经历有效猜想发展学生合情推理能力

张小金

摘要：推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式，因此，《数学课程标准》（2011版）把推理能力作为在数学课程中应当注重发展的“十大”能力之一，并指出：推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中。我们知道，推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果;演绎推理是从已有的事实（包括定义、公里、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。在小学数学教学中，由于受小学生的学习水平和心理特点限制，小学数学的学习内容，从推理能力的发展来说，更多地是发展学生的合情推理能力。

关键词：有效猜想;合情推理能力

在实际教学中，让学生经历有效猜想，是发展学生合情推理能力的有效方式。猜想不仅仅是简单的“偶然发现的巧合”，更是学生综合运用已有的知识基础和生活经验，通过归纳和类比提出新的想法、推论的高阶思维活动，再通过实验、举例等使用不完全归纳法，来测试、验证自己的猜想。下面以人教版六年级下册第三单元《圆锥的体积》一课为例，谈谈如何让学生在有效猜想中合情推理能力得到发展。

《圆锥的体积》是在学生学习了圆柱的体积、圆锥的认识基础上学习的。教材通过“我们已经会计算圆柱的体积，如何计算圆锥的体积呢？”“圆锥的体积和圆柱的体积有没有关系呢？”两个问题，引导学生猜想圆锥体积公式的推导方法。可以看出，在学生已经有丰富的“转化推导”活动经验基础上，教材的导引是学生能先联系旧知大胆猜想圆锥的体积可能和学过的哪个图形体积知识有关？有什么关系？可以怎样想办法去验证？从而引出用等底等高的圆柱、圆锥容器通过实验发现两个图形体积间的关系，从而推导出圆锥的体积计算公式。在此之前，学生对于运用化归的数学思想方法来探索图形的积计算已经有了非常丰富的经验，从平面图形平行四边形、三角形、梯形、圆形的面积公式推导到立体图形圆柱体积公式的推导，都是运用了化归的数学方法来探究的，用实验的学习方法来探究图形的积计算学生也不陌生，长方体的体积公式学生就是通过实验发现的。那本节课学生认知的思维障碍在哪里呢？

于是，我设计了一份简单的课前调查，用于分析发现学生认知的瓶颈。

《圆锥的体积》课前调查：

1.圆锥的体积计算方法可能会和学过的哪一种立体图形的体积有联系？

2.等底等高的圆锥和圆柱的体积可能有什么关系？

3.如果要把圆锥转化成圆柱，你会想到什么方法？

通过教学前测调查，我发现，学生由圆锥的体积去联想圆柱的体积，这是知识的逻辑结构，学生又刚刚学完，是很自然的思维，不难。但是，学生对于等底等高圆锥和圆柱体积间有什么关系？为什么要选择等底等高的圆柱圆锥来探究？可以怎样去转化推导？学生却遇到了思维的坎，也就是說合情推理受到了阻碍。很多学生的回答不正确，还有不少学生没有填写。所以，如何给学生思维的坎搭个桥，让学生顺利地提出正确的猜想，设计比较合理的实验方案，就成为本节课要特别关注的问题。于是，为了引导学生经历有效的猜想，我设计了以下铺垫教学环节：

[片段一：旧知回顾]

1.问题导引：圆锥有哪些特征？它和圆柱有什么相同点？有什么不同点？

2.方法回顾：我们前面已经学习过立体图形长方体、正方体和圆柱的体积，还记得我们是怎么发现它们的体积计算公式的吗？

〖设计意图：“问题导引”帮助学生激活知识基础，为学生联想旧知做好蕴伏。“方法回

顾”帮助唤醒学生已有的活动经验和学习方法，为学生顺利转化做好准备。〗

[片段二：提出猜想]

1.铺垫：课件出示一个长方形和一个面积是长方形一半的直角三角形。

提问：这两个图形的面积有什么关系？为什么？

学生回答后，采用重叠的方法让学生发现它们长和高相等，宽和底相等，也可以说它们等底等高。

2.图形运动：课件动态演示长方形绕长旋转成一个圆柱，直角三角形绕高旋转成圆锥。

3.提出猜想：

提问：这个圆柱和这个圆锥的底和高有什么关系？猜一猜，这个圆柱和这个圆锥的体积有什么关系呢？

〖设计意图：借助直观，通过“等底等高”长方形和三角形的面积的2倍关系，到动态得到等底等高的圆柱和圆锥，让学生类推猜想“等底等高”圆柱和圆锥的体积关系，向学生提出了富有挑战性的问题，学生经历的不再只是简单地联想到圆锥的体积可能和圆柱有关的低阶思维活动，而是要借助自己的空间观念水平，提出更具思辨、挑战的猜想：从平面到立体，应该不是2倍关系了，并通过直观观察和抽象想象，提出是否存在3倍关系的猜想。在这里，借助已有旧知和平面图形与立体图形的关系，顺利地帮助学生越过了提出“等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍”猜想的坎。这样的猜想，是有着丰富数学活动的高阶思维活动。这也为下面实验方案的设计铺平了道路。〗

事实证明，学生借助“等底等高”的长方形和三角形面积的2倍关系，再借助两个图形旋转得到“等底等高”的圆柱圆锥，提出“圆柱的体积不是圆锥的2倍”“圆柱的体积可能是圆锥的3倍”的猜想，变得水到渠成。回顾教学过程，当学生的猜想遇到困难，我们教师所要做的，不是简单地“千呼万唤”，而应该艺术地“铺路搭桥”，给学生的观察发现，联想沟通提供可能，给学生的猜想找到思维的支点，让学生顺利跃起，这样，合情能力的发展便自然发生。