以《天衣无缝》为例浅谈综合实践课在初中数学教学中的实施

高丽威，齐 丽，柏秀泽

（吉林大学附属中学，吉林长春130021）

综合实践活动是基于学生的直接经验、密切联系学生自身生活和社会生活、体现对知识的综合运用的实践性课程，是初中阶段7～9 年级学生的一门必修课程。教育部在2001 年6 月颁布的《基础教育课程改革纲要（试行）》明确要求增设综合实践活动课程，同年教育部启动新一轮课程改革中颁发的《国家九年义务教育课程综合实践活动指导纲要》对综合实践活动的性质做出了明确的界定。2011 年颁布的《课程标准》在教学内容中设置了四个部分，综合与实践是其中一个重要组成部分，这部分内容既反映了数学课程标准与数学教学改革的要求，也为学生提供了通过综合实践课去做数学、学数学、理解数学的机会，搭建了一条由常规教学向实践探究式教学转化的桥梁，为教师的“教”和学生的“学”指出了明确的方向。《标准》指出：“综合与实践”是指一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动。在学习活动中，学生将综合运用“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”等知识和方法解决问题。综合实践课面向全体学生开设，以学生自主选择、直接体验、探究实践为课程学习的基本方式，以贴近学生现实的生活实践、社会实践、科学实践的主题为课程研究的基本内容，以学生个性养成为课程基本任务的非学科性课程。

教育部在《综合实践活动的实施与管理》中指出：“探索如何不断保持学生的好奇心以及探究与学习的天性，并创设条件，使其养成探究与学习的必要能力，使得他们对与未知世界的探索成为终身的乐趣。”2019 年教育部发布的重要文件《考试命题意见》中要求提高探究性、开放性、综合性的试题比例，同年又出台了《国务院办公厅关于新时代推进普通高中育人方式改革的指导意见》。国家在综合实践课的实施上不断给予政策支撑和理论依据，充分说明综合实践课程符合时代和社会发展的需要，已经成为必修课教学中不可或缺的重要组成部分。但在中学教学的具体实施中仍存在很大的困难。对常规教学的操作时间越长、经验越足，对综合实践课这个“新”课型的接受就显得愈发困难。综合实践课不同于常规课程的地方在哪里？如何体现？综合实践课要达成怎样的教育目标？效果如何？综合实践课是否涉及到数学知识的渗透？如何体现？这些都是我们一线数学教师要思考的问题。接下来，就以《天衣无缝》为例，阐述一下综合实践课具体的实施过程。

一、参考教材

华东师大版八年级上册77页阅读材料《图形中的裂缝》中阐述了萨姆劳埃德《趣题大全》中的一道趣题：将图1 按所画线条剪开，再按图2 拼合，方格线的面积竟然增加了一个平方单位！为什么面积增加了？

图1

图2

二、教学目标

1.学生通过动手操作实践，亲历探究过程，获得探究体验。借助几何直观和空间想象感知正方形与长方形在剪拼过程中形状和大小的变化，提升数形结合的能力，感悟事物的本质，培养创新思维；

2.在探究活动中，学会发现并确定探究问题，提出合理的解决问题的方案，收集、整理数据，提取信息并对数据做出分析、推断；

3.鼓励学生高度概括、准确表达，发现一般性结论，进而应用数学抽象的思维方法解决问题；

4.学生在探究的过程中，既要求自主又兼顾合作，交流协作，分享信息，完善创意等。

三、教学过程

1.情境导入、激发兴趣

请四位同学参与一场超级模仿秀，模仿大屏幕给出的图片中的小孩子的表情（图3），由全体同学做评委，裁定谁模仿的最像？然后老师出示答案（图4）。

图3

图4

用生活中的实例让学生明白：耳听为虚、眼见也不一定为实。学会用数学的眼光看世界，多角度看问题，明白“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”的道理，实践出真知。此时提出萨姆劳埃德的“裂缝”问题，让学生产生“内有蹊跷”的想法，进而有想动手实践检验的愿望。

2.动手操作、发现问题

奏响第一乐章：“发现缝儿”

学生通过阅读书上的材料，按萨姆劳埃德的方式将 阶正方形网格进行剪拼，在拼接的过程中忽然发现：原来长方形中间出现了一条缝。

那么如何从数学的角度给予这个事实一个合理的说明呢？鼓励学生想出解决办法，达成“不能只停留在事物的表面现象的层面”的共识，要学会理性地分析、合理解释数学现象。教师不要片面地认为综合实践课就是一场热热闹闹的“秀”，动手操作、实践探究都是为了更好地理解、学习数学而服务的。

启发学生思考：如图5 所示，连结AE，借助勾股定理可知，

由于AC+EC＞AE，所以可以判断A、C、E 三点不共线，且形成了一个钝角三角形，由此判断中间出现了裂缝。

图5

教师抓住机会继续追问，虽然通过勾股定理可以说明中间有条窄窄的缝儿，但是缝的面积有多大呢？如何来求解？这个问题对于学生来说并不难，可以直接用面积差来求解：

半条缝儿的面积是0.5，那么整条裂缝的面积即为1，即S叠=1。

从不同角度出发，通过几何推理证明了萨姆劳埃德拼得的长方形中间出现了裂缝，而且裂缝的面积为1，这个发现为本节综合实践课搭建了很好的台阶。此时仍以教师的引导为主，当学生的思考逐渐步入正轨，教师就悄悄放手，让学生自己去尝试、去挑战。

接下来学生自己来做一次魔法师，在5×5 阶正方形网格中按照萨姆劳埃德的方式剪拼出一条缝，看看会有怎样的发现。

因为是开放式的实践活动，学生剪拼出的结果五花八门，如图6所示：

图6

教师对学生的剪拼作品给予肯定，综合实践课鼓励学生存在“不一样”。只有不断地被肯定，学生以后才敢于大胆地去想、去做、去表达。

学生会思考为什么展示的剪拼作品不一样，对照阅读材料中萨姆劳埃德式剪拼手法，他们会发现：

①经格点连线将正方形网格分成四块，其中包含两块直角三角形、两块直角梯形；

②直角三角形的短直角边和直角梯形的上底长度相同，才能使其完美地拼接在一起；

③拼成的新图形为长方形。

不同的剪拼方式带来不同的研究方向、对应不同的研究结果，那我们本次研究活动就围绕上述“萨姆劳埃德式”剪拼方式进行。学生因为新的收获蠢蠢欲动，教师抓住时机鼓励学生继续将5×5 阶正方形网格按照萨姆劳埃德的剪拼方法拼成长方形。教师观察学生的操作情况，及时地纠错、指导，并指引学生不断地将创意变成现实。

奏响第二乐章：研究“缝儿”

学生剪拼方法一：如图7，超直白的裂缝！当将长度为5的正方形边长分为1和4两段时，发现真的出现了裂缝，且S缝=1。

图7

学生剪拼方法二：如图8，“缝”的“叠”变，当我们将长度为5的正方形边长分为2和3两段时，惊喜地发现竟然可以产生“叠”，且S叠=1。

图8

发现了“叠”，学生很激动，因为即便都是标准的剪拼方式，也会有“缝”和“叠”的区别。综合实践课的魅力慢慢显现出来，学生自主探究实践中获得的认知是他自己的“成果”，这个成果得来并不难，但却是独特的、跟自己的努力息息相关的，这种收获的喜悦和成就感是在老师一厢情愿进行知识传授的过程中无法得到的。

有了刚才剪拼过程中获取的经验，学生可以轻车熟路地在3×3阶正方形网格中继续按萨姆劳埃德式方法剪拼，开始第二轮动手操作，并展示剪拼成果，如图9所示：

图9

图形中再次出现裂缝，而且S缝=1。

和学生共同回顾：8×8 阶网格中，出现了S缝=1；5×5 阶网格中，出现了S叠=1 ；3×3 阶网格中，出现了S缝=1，这种有规律的变化到底是偶然还是必然？我们一起来分析一下：

华罗庚曾经说过这样一句话：数少形时少直观，形少数时难入微。为了探究清楚为什么出现这种规律性的变化，观察图形在剪拼过程中出现的数据，如图10所示：

图10

3×3 阶网格剪拼过程中出现了四个数据，分别是（1，2，3，5），表示将边长3分为1和2，拼成2×5阶矩形；

5×5 阶网格剪拼过程中出现了四个数据，分别是（2，3，5，8），表示将边长5分为2和3，拼成3×8阶矩形；

3×3 阶网格剪拼过程中出现了四个数据，分别是（3，5，8，13），表示将边长8 分为3 和5，拼成5×13阶矩形。

把这些数据按照从小到大的顺序排列：1，2，3，5，8，13…我们惊奇地发现，这个数列从第三个数字开始，每个数字都是前两项的数字之和，原来是一组“斐波那契数列”在图形中彰显其魔力。那么进一步思考，这跟图形中出现的“缝”和“叠”又有什么关系呢？要解决这个问题，要首先关注“缝”和“叠”的面积的求法：

S叠或缝=S正方形-S长方形

教师提出的每个问题都富含技巧，既要结合学生目前所获取的经验，又要不着痕迹地引导他们的思考向前迈进。教师的问题是一条暗藏的线索，引领学生自己去发现数学的奥妙，充分获得学习的成就感。如图11所示：

图11

此时学生经过讨论和研究会觉得一切都豁然开朗，即：当中间数的平方与前后两数乘积的差为+1，出现1 平方单位的重叠；当中间数的平方与前后两数乘积的差为-1，则出现1 平方单位的裂缝。从斐波那契数列中任意圈出四个相邻数据，比如（3，5，8，13），前三个数字表示正方形边长的分割方法，后三个数字中，若中间数的平方减去其前后两数的乘积，结果为+1，则表示长方形有平方单位的重叠；结果为-1，则表示长方形有1平方单位的裂缝。

在学生的操作、实践、思考和推理的过程中，两位伟大的数学家，一位是1170 年出生在意大利的斐波那契，一位是1841 年出生在美国的萨姆劳埃德，他们穿越了近700 年的时空，实现了一场智慧的穿越，灵魂的牵手，数形结合也在综合实践课中焕发出无限的魅力和能量，吸引着学生继续探究。

3.逻辑推理、方法升级

通过提出的新问题设计裂缝，让学生从实践中总结并思考，让学生解决问题的方法完美升级，从直观感受到实践探究，再到逻辑证明。

奏响第三乐章：设计“缝儿”

难道只有斐波那契数列中的数据才会产生正方形剪拼时“缝”和“叠”的奇幻效果吗？让我们再次走进探究之路，让斐波那契数列中没有的数据15做正方形的边长，让15×15 阶正方形网格在学生智慧的小手中开花。用相同的剪拼原则、不同的剪拼方式创造出多种多样的“缝”和“叠”。学生依据萨姆劳埃德式剪拼方法将边长分成不同的数据后，将剪拼结果粘贴在黑板上，如图12所示，并互相点评、深入思考、提出问题、找寻规律。

图12

此时拼成的长方形中有缝有叠，由图形拼接的方式建立起基本的数学模型可知，如图13，缝或叠的面积即可以统一表示为：，代入不同的a值即可求出缝或叠的面积。

图13

从黑板上学生的贴图和计算结果可以发现，当a 值由小变大时，先是裂缝的面积由大变小，后来是重叠的面积由小变大。学生发现没有S=0的情况，也就是没有无缝的图形，为什么不存在无缝儿？如何才能实现无缝儿？

经历了前面层层递进的探究过程，此时学生的思维已经充分展开，慢慢学会提出问题，并通过合作、交流去想方设法地解决心中的疑问，这才是综合实践课最具魅力的时刻。

奏响第四乐章：创造“天衣无缝儿”

学生经过讨论和思考发现，刚刚研究一直是从正方形格点出发进行分割，分割的边长均为整数，会不会是在分数的时候出现了无缝的拼接呢？有了研究方向，鼓励学生在一张边长为单位1 的正方形纸板上创造出完美的天衣无缝。从之前获取的经验可知，无缝其实就是让正方形和剪拼后拼成的长方形面积相等。

图14

学生获得了极大的成就感，一条完美的思考、探究、解决问题的研究之路在学生的小手里一步步剪拼出来、推导出来，在学习上获得的愉悦感比单纯的玩、单调的学习都更能激发学生的兴趣和潜能，让他们逐步完善自己、完善思维方式。

4.回顾反思、总结提升

在整堂课程实施过程中都鼓励学生积极参与、互动互助，让学生真正感受到数学的魅力和自己的实力，增强数学学习兴趣和自信。

思考为什么斐波那契数列中的缝和叠都是1，而其他分割方式会出现很大的缝或叠呢？因为斐波那契数列中相邻的两数之比接近0.618，而且数列无限延伸下去时，面积为1 的裂缝和整个图形的面积相比会越来越不明显，看起来会非常接近于无缝的拼接，这也许是为什么萨姆劳埃德选择了8×8 阶网格而非3×3 阶网格的一个原因。孩子们的分析刚好验证了之前的猜测，天衣无缝并没有出现在整数分割上，但也不是分数，而是一个无理数。本节课充分体现了几何直观和逻辑推理相结合，数学抽象和数据分析相依赖，充分践行了数学建模思想和数形结合思想，正可谓：天衣无缝展双翼，数形结合一点通。

综合实践课《天衣无缝》实施的过程，其实就是不断启发学生的创造性思维发展的过程，也是教师积极鼓励学生参与课堂活动、让学生成为学习主体的过程。教师在综合实践课上真正成为学生学习的合作者、引导者，通过课前精心的准备把精彩的课堂充分还给学生，帮助、引导学生在实践中获取真知。

综合实践课帮助学习薄弱的孩子重新建立起自信心。兴趣是最好的老师，综合实践课设置的问题都是学生感兴趣、并且每个孩子都具备参与的能力，这样可以更加有效地让课程抓住孩子的注意力，比如课前的模仿、方格纸的剪拼等。我们常常说教育不能放弃任何一个孩子，但是常规课堂上客观存在部分孩子跟不上整个班级的节奏，进而失去自信心和学习兴趣的情况。而综合实践课是通过动手操作来逐步获取认知的，孩子们很容易在实践中有所发现，只是不同的学生对同一个问题认知不同罢了。这样，即便是数学思维较弱的孩子也会在实践中有所得，可以通过自己的展示和表达获得老师、同学的关注和肯定，进而激发起学习的兴趣和自信。

综合实践课让课堂成为一个传递智慧之处，学生通过展示、交流来完善自身的想法，做到互相促进，共同进步。小组合作、师生合作不再是“摆设”，而是真正的彼此需要、密不可分。教师在综合实践课上并非是唯一的权威，“三人行必有我师，师不必强与弟子，弟子也不必不如师”。学生在实践中获取的经验是随机的、独特的，可能是教师在预设中不曾见过或想到的，但只要是正确的，教师都应当给予肯定和鼓励，并让学生和大家分享自己的成果，让其自身收获成就感的同时，也让其他同学产生共鸣。

综合实践课对教师提出了较高的要求和挑战。以《天衣无缝》为例的综合实践课程，一堂课的备课要投入的时间和精力可能是常规课的几倍。因为教师在其中铺设的都是“暗线”，把收获成就感的机会都悄悄地拱手相让。讲，很容易；让学生收获成就感而不是教师个人魅力的彰显，这很难。课堂不再是教师的“一言堂”，坚持让学生自主选择、主动参与，发展学生的创新精神和实践能力，为学生提供开放的个性发展空间。综合实践课的设计也要克服脱离学生自身生活和社会生活的倾向，从学生感兴趣的情境入手，引领学生走向现实的社会生活，促进学生与生活的联系，为学生的个性发展提供开放的空间。

总之，综合实践课在实施过程中应注重学生的亲身体验和积极实践，设计与开发强调学生乐于探究、勤于动手和勇于实践，注重学生在实践性学习活动过程中的感受和体验，超越单一的接受学习，亲身经历实践过程，体验实践活动，真正实现学习方式的变革。