定理熟掌握，变式巧应用

◇ 山东 张 晖

正弦定理揭示了任意三角形边与角之间的客观规律，是研究三角形问题的重要工具.正弦定理的变形形式，在实际应用过程中往往能直接应用.在不同的问题中，我们经常根据具体情况选用正弦定理的变式进行应用.

1 正弦定理的变形形式

2 正弦定理变形形式的应用

利用正弦定理的变形形式，可以进行三角形的边、角及外接圆半径之间的互化，以解决一些有关的三角形问题.

2.1 三角形几何量的计算

利用正弦定理的变式可以进行三角形的边长、角度、面积等问题的计算.

例1已知△ABC 中，三个内角的正弦之比为4∶5∶6，且其周长为求△ABC 的三边长.

利用正弦定理的变式a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝4∶5∶6，可设a＝4k，b＝5k，c＝6k，则有故△ABC 的三边长分别为

求解有关几何计算的问题时，要注意将问题转到三角形的边角关系之中.

2.2 三角形形状的判断

判断三角形的形状，实质是判断三角形的三边或三角具备怎样的关系.由于正弦定理非常好地描述了三边与三角的数量关系，所以可利用正弦定理的变式实现边角的统一，便于寻找三边或三角具备的关系式.

例2在△ABC 中，有sin2A＝sin2B＋sin2C，则△ABC 为三角形.

解决此类问题时，应根据所给的边角条件，合理选用定理的变形形式.另外应熟悉特殊三角形(如直角三角形、等边三角形等)的边角条件.

2.3 取值范围的求解

在解决三角形的一些参数或代数式的取值范围问题中，往往要通过正弦定理及其相应的变形，把问题转化为三角函数或对应的函数问题，再利用相应的知识来求解.

例3在△ABC 中，若C ＝3B，求的取值范围.

由正弦定理的变式，可知

又因为A＋B＋C＝180°，C＝3B，所以0°＜B＜45°，则，所以1＜4cos2B－1＜3，故1＜

在解决此类问题时，一定要注意不能忽略了三角形自身的隐含条件，本题包含三角形的内角和定理及A，B，C 均为正角这一条件，在解决问题过程中要注意加以综合应用.

正确掌握正弦定理及其对应的变式，可以非常有效地破解一些相应的三角形问题.在具体应用时，经常会借助三角形的相关性质、三角恒等变换公式等，综合余弦定理或三角形的面积公式等加以处理，使问题快速获解.