注重联系，利用方程、不等式的相近联系分析解决问题，有益于我们提升对知识内在规律的认识，解决问题时要注意观察，学习方法的选择与取舍。

（3）适度变式，注意运用数学思想方法解决问题。

提供如下例题和变式供学生思考、解决。

变式：条件不变，若2＜x-y＜4，求k 的取值范围。

变式1：把“无解”改为“有解”，则a 的取值范围是____________。

（4）强化知识的应用。

例5：小明用100 元钱去购买笔记本和钢笔共25 件，已知每本笔记本3 元，每支钢笔5元，那么小明最多能买多少支钢笔？

拓展题：制作某产品有两种方案，方案1 用4 块A 型钢板，8 块B 型钢板；方案2 用3 块A型钢板，9 块B 型钢板.若A 型钢板的面积比B型钢板大。从省料角度看，应选哪种方案？

本环节的设置，一方面是引导学生运用所学，解决实际应用题；另一方面，让学生解决不等式与其他内容结合的一些问题，从而提升解决综合问题的能力。拓展题是为学优生设计的，学生列式后能发现，关键是要比较4x+8y 与3x+9y 大小，可运用作差比较大小的方法解决。

三、教学反思

复习课内容确定后，如何有序呈现呢？因为数学是一门逻辑性强的学科，呈现要按一定的逻辑顺序。由此，本堂复习课以“注重理解”为主线，让学生理解“为何学”“学什么”“怎样学”。

1.“为何学”：促学生理解知识的来龙去脉。

第一部分“介绍两章概况”，旨在让学生理解“为何学”，教师带学生回顾知识是从生活、科技发展中来，明晰两个模型的重要性，在于让学生理解知识的形成过程。

因方程与不等式、方程组与不等式组都是相近概念。教师设计了从旧知到新知概念的类比学习。类比是根据两类对象的某些相同或相似的性质，推出它们的其他相同或相似属性的思维形式，类比是由此及彼的活动。类比学习可以在体系中构建更多的新知，事半而功倍，是一种创造性活动，也更有利于学生对相关知识的进一步理解与认识。

2.“学什么”：帮学生理清知识脉络和方法要点。

第二部分“构建知识网络”是让学生理解“学什么”，教师按着知识发生、形成的顺序，让学生依次回忆所学内容，教师投影知识结构图，一方面是在帮学生厘清知识的脉络，留给学生清晰的印象，以加深对知识结构整体的理解；另一方面则利于从整体结构中认识两章，再一次让学生理解知识的前因后果。在反思小结环节，引导学生归纳解决问题的方法与步骤，都是从解决问题的过程中抽象而来，既促进了学生的理解，也有益于提升复习的有效性。

3.“怎样学”：让学生进行类比、迁移与运用。

第三部分“方法回顾与问题解决”是让学生理解“怎样学”，从以下几个维度阐述。

（1）对解题方法与步骤进行类比复习、对比呈现。本课教师不仅设计了方程、不等式相关概念的类比复习，对其解题方法和步骤也进行了类比复习，对比呈现，还指出解方程组、不等式组的异同点，让学生在知识系统中复习、体会，获得一次再理解的过程，也带动了相关知识的复习。教师不停留于表面，还注意追问解题方法背后的依据是什么，让学生知其然，也知其所以然，给学生思考、练习与表达的机会。让学生学会迁移运用，以真正理解相关知识。

（2）注重选编有联系、适度变式的问题。精选问题是复习教学的重点之一，从理解性教学的角度，要重点关注如下两点：

其一，注重联系，由于世界的普遍联系性，数学学科的各部分内容、内容的不同方面都存在着联系，所以选编例题有所侧重，例1 看似是一道二元一次方程的问题，但依据二元一次方程的概念列式，构成了一道二元一次方程组的问题。通过两种方法的对比，让学生体会知识的前后联系，体会整体求解的优越性；例2 反映的是方程与不等式之间的联系。解方程和解不等式的应用题，一般步骤非常类似，关键点是找“等量关系”或“不等量关系”。在解应用题时，要重视审题，紧扣概念。可见，从联系发展的观点审视知识本身，在体系中复习，不仅能巩固旧知，更能深化对问题的理解，增强复习的效果。

其二，注意适度变式。变式教学于数学教学的重要性显而易见，它是在初步理解知识后，通过变换问题的表现形式，获得其本质属性，在“变”中求“定”，达到举一反三、深化理解的目的。通过例1 的两个变式，让学生注意解题方法的选择与取舍，例4 及两个变式涉及不等式组含字母的无解、有解以及正向、逆向等问题，通过问题解决，强化借助数轴判断的意识，给学生一个较全面的认识。

（3）有意识地运用数学思想方法解决问题。由于数学思想方法蕴含在知识背后且在数学学习中发挥着重要的作用，所以在复习课中，要注意运用数学思想方法解决问题，这不仅是进一步理解问题的需要，也是提升教学有效性的需要。例如，例2 体现了转化思想，不同解法的对比，体现了整体思想的优越性；例3 是一道含字母的解不等式组的问题，由于是不确定问题，则运用了分类讨论的思想；例4 及其变式的成功解决，是借助数轴、运用了数形结合思想，而且借助数轴、关注端点取值、判断得解，既突出了重点，也突破了这类问题的难点。运用数学思想方法解题，也使学生对这类问题理解得更深刻、更全面。

为理解而教，是对某些缺乏理解与充满误解的教学的修正。复习教学的设计必须从注重巩固性教学的模式向以理解为目标的教学设计转变。本课精心设计教学过程，把"理解"贯穿复习课导入、构建知识网络和问题解决等每一环节，当学生明晰了要学什么、为什么要学、怎么学以及会运用所学解决新问题时，就是真正地理解数学（包含知识、方法等）。这样有助于学生产生自觉学习的行动，并提升其自主学习、类比学习的能力。